1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 116
Текст из файла (страница 116)
п я х понятия теогни вгнкцнй комплексной неизменной ббЗ Правда, существует метод Вейерштрасса, позволяющий избежать этих затруднений и развить теорию функций комплексной переменной на основе теории степенных рядов. Желательно, ° однако, подчеркнуть другую точку зрения, принадлежащую Коши и Риману.
В их подходе функции характеризуются не своими явными выражениями, а своими основными евойелгвамц Точнее, для отграничения области определения функции надлежит пользоваться не возможностью ее представления степенным рядом, а требованием дифференцируемоств функции. Можно было бы исходить с самого начала из следующего общего понятия комплексной функции ~= у(г) комплексной переменной г. Если 0 есть область плоскости г и если каждой точке г =х+гу в 0 приводится в соответствие комплексное число ч=и+ го, с помощью любого правила, то с называется комплексной функцией от г в области О, Но это определение выражает просто тот факт, что всякой паре действительных чисел х и у, таких, что точка (х,у) лежит в О, соответствует пара действительных чисел и, о; это значит, что и и о суть две любые действительные функции и(х, у) и о(х,у), определенные в области О, от двух действительных переменных х и у.
Однако такое понятие функции было бы чрезмерно широким. Мы его сузим прежде всего условием, что и(х,у) и о(х,у) должны быть функциями, непрерывными в области 0 и имеющими в ней непрерывные частные производные первого порядка и, и„п„, о,. Затем мы потребуем, чтобы наша функция (, = гг+ го =У(г) = =т'(х+гу) была лифференцируема в области О по комплексной независимой переменной г, т. е. чтобы, при всех значениях г в О, существовал предел „„, у(г,) — у(з) П,„у(г+ «) — у(з) у,(,) Ь-0 « Этот-то прелел и называется производной от У(г). Того факта, что функции и и о имеют непрерывные производные по х и по у, отнюдь не достаточно для того, чтобы функция г(г) была дифференцируемой, т. е.
имела производную по г. Наше требование дифференцируемости в комплексной области более богато содержанием, чем дифференцируемость по лействительной переменной. Дело в том, что «=«,+(«з может стремиться к нулю как по действительным значениям («з — — О), так и по чисго мнимым значениям («,=О) и вообще по любому другому пути, и по всем этим путям должен получаться один и лзолз же предел, и только тогда можно будет считать, что производная по г существует и функция У(г) дифференцируема. Положим, например, и=х, о=о, т. е. у(г) =у(х+Гу) =х. Очевидно, что и(х,у) и в(х,у) имеют непрерывные производные ио х и по у. Но 654 гл. чш, огнкции компликсной пелвнанной 1! если, жеаая найти производную г" (г), половеим один раз и=и„а в другой раз Й = !И„то получим у(г+ И,) — Г (г) х+ И, — х 1пп И вЂ” — Иш И =1, ь, о 1 ь, о У (г+ !Ио) — У(г), х — х О Иш !И = Иш !И =1!и !И =О а, о г а, о о аео о т. е.
совершенно различные пределы. Пример такого ие типа представляет функция Г(г)=и+!о=х+2!у, у которой тоже отношение. приращений стремится к различным пределам, когда И стремится к нулю разными путями. Стало быть, для того чтобы обеспечить двфференцируемость функции г(г), придется наложить на нее новое ограничение. Этот основной факт в теории функций комплексной переменной выражается следующей теоремой: Если с=и(х у)+!о(х, у)=У(г)=г(х+!у) где и(х у) и о(х у) имеют непрерывные производные по х и по у, то для того, чтобы функция У(г) имела производную по комплексной переменной г, необходимо и достаточно, чтобы гыполнялиса смдуюи(ие условия: ил = 'е'гь назызагмые условиями Копли — Рилгана '). Во всякой области О, з которой и и и удогмтворяют этим условиям, у (г) называется аналитяческой илл регулярной функ!дней комплексной пепеменной г и проязгодная от г(г) дается формулой 1 !'(г)=ил+!ог=п„— !и„= — (и„-(-!п„)=и„— '(и =и +!и„.
