1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Теперь мы уже можем формулировать принцип Гам!!патона: действительное движение динамической системы за время !а~ ! =.р! от заданного начального до задаиногоконечного положения совершается таким образом, что для этого дзииевия функционал Гаиильтона Н(йь йи ..„И=1(Т вЂ” и) и и имеет стационарное значение, есла к сравнению допускаются все непрерывные функции й!(!) ииеющяе непрерывные производные первого и второго порядка и принимающие при 8=-1ь и при заданные краевые значения.
Этот принцип Гамильтона является основным принципом динамики. Его сила и польза заключаются в том, что он представляет собой краткий суммарный сгусток эаконоа динамики. Если написать, в качестве условий стационарности функционала Гамильтона, соответствующие уравнения Эйлера, то получим уравнения движения Лагранжа ддТ дТ дУ грд'. д д — — — — — — (г=! 2 ...
и) Г и! дй! е! 1 ° которые являются основными ураваеииями аналитической динамики. а а. ОБОБщения Здесь мы выведем из этих уравнений только один важный результат, а именно закон сохранения знсрг1пс Так как подынтегральная функция интеграла Гамильтона не содержит явно независимой переменной 1, то можно сразу написать первый интеграл из и' 2: — "' = с = сопя1. д (т — гг) зд ' —— Так как У не зависит от обобщенных скоростей Д, а Т является однородной квадратичной функцией от них (см. Дополнения к гл. 11, $ Зд то ~Д ( )= ~)'),.— "=2Т.
Следовательно, Т+ У= сопя(, т. е. при движении свстемы материальных точек сумма кинетической энергии и потенциальной энергии не изменяется со временем. 4. Функционалы, содержащие производные выше первого порядка. Аналогичные методы применимы к задачам о стационарных значениях функционалов, у которых подынтегральная функция Р содержит не только искомую функцию у=а и ее производную о', но и производные более высокого, например второго, порядка.
Пусть, например, требуется найти экстремумы функционала вида Х1 1'рЕ) = ~ Г(.'с, у, е', и') Мх, хя причем к сравнению допускаются те функции у =е(х), которые принимают вместе со своими первыми производными заданные значения на границах интервала и которые имеют непрерывные производные до четвертого порядка включительно. Для того чтобы вывести необходимые условия экстремума, предположим, что у=п(х) есть искомое решение. Включим это решение в семейство функций у=<р(х)=и(х)+ат1(х), где а — произвольный параметр, а т1(х) — произвольно выбранная функция, имеющая непрерывные производные до четвертого порядка включительно и в граничных точках интервала обращающзяся в нуль вместе со своей первой производной.
На кривых этого семейства наш функционал становится функцией Ф(а) параметра а, имеющей экстремум при а=О. Поэтому необходимое условие экстремума Ф'(0) = О должно удовлетворяться для всех функций й (х) описанного выше КЛаССа ДЕйетзуЕМ тЕМ жЕ ПутЕМ, Чте И В $ 2, Пя 1, И ВЫПОЛНИМ 536 Гл. щг.
Элементы ВАРиАционного исчисления га дифференцирование под знаком интеграла. Тогда наше условие примет следующий вид: хо Ф'(О)= $ (я Г,+о)'Гх, +о)х Е,») г(х=О, хо и оно должно удовлетворяться, если вместо э(х) подставить и. Интегрируем второй член по правилу интегрирования произведения, а третий член — по обобщенному правилу (т. !, стр. 256 — 257), беря в проинтегрированной части два члена. В силу условий на границах интервала, члены с о1'(х) и и" (х) превратятся в члены, имеющие множитель о1(х), и в результате получится хо оГо 1 (Ех — ~ Р„+ — лоРх )ах=О. хо Следовательно„необходимым условием экстремума, т. е. условием стационаряости функционала, является дифференциальное уравнение Эйлера а' ото ~.
[гг) =. Рх — — ~;; + —, Рх-=О. Читатель может сам проверить, что это — дифференциальное уравнение четвертого порядка. П р и м е р. Рассмотрим функционал хо !(оР) = ~ (оо"о — 27"оо) г7х, хо где У=у(х) — заданная функция. Для него дифференциальное уравнение Эйлера будет и — 7"(х) = О. 6. Функционал, имеющий вид кратного интеграла. Общий метод нахождения необходимых условий экстремума можно применить с тем же успехом, когда функционал выражен в виде кратного интеграла, т. е. когда функциональный аргумент зависит от нескольких независимых переменных. Пусть, например, дана область 0 плоскости ху, ограниченная кусочно гладкой кривой Г. Пусть дана функция Р(ху,~,р оР ), непрерывная и дважды непрерывно дифферепцируемая по всем своим йяти аргументам.
