1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 111
Текст из файла (страница 111)
е. 1(Рь ..„о„] есть фУнкционал, зависящий от аргументных функций ог(х), ..., ~„(х)]. При этом мы считаем допустимыми все функции ч,(х), обладающие перечисленными выше свойствами непрерывности и принимающие заранее заданные краевые значения чг~(хя) и чч(х~). Иными словами, мы рассматриваем кривые уг — — ог(х), соединяющие две заданные точки А и В в пространстве (и+1) измерений переменных х, уь уь ..., у„.
И вот вариационная задача требует выделения из всех этих светом фУнкций Уг(х) такой системы Уг=ог(х)=гй(х), дла бЗО ГЛ. ЧН. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ и которой функционал 1(рч, ..., !~„» имеет экстремум (максимуи или минимум). И здесь мы не можем взняться фактической природой экстремума и ограничимся нахождением таких систем аргументных функций у!(х)=иг(х) для которых функционал имеет стационарное значение.
Само определение понятия стационарного аначения функнаонала вводится точно таким же путем, как в й 1, и' 2. Включают систему функций и;(х) в однопараметрическое семейство функций с параметром а. Делают это так. Выбирают проиавольно и функций я!(х),... ..., т,„(х), обращающихся в нуль при х=ха и при х=хн иепрерывных в интервале (х!ь х!» и имеющих в нем непрерывные первые и вторые производные.
Затем рассматривают семейство функций у!=~ (х)=и;(х)+ахи(х) Член а!1!(х)=чи! называется вариацией функции и;(х). Если подставить выражения для функций 1!г(х) построенного семейства в 1(!~!, ..., 1!„», то этот функционал обратится в обычную функцию от параметра к Х! Ф(а)=~ Е(х, и, +атл...,, и„+я!1„, и, +а!1„..., и„+а!1„)!(х. хо Необходимым условием того, чтобы для э! =иь т.
е. при а = О, этот интеграл имел экстремум, является Ф'(0) = О. Точно так же, как и в Э 1, пе 2, если Ф'(0)=0 или, другими словами, если вариация Е! = АФ' (О) = 0 при любом выборе функций тн, подчиненных перечисленным выше условиям, то говорят, что функционал ! имеет стационарное значение при 1!! — — и!. Другими словами, стационарный характер интеграла !' и обращение в нуль вариации ч1 означают один и тот же факт. Теперь желательно установить такие условия стациояарности интеграла, которые не содержали бы проиавольных функций т!.
Для этого не понадобится никаких новых идей, и цель будет достигнута с помощью следующего рассуждения. Если выбрать еь Ъ, ..., Ть! тождественно равными нулю, т. е. если не подвергать изменению функции гьь ..., и„, и, значит, рассматривать лишь первую функцию !рч(х) как подлежащую ивменению, то условие Ф'(0)=0 (согласно Э 2, п' 1) эквивалентно дифференциальному уравнению Эйлера Ря И РР'=О. !г я! Их и'— Так как функции и,(х) равноправны, и любу!о иа них можно выделить таким же путем, то получается следующий ревультат: $ 3.
Овозщвния Для того чтобы и функций пг(х) сообщалг! функционалу 1=(<р„~ря, ... „~р„) стационарное значение, необходи.ио и дог!на!начло, чтобы эти функции удовлетворяли системе уравнений Эйлера гг — — Р ° = О (1 = 1, 2, ..., и). й т ал еч Это система дифференциальных уравнений второго порядка .для и функций и!(х), нрнчем число уравнения рвано числу искомых функция.
Всякое решение этой системы дифференциальных уравнений называется экстре. налью вариационной заДачи. Таким образом, задача нахождения стационарных значения функционала приводится к нахождению общего решения этой системы дифференциальных уравнений и к выделению иэ него такого частного решения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям, пользуясь леммой й (гг 2, и 1, конец), можно доказать, что условие стационарности приводится к втой системе уравнении и при более широком классе допустимых функций, от которых требуется только, чтобы они имели кусочно непрерывные первые производные.
Однако для начинающего желательно сосредоточить внимание ва существенном механизме проблемы, а с втой целью удобнее включить в условия допустимости функций ил(х) непрерывность вторых производных. Тогда можно записать в развернутом виде ж Важный частный случай. Примеры. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Эйлера возможно еще реже, чем в случае одного функционального аргумента из $2. Лишь в весьма частных случаях удается определить все экстремали в явном виде. Однако, если подынтегральная функция Р не содержит явно независимой переменной х, так что г'=г"(р!, ..., р„; р„..., р,), то способ, примененный в задаче с одним функциональным аргументом (ф 2, п' 3, третий случай), наводит на мысль, как получить иэ системы уравнений Эйлера «интегрируемую комбинациюж В этом случае, так как тч =О, эта система принимает следу!ощип вид: Р— 5', Р„„и' — '~ ', Р„„гп~ (!'=1, 2...
п). ь-! ь-! Номножим каждое из этих уравнения на и! и просуммируем по 1 от 1 до и: и ь Х .; — ХХ .ьЯХ вЂ” ХХ ..;';= г=! ' г=!ь=! ' г-!ь=! 532 гл. чп. элементы влиияннонного исчислю(ия (а Левая часть этого уравнения является полной производной по х от л выражения Г(и(, ..., и;, и,,..., и„'1 — ~„и;Е„,', что нетрудно прове(=1 рить дифференцированием.
