1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Дифференцировннме н интегрирование степенного ряда. Выр ажение вида Р„(«) = а« + а,«+ а««Я +... + а„«" с постоянными (комплексными) коэффициентами а„естественно называть амуницией от г, а более конкретно многочлсном степени и от ж Аналогично степенной ряд Р(г)= У', а«г" «-о (точнее говоря, его сумма) рассматривается внутри своего круга сходимости как функция комплексной переменной г. Внутри круга сходимости степенного ряда его сумма есть предел, к которому стремится многочлен Р„(г)= ~Ч, а«г", когда и-ь оо.
Для миогочлена Р„(г) вводится понятие производной по независимой переменной г с помощью того же определения, что и для действительной переменной; обозначается производная теми же знакомыми символами. Прежде всего замечаем, что алгебраическое тождество гл — 1+ гл — Яг+ + «л — 1 «~ « справедливо и при любом комплексном ж Устремим теперь «1 к г, и мы получим'): «и «ч ૠ— (г")=(г")'= Иш ' =пг" ', ") Понятие предела непрерывно изменяющейся комплексной переменной («, «) можно ввести таким же точно путем, как и для действительной переменной.
649 з! а !. ввздвннв Точно так же сразу получаем и Р;(.)=-'Р.(.)= "'-'»" =Д й.;" =П.(.) е« ",, «,— « й=! Многочлен Р„(«) и есть производная от комплексного многочлена Р„(«) Процесс нахождения производной в комплексной области тоже называется дифференцированием. В теории степенных рядов играет фундаментальную роль следующая теорема: Степенной ряд Р («)= 'У', а„«', А 0 радиус сходимости которого не равен нулю, моакно дифференцировать почвенно внутри его круга сходимости.
Это значит, что предел Рг( ) ) Р(«!) Р(«) е! ! е! существует, и притом Р'(«)= ~~ йай«" '= 1!шр„'(«)=Иш.О,(«)=0(«). Из этой теоремы сразу ясно, что степенной ряд )( ) '!)! ай йн й=.!" можно рассматривать как первообразную функцию от исходного степенного ряда внутри его круга сходимости, т. е. что 7(«')=Р(«). Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда доказывается следующим образом. Из пс2 известно, что внутри круга сходимости Ю(«)= Иш)'.)„(«) Яля нашей цели достаточно доказать, что в со ! ' Р(«!) — Р 99 — 1)(«)/ может быть сделана мекьше любого наперед «! « заданного положительного числа а, если только выбрать «! внутри кругз сходимости достаточно близко к «.
Построим требуемое отношение приращений ар («) Р («,) — Р («)' Р„ («,) — Р («) чд а««,— ««,— «+ + ~ аЛ, й л+! где для краткости положено ,й й ) '1 — «й — ! «й — 2«+ +«й 1 й «! « 550 ГЛ. Чпп ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Теперь, пользуясь обозначениями по2 и считая ~г)(д(го~, выбе- Рем гг так, что и )гл)(4)го); этим обеспечиваетсЯ, что Р«!(34« '!го!" '.
Следовательно, )Йг)= ~ а«)«~( ~ )а«)йй" ')го)« '( —, ~ йо «-г+ь 1 «-г+1 « г+! В силу сходимости ряда ~ йу«"', состоящего из положительных членов, «-~ выражение )гс„) может быть сделано сколь угодно малым, если сделать и достаточно большим. )Ь1ы и выбереи и столь большим, чтобы было ))т„)( —, а также настолько большим (для этого мы, если понадобится, еще увеличим л), что ! 1г (г) —.
1)„(г) ) ( †. А теперь выберем гг так близко от г, что ! " ' " — Р„(г)~( —. Р„(г,) — Рг (г) $ о г,— г 3' Тогда )ар(г) г)( )1~)Рг(г1) Рг(г) 1) ( )!+ )сг) ( ) ()(г)! +) й.!< 3+ 3+ 3 = а это неравенство и доказывает вашу теорему. Так как производная Р'(г) тоже представлена з виде степенного ряда с тем же радиусом схоляиости, то полученный ркц можно снова дифференцировать почленио, н этот процесс можно повторить сколько угодно раз. Стало быть, стеленной ряд можно дифференцировать внутри его круга сходимости столько раз, сколько понадобится.
Степенной ряд является рядом Тэйлора для той функции Р(г), которую он представляет; это значит, что его коэффициенты а« могут быть выражены формулами а«=Р(0), а«= — „ЕР<«)(0)' при я=1, 2, 3, — 1«) Длястепенного рядазида Щг)= Я а„(г — го)«будет «-о ао='4)(го) а«= — 1 цг '(го) при й=1 2, 3, 1- « «1 Доказауельство точнд такое же, как для действительной переменной (т.
