1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Это будет обеспечено, если О, ~ О на этом куске поверхности. Мы будем предполагать, что на рассматриваемой поверхности производные 0„, 0 и О. Не обращаются одновременно в нуль. Тогда, если ограничиться 539 $ а. Озовщения достаточно малым куском поверхности, мы вправе допустить без утраты общности, что О,фО. Подставим теперь под знаком интеграла а= =л(л, у) и 2=у„х+й»Р, и в нашей задаче уже можно будет рассматривать х(1) и у(!) как независимые друг от друга функции. Стало быть, можно применить непосредственно условия стационарности, сформулированные в конце пч1, к функционалу ! представив его подынтегральную функцию в виде гч(хг у, л(х, у), х, у, хй„+Оп»)=Н(х, у, х, я. Мы получим систему двух уравнений Эйлера — И. — Н = — „Г.
— г". + — (г". д,) — Г.а — Г, — =9, « « « да « « да — гт. — Н = — Р. — Е + — (р.у) — Г,К вЂ” Р.— =О. «Г » » «Г » » «Г 1 » Я » ~оч Так как « дй « дй — ах = — э — а»=— «г х «л ю «г «» то эти уравнения принимают следующий вид: «~ Рд г'л+Юл(«г Ру ! л)=9 (А) аЛ вЂ” Р. + Иу(ИЛ вЂ” Р.)= « Положим — гч; — Р, = ЛО т.
е. вводим вспомогательный множитель Л(Г), определяемый этим равенством Так как у„= — — и л»= — —, то система двух уравнений (А) превращается в систему трех уравнений Следовательно, условие стационарности функционала 1 при заданном выше дополнительном условии можно формулировать так: Если О„, О» и О, не обращаются одновременно в нуль на поверхности О(х, у, л)=0, то необходимым условием экстремума является существование такого множителя Л(!), который вместе с функциями хЩ у(!), л(Г) удовлетворяет системе трех уравнений (В) и дополнительиоиу условию 0(х,у, з)=0. Таким образом, имеется симметричная система четырех уравнений для определения функций х(ГЛ у(г), а(!) и множителя Л(г). 540 Гл. щ!.
элементы ВАРНАционного исчисления 16 Самой важной конкретной задачей этого типа является задача о нахождении на поверхности О(»О у, г)=0 кратчайптей линии, соединя!ошей две точки А и В этой поверхности, причем предполагается, что на ней цгаг( О~-'О. В данном случае Г=)'' ха+ух+ йв и дифференциальные уравнения Эйлера (В) будут д л д у = ),Ою — —, =),О а!е«»~Р*'5)ч«»4-' д а — = ),Ом дг )Хха+у'+ха Эти уравнения инвариантны относительно выбора параметра.
Это значит, как читатель легко сам проверит, что они сохраняют свой вид, если заменить 1 другим параметром т= т(г), если только это преобразование взаимно однозначно, обратимо и непрерывно дифференцируемо. Введем в качестве нового параметра длину дуги а искомой кривой. Тогда после введения нового параметра будет хт+ ув+ 2в=1, и наши дифференциальные уравнения примут следующий вид: дтл И'у лаз д т=)0 д а=>0» д а=ХО». 5 $ а Геометрический смысл этих дифференциальных уравнений состоит в том, что соприкасающиеся плоскости ') экстремален нашей задачи ортогональны поверхности 0(х, у, г)= О. Эти экстремали называются геодезгщеекпжп лмнпнми данной поверхности. Слсдопвтгльно, кратчайшее расстояние между двумя точками ца повсрхпости может быть дано только дугой геодезической лпнпн.
Упражнение Показать, что те же геозезичоские линии получаются кая траектории материальной точки, которая может двигаться только цо данной поверхности О(х, у, а) =О и ие полвергается действию внешних сил. (Применить принцип Гамильтона из и 3, приняв во внимание, что в этом случае потенциальная энергия 0=0.) б) Другие виды дополнительных условий. В задаче, рассмотренной в пункте а), удалось исключить дополнительное условие, разрешая уравнение, выражающее это условие, относитечьно одного из аргументов, и в результате задача сразу привелась к виду, рассмотренному ракее.
