1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 114

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 114)

Ч1!1, В 7 н убедились, что эта теория проливзет новый свет на строение функций действительной переменной, Здесь мы дздим краткий, но более систематический очерк элемеиюв этой теории. ф 1. Введение 1. Пределы и бесконечные ряды с комплексными членами. Мы будем исходить из элементарного понятия комплексного числа я= =х+1у 1т. 1, стр. 95), построенного из действительной единицы 1 и мнимой единицы 1 с помощью любых двух действительных чисел х, у.

Над этими комплексными числами совершают действия по тем же правилам, что и над обыкновенными числами, но с добавлением правила, что Р можно всегда заменить числом 1 — 1). Действительную часть х и мнимую часть у комплексного числа е рассматривают как декартовы прямоугольные координаты в плоскости ху тш, язк принято говорить, в плоскости комплексной переменной е. '!ясло Х= =х — 1у называется комплексным числом, салряаменным числу ш Если ввести полярные коордкнаты 1г, В) с помощью соотношений х=г созВ, у=гз!п В, то комплексное число з=х+1у запишется так: е=г!созВ+1з)пВ); это тригономегрическая форма комплексного числа.

Полярный угол В называется арнусолс или аргументом комплексного числа з, а г =)рсха+уз= ) ад = ! е ! — его модулем. !Значение Во полярного угла В, удовлетворяющее неравенствам — н(Во(м, называется главным значением аркуса н обозначается агс а, а все множество значений аркуса комплексного числа я обозначается символом Агсш Итак, если г ~ О, то — яг(агсз~н, Агсз=агсе+.2пк, где п — любое целое числс.! Комплексные числа зн гя и ля+ зя удовлетворяют так называемому неравенству треуаольники 1 + «я1-=-1яя! +1ея 1, которое нетрудно доказать, а из этого неравенства, полагая г~ —— ия — ия и ея — — ия, выводим еще одно неравенство: ~) и! ( — ~ ия )~ ( ) ия — ия !. а ь вввданив Неравенство треугольника можно истолковать геометрически следующим образом. Всякое комплексное число г=х+»у можно изобразить йа плоскости ху вектором (х, у).

Тогда число г, изобразится вектором (х„у»), а число г,— вектором (х„у,); вектор же, изображающий сумму г, +г„будет равен сумме векторов (х», у»1+ «х„уа). Эти три вектора образу1от треугоаьиик, стороны которого имеют длины (г»), )га! и )г»+»а!. Ясно, что »неравенство треугольника» выражает тот факт, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Теперь мы рассмотрим существенно новое понятие — предела последовательности комплексных чисел.

Установим следующее определение: последовательность комплексных чисел г„называется сходящейся или стремящейся к пределу л, если ~я„— г~ стремится к нулю при и-ьоо. Это означает, конечно, что как действительная, так и мнимая часть разности г„— я стремятся к нулю. А из критерия сходимости Коши для действительных последевательностей вытекает следующий вывод: необходимым и достаточным условием существования у последовательности г„предела г является выполнение соотношения Кш ~ 2» — гю )=О.

»»» ю с» Это критериИ Коши для комплексной последовзтельности: Особенно важный класс пределов возникает при изучении бесконечных рядов е комплексными членами. Бесконечный ряд с комплексными членами ,'~~ еа называется сходящимся и имеющим сумму Б, а=о если последовательность частичных сумм я»= ~ч» еа стремится к(коз-о печному) пределу 8. Если ряд ~а» ~ел~, составленный из модулей членов данного ряда «=0 сходится, то (как и в гл. Ч1П первого тома, стр. 431) можно дока- вать, что исходный ряд с комплексными членами тоже сходится; в этом случае этот исходный комплексный ряд называется абсолютно сходящимся.

Если члены ряда не являются постоянными, а зависят от комплексной переменной г=х+(у, стало быть, зависят от точки (х, у), пробегающей некоторую замкнутую область О, то уместно введение понятия равномерной еходимости. Ряд называется равномерно сходящимся в О, если по любому наперед задзнному сколь угодно малому положительному числу а можно найти такое число АГ, зависящее только от а, что при всяком п~ А» выполняется неравенство ~~ބ— 8(<" к независимо от того, где в области О находится точна г=х+су. Ясно, что точно таким же путем можно определитьравномерную сходимоеть последовательноепш комплексных функций 18 Р.

куРант 646 Гл. тп!. Функции комплвксной пэьвманной [! ~„(е!, аависящих от точки е области О. Все эти определения, теоремы и их доказательства полностью соответствуют тому, что нам уже анакомо иэ теории действительных переменных. Самый простой пример функционального ряда представляет геометрический ряд Как и в случае действительной переменной, имеем 1 — е"+' 1 8„= — и ИшЮ„= — прн ~г~<" 1. л сю Последнее утверждение часто записывают так: 1+э+ля+...=т;-' — при ~г)(1. Ясно, что геометрический ряд сходится абсолютно, если )е)с" 1, а также, что вта сходимость .равномерна, если только ~э!~4, где д — любое постоянное положительное число, лежащее между О и 1.

