1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 117
Текст из файла (страница 117)
й 1, и' 4) Итак, функция е' не обращается в нуль ни при каком значении г. Приступим теперь к доказательству самой теоремы. Мы уже внаем ($1, п' 4), что функция ц(г)=е' удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Обозначим через 7 (г) любую функцию, удовлетворяющую уравнению (1), так что 7"(г)=г(г). Введем вспоу (г) сер(г) — у(г) е' могательную функцию и (г) = —. Тогда р'(г) = ~( ) = О.
Стало быть ( ) = С = сопят„откуда у(г) = Се*, ее 1 ее что и требовалось доказать. Отсюда вытекает функциональное уравненое показательной функции: сеет ее+сь (Когда показательную функцию определяют с помощью степенного ряда, это функциональное уравнение отнюдь не является тривиальным а! з к понятия твогии еянкций комплвксйой пвгвмзнной ббу утверждением.) Для доказательства рассмотрим функцию 3 (л) = е*+л~ при фиксированном значении гь В снлу правила цепочки, и(е) удовлетворяет дифференциальному уравнению йт(л)=б(е) Стало быть, па только что доказанному, и(г)=Сел. Для определения постоянной С полагаем я=О; так как из степенного ряда, определяющего показательную функцию, вытекает, что ел=1, то л(0)=е* =С, откуда и получается подлежавшее доказательству функциональное уравнение.
В 3 3, и'3(стр. 363) мы разовьем более удовлетворительный метод исследования показательной функции, не' опирающийся на степенной ряд. Здесь мы только отметим одно следствие, вытекающее из функционального уравнению При я=х и г,=!у, где х н у — действительные числа, получается е"О = е"еф = ел (сазу + !вшу). Из функционального уравнения еще раз видно, что показательная функция нигде не обращается в нуль. Действительно, если бы существовало такое значение ль что е'~=0, та е'=е'~е'-о обращалось бы в нуль при всех значениях л, что заведомо неверно. Так как соз2к=1 и з!п2к=О, то еа" =сов 2к+1з!и 2к=1.
Поэтому Елеях' = ел а стало быть, показательная функция е* является периодической функцией с периодом 2е!. Упражнение Доказать, пользуясь условиями Коши — Римана, что произведение я частное аналитических функций, а также аналитическая функция от аналитвчесхай функции сами являются аналитическими функциями (з случае частяаго — в такой области, в которой знаменатель яе обращается а нуль).
3. Конформные отображения. Обратные функции. Функции и(х, у) н о(х„у) приводят в соответствие точкам плоскостн я (плоскости ху) точки плоскости ч (пласкости ио) Таким образом, перед нами преобразование или отображение (гл. Ш, 3 3, п' 1) некоторой области плоскости ху на область плоскостн ио. Якобиан преобразования есть 0= ' =гл„о — и о~=и„+и„=!г'(г)!. д(и,в) д (х,у) Стало быть, во всякой точке, в которой У'(л)ФО, якабиан отличен от нуля и к тому же имеет положительное значение, Поэтому если 558 гл.
чш. взнкцнн комплексной пвпвмзнной 1а пРедположить, что 1"(г) 4':0 в точке гл, то РезУльтаты, полУченные в гл. 111, 3 3, и' 6, показывают, что достаточно малая окрестность точки гл в плоскости г отображается взаимно однозначно и непрерывно на некоторую окрестность точки Сл=у(гл) в плоскости С. Это отображение конформно, т. е. не изменяет углов. Это следует из того, что, как мы видели в гл 1!1, стр. 133, уравнения Коши— Римана представляют собой необходимые и достаточные условия конформности отображения, причеи сохраняется не только величина, но и нзправление углов. Итак, мы прпшлн к следуюшему результату: 1т"онформность отобразкения, устаназливаемоао функциялги и(х, у) и о(х, у), и аналитический характер функции 1(г) =и+ 1о означают созершенно одно и мо зке, если только избегать точек гь з которых Г"(г,)=0.
Пусть читатель. вновь рассмотрит примеры конформиого преобразования, приведенные в гл. 81, 3 5, стр. 155 — 157, я докажет, ч го все зтн преобразования могут быть выражены ыесложпымв аналитическими функциями. Так как в случае взаимно одиозвачного конформного отображения окрестности точки га плоскости г на окрестность точки (е плоскости ч обратное отображение тоже конформно, то отсюда вытекает, что величину г =х+ 1у можно тоже рассматривать как аналитическую функцию у~) комплексной переменной ь=и+1ж Эта функция г=р1с) нрзывается обратной по отношению к функции С=г(г). Помимо этого геометрического рассуждения, аналитический характер обратной функции можно установить, проверив, что она удовлетворяет условиям Коши — Римана. Вычисляем производные от функций х(и, и) и у(и, о) по формулам дифференцирования функций, осушествляющих обратгюе преобразование (гл.