Однако часто встречаются такие виды дополнительных условий, для которых это невыполнимо. Самыми важными задачами этого типа являются задачи с «изопериметрическимн» дополнительными условиями. Приведем типичный пример. ') То есть плоскости, проходящие чеРез точки кривой паралаельяо веиторам г= (х, », г) и г =(.е, у, г) (ср. упр. 1, 2 и б иа стр. 114 — 115). 641 $3. Ововщення При обычных краевых условиях и условиях непрерывности найти критерий стационарности функционала «О 1(э) = ~ г»(х, е, Оя') с(х, «О когда функциональный аргумент у(х) подчинен дополнительному ус- ловшо «О Н (у) = ~ 0(х, э, о') г(х= с, «О где с — заданная постоянная. Классическая изопериметрическая задача получается отсюда как частный случай при гч= о и 0=)'«1 + р". К задаче такого типа невозможно подойти прежним методом построения «варьированной» функции у =и †, 'О»! с помощью произвольной функции и(х), обращающейся в нуль на границах интервала, ибо, как правило, построенные таким образом функции не удоплетворяют дополнительному условшо при е, близком к нулю, но отличном от пуля.
Однако можно добиться успехз, если немного изменить этот иетод и ввести, вместо одной функции »!(х)н одного параметра а, две функции ти(х) и О!О(х), обращающиеся в нуль на границах, и два параметра в> и Ов Предполагая, что в=н есть функция, решающая задачу, строим варьированную функцию 9 = "+ Ойй+ ООЪ Подставив эту функцию в оба интеграла, мы приведем функционал 1 к виду «О 1= ~ с (х, и+ а,п, + Оят!э и'+ ОО»1,'+ «О»1) а!х= Ф(еь ая) «О я дополнительное условие к виду гт — ) 0(х, и+ «О»1О + О»~О, н + ОО»1О + ОО»!О) вОх= У (Он ОО) =с.
КО ТепеРь задача споднтсЯ к томУ, что фУнкциЯ Ф(зь О,) должнз иметь стационарное значение при О,=О»=О, когда ОО и а, удовлетворяют дополнительному условию %' (О,, О,) = с. Пользуясь известными результатами из теории обычных экстремумов функции двух псрсменных (гл. 1!1, э б, п'4), а в дальнейшем следуя тем же путем, что и в Э 2 настоящей главы, придем к следующему результату: 542 ГЛ.
ЧЬ1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАПИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1з Стационарность функционала 1 при добавоььном условии О= с равносильна существованию такого постоянного множителя )„ пра котором искомая функция и удовлетворяет уравнению О '(ьгр=с и дифференциальному уравнению Эйлера Исключение из итого правила может возникнуть лишь в том случае, если функция п(х) удовлетворяет уравнению Подробное выполнение доказательства предоставляем читателю, который может консультироваться с литературой вопроса. (Например, М. А. Лаврентьев и Л. А. Лю стернин, Основы вариационного исчисления, том первый, часть 11, гл. 1Х.1 Упражнения 1.
Пользуясь методом иножителя Эйлера, показать, что решением классической изопернметрической задачи является окружность. 2. Нить постоянной плотности и задзнной длины р натянута между двумя точками А н В. Известно, что равновесным будет такое положение нити, в котором центр тяжести занимает наинизшее возможное положение. Пусть ось у направлена вертикально вверх. Тогда задача заключается в нахождении минимума интеграла хь 1=(з уРг1+у" дх хр при добавочном условии хр ~ Рг(-(-уэ их=)=сопз1.
хр Доказать, что равновесная форма нити — цепная линия. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ тП у" 3 б) Р (1+ )з+уя (х)1 г) Р=)ьТ+у'Р. а) Р = У Г+ у'Р + уй (х); в) Р=у"' — у'+у'; й. Составить уравнения Эйлера для двойных интегралов со следующими подынтегральными функциями, где т=т(х, у): а) Р=ачр+2ЬТ„Т +срур+юур1 б) Р=(чхх+ р )р=(уру)рь в) Р= (7 'г) +(Тхх'руу 'рху)' 1. Показать, что геодезическими линиями на цилиндрической поверхности являются винтовые линии. 2.
Составить уравнения Эйлера для интегралов со следующими подынтегральными функциями: смешлнные гпвяжненнй к главе чп 4. Составить уравнение Эйлера дая задачи о стационарном значении интеграла хз ') (аи" + 2Ьии'+ си') Их хс при добавочном условии щ ) ивах=) (коэффициенты а, Ь и с — функции от х). 5. Задана функция У(х). Найти функцию а=и(х), сообщающую максимум интегралу ! ! (у) = ~ У (х) у (х) дх о при добавочном условии 1 и Ы = 1 та бх = Аа, о где й — заданная постояннзя. У казанке. а) Найти решение и (х) из уравнения Эйлера; б) показать с помощью интегрального неравенства (Буняковского — ] Шварца (примечание ! на стр. 352), что найденное в а) решение сообщает функционалу! его наибоаьпгее значение, ГЛАВА Ч!!! ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Теории функций комплексной переменной мы коснулись вскользь в первом томе, в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