Другими. словами, геометрический ряд сходится абсолютно при всех значениях к, лежащих внутри единичной окружности, и сходится равномерно на любом замкнутом круге, имеющем общий центр с единичной окружностью и радиус, меньший единицы. Принцип сраднения рядов применим и к рядам с комплексными членами в следующем виде если )с»~=~ры где все р» — действительные и неотрицательные числа, и если ряд ч', р» — сходится, » о то колтаексный ряд Я с» сходится абсолютно. Если члены с» комплексного ряда аависят от точки е, изменяющейся в замкнутой области О: с» —— Л (г!, а эсе числа р» не зависят СО от щ причем [с»~~р» во всей области О, то ряд ~ч~~ с»= Я Д» (е) сходится равномерно в О.

Доказательства ничем не отличаются от соответствующих доказательств в действительной области (т. !. гл. Ч111), поэтому нет надобности повторять их здесь, Если М вЂ” произвольная положительная постоянная, а у — положительное число, лежащее между О и 1, то ряды с положительными членами ~~~~~ Мд», ~~~~ АМд» ' и ~~1 „+ д»+! все сходятся(т.!, гл. 'Ч1!1 » о »-о стр. 462!.

Этими рядами мы воспользуемся как рядами для сравнения в следующем же номере. а ь вввданив 647 2. Степенной ряд. Среди бесконечных рядов с комплексными членами самыми важными являются степенные ряды, т. е. ряды с членами вида с« — — а«г" или а«(г — гь)«, где гь — постоянное комп- лексное число. Стало быть, степенной ряд может быть записан так Р (г)= ~ а„г", «-о или в следующем„несколько более общем виде: вл) (г) =,у', а«(» — гь)". «-о Так как последний рка всегда приводится подстановкой г — г«=2 к предыдущему виду, то достаточно будет исследовать тот случай, когда гь — — О.

Основная теорема о сходимости степенного ряда повторяет почти слрво в слово-соответствующую теорему для рядов с действитель- ными членами (т. 1, гл. Ч1И, стр. 460). Если степенной ряд сходится при г= ге, то он сходится абсолютно при всяком значении г, для которого ) г )(! гь (г к тому же ряд сходится равномерно на круге ( г ~ ча. :д )»ь (, где а — любое положительное число, меньшее единиг1ы.

Из того же предположения, что степенной ряд Р(г) сходится при г=гь, вытекает и следующая теорема: Оба ряда Р (г) = ~ йа«г« ' ь 1 1( ) ч1 ~ф «ы лн «+1 тоже сходятся абсолютно и равномерно на круге ~г~~д~гь!. Доказательство точно такое же, как в действительной области. Так как ряд Р(г) сходится при г г„то его общий член а„г," стремится к нулю при и-+со.

Следовательно, существует такое положительное число М, что |а„г",)(М при всех значениях и. Пусть теперь, )»)=д1»«1 где 0(д(1; тогда а~(М и ~па алы~( М п,7л-г ( вл пью~(М !сои,е+г Стало быть, мы получили действительные знакоположительные ряды сравнения, которые, как мы отметило в конце предшествующего и'1, сходятся. Теорема' о радах с)(г) и 7(г) доказана. Вернемся к рассмотрению произвольного степенного ряда вида Р(»)=~~1„'а«г«. Существуют две возможности: либо он сходится при всех значениях г, либо существует такое аначение г — 2, при котором ряд расходится.

Во втором случае ряд расходится и при всех значениях г, для которых ~г~ >~2~ (доказывается .от противного Не- !8' 648 гл. чш. вгнкцин комплексной пвявмзнной ~з сложное рассуждение (такое же, как в действительной области) приводит к выводу, что существует такое положительное действительное число р (оно называется радиусом сходимости ряда), что ряд Р(н) сходится при )я)(р и расходится при )«))р.

Этот вывод относится и к рядам П(г) и 1(г), причем их радиус сходимости р тот же самый, что и для исходного ряда Р(г) Круг )г)ч-р называется кругом сходимости степенного ряда. По вопросу о сходимости или расходимости степенного ряда иа само» окружности )г)=р круга сходи- мости нет возможности делать какие-либо общие утверждения. Если степенной ряд сходится при всех значениях «, то принято говорить, что радиус сходимости р=со. При г= О сходятся все степенные ряды рассматриваемого вида; если ряд Р (г) сходится только при я= О, то радиус сходимости р= О. 3.

Характеристики

Список файлов книги