Если в эту функцию Р подставить вместо оР функцию ог(х, у), имеющую в области О непрерывные производные первого и второго порядка н принимающую на граничной кривой У заданные краевые значения, а вместо у и э — частные производныв 537 5 3. Овозщения этой функции чс(х, у), то Р обращаегся в функцию от х и у, и значение двойного интеграла 1(Т)='))Р(х, у, Т, е„, сь )с(хасу и будет зависеть от выбора функции е, т. е. будет фуикциоизлом, зависящим от функционального аргумента о(х, у). Задача состоит в том, чтобы найти такую функцию сь=сс(х, у), которая сообщает фуикциоиалу экстремум. Для нзхождеиия необходимых условий мы применим прежний метод.
Выберем функцию сс(х, у), обращающуюся в нуль иа граничиой кривой Г и имеющую непрерывные производные первого и второго порядка, а в остальиом произвольную. Допустим, что и есть искомая функция, и подставим под знаком двоякого интеграла о=и+ +ас)(х, у), где ь — произвольиый параметр. Тогда этот интеграл стаиовится функцией Ф(а), и иеобходимое условие экстремума будет ср'(0) = О.
Как и з прежних задачах, это условие принимает вид 1 1 (ОР.+ЪР.„+Ъ Р.,) дхду=О. и Для того чтобы избавиться от членов с тс, и т~ под знаком иитеграла, рассматриваеи двойной интеграл как повторный и интегрируем по частям — второе слагаемое по х, а третье слагаемое по у. Так как с)(х,-у) обращается в нуль иа граничной кривой Г, то значения проинтегрированных членов иа Г исчезают и наше условие приводится к виду тС(Ра — д Рал — д Рат) С(ХССУ= О. д д о Лемму 1 из $2 нетрудно обобщить иа миогомериые облзсти, и с помощью этой обобщенной леммы сразу получается дссгдференииальное уравнение Эйлера второго порндна е частнммсс лроизводныжц (Сам Эйлер получил зто уравнение для прямоугольной области, а для произвольной области 77 ояо было впервые выведено М.
В. Остроградским в 1ЕЗВ .) П р и и е р ы. 1) Р=чь +ть,. После сокращения иа ( — 2) получается дифферсициальвое уравнение Эйлера и„„+ и =О. Таким образом, дифференциальное уравяевие Лапласа чьи=О получено здесь из вариацвоикой задачи. 2) Минимальные поверхности. Задача 77лалсоц Среди поверхностей я =я (х, у), расположенных иад областью с) плоскости ху и проходящих через 538 ГЛ.
НП. ЭЛВМВНТЫ вАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛВНИЯ (б залавиую замкнутую пространственную кривую, имеющую своей цроеацией граничную кривую Г области Э, найти талую, площадь которой (( $/1+э„-+т,ахну и есть минимум. Для втой задачи дифференцвальиае ураввение Эйлера есть д дх р' 1+и'„+и' ду р'1+и„'+и' или, в развернутом виде, и„„(1+ и') — 2их и„и + и „(1+ и„') =О. Это известное дифференциальное уравнение минимальных воверхиостей. [Физическое осуществление минимальной поверхности дает жидкостная (иапример, мыльная) пленка, натянутая иа проволочную петлю.] 6. Задачи с дополнительными условиями.
Множитель Эйлера. В теории обычных экстремумов функций многих переменных мы научили также случзй, когда эти переменные подчинены некоторым дополнительным условиям (гл. Ш, 6 6, па 4). В этом случзе метод неопределенных множителей привел к особенно ясной формулировке условий стационарностн функции. В вариационном исчислении аналогичный метод имеет еще большее значение. Мы здесь рассмотрим вкратце лишь простейшие случаи. а) Обыкновенные дополнительные условия. В качестве типичного случая рассмотрим зздачу о нахождении в трехмерном пространстве кривой х = х (9), у =у ((), а = а (() ((„ ~ ( -= (1), подчиненной следующему дополнительному условию: кривая должна лежать на заданной поверхности 0(х, у, «)=О и должна проходить через две данные точки А и В этой поверхности.
В этой задаче требуется сообщить функционалу вида и 1=$ 1'(х, у, г, х, у, «) г(( о стационарное значение путем подходящего выбора функций х(б), у((), л(т), связанных дополнительным условвем 0(х, у„г)=0, обычными краевыми условиями и условиями непрерывности. Эту задачу можно сразу привести к задаче, рассмотренной в п' 1. Предположим, что функции х((), у(г), а(1) дают решение задачи. Допустим также, что на том куске поверхности, где должна лежать искомая кривая, а молкет быть выражен явно в виде г=д(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