Сначала покажем, что дифференциальные уравнения Коши — Римана являются необходимым условием диффереацируемости. Лля етого предположим, что производная !'(г) существует; тогда предел отношения приращений должен равняться у'(г), безразлично, возьмем ли мы действительное Ь=йе или чисто мнимое И=(Иа. Ги (х+ И„у) — и (х,у), о (х+ И„у) — о(х,у)1 !'(г)= Иш ( ( ! ь,-о (.
! 1 (и(х,у+И,) — а(х у), о(х,у+Ил) — о(х,у)) а,-о (. о о 1 = — (и„+!о ). ') А. И. Маркушевич счктает зто название историчссеи несправедливым, так как втя дифференциальные уравнения изучались уже раньше Даламбером и Эйаером. Однако, в ТФКП ови выражают !слезая — Кеши-римана. ! р!рпн. перел.) я[ а а понятия таоиии эункций комплвксной пвгвмвнной ббб Следовательно, 1 их + )ох — Т (ау+ сну) Приравнивая действительные, а также мнимые части обоих выражений, получим условия Коши — Римана, Теперь докажем, что эти уравнения составляют также и достаточное условие дифференцируемости функции У(х).
Для этого напишем отношение приращений у (х+ И) — у (с) И и (х+ И„у+ И) — и (х у) +Г [о(х+ Иву+ И,) — о(х,у)[ И,+гл, где а, и яя — действительные величины, стремяшиеся к нулю вместе с [Ь [= 3с 6, '-[ — Ья1. Если выполняются условия Коши — Римана, то полученная дробь приводится к виду пх+)ох+ а1 — „+ [ая — „, )Ь[' : ~И[ и сразу видно, что при Ь-ч.О это выражение стремится к пределу и„+ (вх совершенно независимо от того, по какому пути совершается предельный переход Ь -ь О. Отныне мы будем польаоааться условиями Коши — Римана, или эквивалентным им свойством днфференцируемости, как определением аналитической функции, ив которого мы выведем все свойства такой функции. 2.
Правила дифференцирования, Основные свойства показательной функции. Все многочлены и все степенные ряды (внутри своего круга сходимости) являются аналитическими функциями (согласно $ 1, и' 3). Мы знаем, что все действия. над вейичинами, приводящие к элементарным правилам дифференциального исчисления, могут быть выполнены в комплексной области точно тем же путем, как и в действительной. Стало быть, сохраняют силу и правила -дифференцирования; а частности, сумма, разность, проиаведение (а при условии, что анаменатель не 'обращается в нуль) и частное аналитических функций дифференцируются по тем же элементарным правилам, дифференциального исчисления и, следовательно, тоже являются аналитическими функциями.
Далее, аналитическую функцию от аналитической функции можно дифференцировать по правилу цепочки, а посему она 'тоже является аналитической функцией. Обратим внимание на следующую теорему: если производная аналитической функции ч=у(х) равна нулю всюду в области О, то функция постоянна. 656 гл. пп. огнкцни комплаксной пвовмвнной и Докав атель ство. Имеем У"(г)=гг„— йг„=О всюду в О. Следовательно, и„=О, и =О и, в силу условий Коши — Римана, и =О и п„=О. Отсюда вытекает, что и и и постоянны, а стало быть, и функция ь=7(г) постоянна.
Приложение к показательной функции. Показательмт ная функция определена нами как сумма степенного ряда е = у —, мт г =.у и а-о сходящегося во всей плоскости. С другой стороны, в действительной области мы сумели дать и другое определение показательной функции с помощью ее дифференциального уравнения (т. 1, стр.
207) Доказанная только что теорема позволяет дать и для показательной функции комплексного аргумента определение с помощью ее дифференциального свойства: Если комплексная функция 7 (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению 7 (г)=7(г), то У(г)=Се', еде С вЂ” произволанал (комплексная) постояннат Доказательство. Прежде всего убедимся, что показательная функция я(г)=е' нигде не обращается в нуль. В самом деле, предположим противное, что она обращается в нуль при некотором значении г=го, т. е. у(го)=е' =О, и разложим ц(г) в ряд Тэйлора в окрестности точки г,: ( я) в(а1(г ) а-о Так как 61~1(г)=е' при любом й=О, 1, 2, ..., то, согласно сделанному предположению, ае~' (го) = е'о = О, и следовательно, е' = О при всех значениях г, что невозможно, ибо ее=1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