1, стр. 464-г.4бб) а !. взндвнин 551 4. Определение показательмой функции, тригонометрических и гиперболнческях функций с помощью ствпенйых рядов. Как уже упоминалось в гл. ЧИ!, й 7 первого тома, степенные ряды для элеяентарных функций можно непосредственно распространить на комплексные переменные; другимн словами, в степенном ряде, полученном для функции действительного аргумента, приписывают аргументу комплекснме значения и рассматривают зтот ряд как олределеяяе соответствующей функции комплексной переменной.
Например, степенные ряды СО СО ОО ОО СО Х— я*а %1 ( —.1)а л "О Ч~Р з 'Я 3 й! 1~ ( !) (Б~» л~г <Б+Т»,"г (2й»,~~ (2й+ 1)! а о а-з а-о а=о а-з сходятся прн всех значениях а. (Это можно доказать, применяя признак сходимостн Даламбера н ряду, составленному из модулей членов рассматриваемого ряда.) Так вот, функции, представленные зтимн рядами, т. е. суммы этих стеренных рядов, вновь обозначаются соответственно римволами ес, сова, зша, сусц зйз — теми же символами, что и в действительной области. Стало быть, вти степенные ряды за ааа е'= у —, ссмл= 7 ( — 1)" —, л~~ ГгР л~г (2й»' а-о а-з СО СО жч я'а вы+С с)сз= 7 —, зйзОО 7 —,~~ (2й» У (2й+ 1» а-а а в которые для действительного аргумента были выведены нз определений перечисленных здесь функций, данных ранее другим путем,.теперь сами служат определениями новых, впервые здесь вводимых, функций комплекс- ной переменной.
Из зтих'определений сразу вытекзют следующие тождестзю ега = сов а+1 а1п з, е*= с1т я+.зй з, созга=сЬя, ап)л=1з)та, сЫя=ссжг, вЫя=1агпк Подставив в наши степенные ряды Я'= О„имеем е =1, соей=1, апО=О, сЬО=!, зЬО=О. Почленное дифференцирование степенных рядов, дающих определение показательной функции, тригонометрических и гиперболических функций комплексной переменной, приводит к следующим формулам для производных от зтнх функций: (е')'= ел, (сова)' = — з!ил, (з)па)'*=сова, (сЬ я)'=ай з, (зЬ з)' ОЬ к Таким же точно путем вводим новые для нас функции комплексного аргумента: логарифмическую функцию 1п(1+а) и функцию агсгпя, опре- деляемые как суммы следующая степенных рядов: за 1п(!+я) = ~~~~ ( — 1)а+' — (радиус сходимости р =1), а-$ СО зал+С ! атотяя= Ч ( — 1)" = аО-.[1П(1+(а) — !П(1 — 1З)) 2я+1 1 в о (радиус сходнмости р и 1). 332 гл. гпп, егнкцин комплвксной папашиной р Днфререипируя зги ряды почгенио, получаем фоггугы дгя производных л 1 Л 1 — 1п (1+г) = —.
— (агс!йг)= —. юг 1-1-г Иг ' 1-(-гг. Упражнении г — 1 1. При каких значениях г=х+ !у будет ~ — ~(11 г+! 2. Доказать, что если рвд ~Л~аюгю сходится абголюпно при г=1, то ев сходится равномерно в области )г!гц!1!. 3. Пользуюсь сгейениыми рядами для созг и апг,аоказать, что согг г + г!и' г = 1. 4*. Выяснить, при каких значеингх г сходится ргг ф 2. Основные понятия теории функций комплексной переменной 1. Требование диффереицируемости. Как иа видели выше, все функции, представленные степенными рядами, аюеют кбк производную, так и первообразную (интеграл).
Этот факт можно сделать исходным пунктом для построения обшей теории функций комплексной переменной. Цель тзкой теории — распространить дифференциальное и интегральное исчисление на функции коюиексной переменной. Важно, в частности, чтобы обобщение понятия функции на случай комплексной независимой переиенной осушествгялось таким путем, чтобы функция была дифференцируема в комплетсной области. Можно было бы, конечно, ограничиться с самого начала рассмотрением функций, представленных степенинхи рядами, и тем самым требование дифференцируемости было бы выполнено.
Но против такого подхода существуют два возражении. Во-первых, мы не можем сказать а риоп', вытекает ли из требоагивя дифференцируемости комплексной функции, что она может быть разложена в степенной ряд. (Ведь в случае действительного а!тумента мы видели (т. 1, стр. 38о — 386), что существуют даже такае функции, которые имеют производные любого порядка и все же нг могут быть разложены в степенной ряд.) Во-вторых, даже дла врюстых функциональных выражений представлвюший их степенной рга может не охватывать все поведение функции; это видно уже га примере простой 1 функции —, разложение которой в степениаа рид (бесконечная геометрическая прогрессия) сходится лишь в крре радиуса 1, между тем как эта функция определена при всех значеаах л, кроме г=-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