Таким образом, последнее уравнение можно записать так: (! ., 'г(и...,„..,„;,.„,„.! ~.о(~=о (=-! Интегрируя его по х, получаем первый интеграл системы уравнений Эйлера л Р(пи..., и„; ии ..., ил) — ~ и(Го:=и, (=! где с — произвольная постоянная. При подстзиоаке в этот первый интегрзл конкретной экстремали, удовлетворяющей краевым условиям, эта постоянная приобретзет определенное аяачение. Простой пример, результат которого заранее известен, дает задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
В атой задаче требуется найти такие лое функции у=у(х) и гллг(х), которые сообщают интегралу х( ) )~!+у' +г' бх х'о наименьшее возможное значение, причем ати функции у(х) и г(х) должны принимать з конечных точках ирол(ежутка иитегрироаония заранее заданные значения. Получасл! систему двух диффереициа.тьных уразнеиий Эйлера Лх3 1+у'о+г" бх3'1+ул+ги из которых после несложных зыклалак вытекает, что ароиззодные у' (х) и г'(х) должны быль постоянны. Следовательно, зкстремаак являются прямымн линиями.
Менее тривиальной является задача о брахиотахроие и (лрехл(ерлом ирастраисл(ае. (Положительное направление оси у ии и здесь выбираем ио вертикали, з сторону действия силы тяжести.) Здесь требуется найти дзе функции у=у(х) и г=г(х), делающие стациоиарныи функционал х( х( +' + — о(. = й(у, у', ')(т . хо хо Этой задаче соответствует система двух лифференцяааьных уравнений Эйлера ' 1Г1+у +' 2 3 у' Лх ) у(1+ул+г'') =О. ((х )' у(1+у' -).г') 533 % 3. Озовщения Второе из этих уравнений и первый интеграл, вайлениый выше в этом же номере в общем виде, лают «' 1 =а, )Г» ~'!+»" +" Р— »'и" — «'р 1 1 =Ь, ) '» У!+»э+У» где а и Ь вЂ” произвольные постоянные.
Из последних лвух уравнений вытеа кает (в результате почленного деления), что «' = — = и тоже постоянно. Ь Поэтому кривая, для которой функционал стацнонарен, должна лежать в плоскости «=Лх+е, но тогда иэ примера 3 нэ стр. 527 очевидно, по эта кривая есть циклонда. Этот же вывод можно получить из данного выше первого интеграла 1 1 =Ь, )' » )' ! + Ь' + У Упражнение Пользуясь сферической системой координат (г, З, 7), написать дифференциальные уравнения пути («уча) света лля того случая, когда скорость света есть функция только полярного радиуса г (ср.
В 1, стр. 520, упр. 2). Показать, что лучи света являются плоскими кризымн. 3. Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа. Система дифференциальных уравнений Эйлера играет очень важную роль во многих ветвях прикладной математики, особенно в динамике. Дело в том, что движение механической системы, состоящей из конечного числа матсриальных точек (частиц), можно описать в виде условия, что известный функционал, так называемый интеграл Галгильтонп, должен иметь стационарное значение. Это положение мы здесь вкратце поясним.
Если положение и конфигурация механической системы опреде. ляются а независимыми (обобщенными) координатами (дг, дэ, ..., р„), то говорят, что система имеет и степеней свободы. Пусть, например, системз состоит из одной материальной точки; тогда п=З, ибо в качестве координзт дг, дэ, дэ можно взять три координаты точки в прямоугольной или в сферической системе координзт. Пусть теперь системз состоит ив двух частиц, удерживаемых жесткой связью на расстоянии 1 одна от другой (предполагается, что сама связь не имеет массы); тогдз п=б, нбо за координаты д! моэкно принять три прямоугольные координаты одной из частиц я два числа, определяющих направление прямой, соединяющей обе частицы. Динамическую систему можно с достаточной общностью описать С помощью двух функций: кинетической энергии и потенйиальной энергии. Если представить себе, что система каким-либо образом движется, то координаты положения Гы будут функциями г)г(!) от времени Ь, а «обобщенные скорости» будут у!=г)г(!)= — „'.
Тогда для 534 гл. ун, элвминты вариьционного исчисления рз динамической системы существует функция Т, называемая кинетической энергией, имеющая следующий вид: Т(й„..., дл, Д, ..., !)„)= ~~~ адДгг)ь (аьь —— ал!). ь,ь 1 Стало быть, кинетическая энергия епь однородное квадратичное выражение от обобщенных скоростер, причем коэффициенты аял являются для двиной системы известными функциями от самих координат положения сь, оя, ..., о„и ия содержат явно времени Р. Это выражение для кинетической ьнергии Т можно получить следующим путем.
Прямоугольные кооряяяиы (хгь уь, яь) материальных точек нашей системы выражаем через обобщшвые координаты еи е„..., о„. Тогда прямоугольные координаты скоростей всех материальных точек выразятся в виде линейных однородных функций ш обобщенных скоростей д!. Затем надо вычислить известное выражение аая кинетической энергии системы, равное полусумме произведений масс всех частиц системы на квадраты их скоростей, и требуемое выражение дая Т будет получено. Помимо кинетической энергии динамическая система характеризуется еще одной функцией, потеллиальной энергией У(дь, оя, ..., у„), зависящей только от обобщенных координат о! и не содержащей явно времени й В курсах динамики показывается, !го эта потенциальная энергия определяет внешние силы, действующие я! систему, При переводе системы из одного положения в другое произвоюпся работа, равная разности соответствующих значений потенциальной энергии У и ие зависящая от пути, по которому совершаетсл переход от иачальаого до конечного положения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