111, $3, и' 4): о„п„о и, В ' = о У" В У' Т и сразу убеждаемся, что обратная функция действительно удовлетворяет уравнениям х„=у, и х = — у . Нетрудно установить, что производная от обратной функции г=у(С) связана с производной от исходной функции ч=у(г) соотношением ал сИ вЂ” — = 1. Ж ег Упражнения 1.
Выяснить, в каких точках следуецие функции непрерывны: а) Л', л+ г па+ гл б) )г 3 з); г) —. 1+ 1л!' 1л!' ' 2. Какие из функций упр. 1 к тому ке и диффереицируемыг Зь. Доказать, что функция вида ал+а С= — ', з з. интвггигованив аналнтичкскнх эгнкций 659 где я и () — любые комплексные числа, удовлетворяющие соотношению яа — РР= 1, преобразует единичную окружность (л)=1 самое в себя и ее внутреннюю область тоже самое в себя. Докаэатть что, если Гр — аа»ю 1 то внутренняя область преобразуется во внешнюю.
1! 1! 4. Доказать что преобразование 1= — (а+ — ! переводит окружтюсти =г(, плоскости а с центром в вачале координат в софокусные злляпсы плоско- сти 1, з прямые плоскости л, проходящие через начало,— в гиперболы пло- скости 1 (ср. упр. 5, стр. !76). 5. Доказать, что функция 1= оставляет неизмеяным сложное а+6 та+3 3, — 3» л,— я» (ангармоннческое) отношение —: — четырех точек аь г„зь я,.
з,— л, 'а,— а, 6». Доказатть что любой круг можно отобразить на верхнюю полуплоал+ р скость, ограниченную вещественной осью с помощью функции ю= —. Ф = та+ з' (Воспользоваться упр. 1, стр. ббг.) 7. Доказать следующее свойство общего линейного преобразования: аа+ Ь са+ д' где а Ь, с, Н вЂ” постоянные н ад — де~о. Это йреобразоваиие переводит все окружности н прямые плоскости в в совокупность всех прямых и окружностей плоскости 1.
Если считать плоскость я и плоскость ь, а также одноименные оси этих плоскостей совпадающими, то точки л, для которых 1 з, называются яа- лодаижяими тачками линейного преобразования. Вообще говоря, суще- ствуют две различные неподвижные точкн. Показать, что в этом случае семейство окружностей, цроходяп!их череа обе неподвижные точки, и семей- ство окружностей, ортогональиых к ним, преобразуются каждое само в себя.
й. Функция, обратная степенной функции 1 = за (я — натуральное число), однозначна в окрестности любой точки а„если только з, фп, ибо при этом условии производная С = лая ' не обращается в нуль. Однако точка а, =О, в которой производная обращается в нуль, представляет исключение: отсюда проистекает многозначность функции л = !гг( ° Мы исследуем эти обстоя- тельства более подробно в й 6. й 3. Интегрирование аналитических функций 1.
Определение интегрили. Центральным фзктом дифференциального и интегрального исчисления функций одной 'переменной является теорема о том, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной функцией для своей подыитегральной функции (т. 1, стр. 137 и 140). Соответствующее свойство образует ядро теории аналитических функций комплексной переменной. Мы начнем с того, что обобщим понятне определенного интегпала на функцию у(х) комплексной беременной л, т. е. дадим опрс- б60 гл. шп. эхнкцни комплексной па»именной !! деление этого понятия. Для этого удобно изменить обозначение независимой переменной и вместо х писать 1=г+1», так что 1 будет у нас переменной интегрирования.
Возьмем функцию Д!), аналитическую в области О, и пусть в этой области даны две точки 1=1» и 1=а, соединенные ориентированной кусочно гладкой криволинейной дугой С, лежащей целиком внутри 0 (рис. 107). Точкзми деления 1» г!,.„ ..., 1» = г разобьем дугу С на а частей-дужек. На каждой такой дужке выбереи проиввольную точку 1», лежащей на С между ее точками 1» ! и 1», и построим сумму о» = ~ .7 (!») (!» — !»-!). Будем теперь изменять наше разбиение, Рис. !07. делая его все более и более частым, не- ограниченно увеличивая число и точек деления таким образом, что наибольшая из хорд )1» — 1» »! будет стремиться к нулю. Тогда сумма Ю„будет стремиться к некоторому пределу, не зависящему от выбора точек деления 1» и промежуточных точек 1». Это можно доказать прямым путем, применяя метод, аналогичный методу доказательства соответствующей теоремы существования определенного интеграла от функции действительной переменной. Однако, для нашей цели будет более удобно привести нашу теорему к тому, что мы уже знаем о криволинейных интегралах в действительной области (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
