1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Необходимые условия экстремума. Поставим себе целью найти необходимые условия того, чтобы функция и=о(х) могла дать максимум или минимум указанного выше интеграла ) [у» или, пользуясь общим термином, экстремум этого интеграла. Мы применим для этого метод, аналогичный тому, которым мы польаовались в элементарной задаче об экстремуме функции одной или нескольких переменных.
Предположим, что у=о=и(х) есть уже найденная искомая функция. Тогда надо как-то выразить тот факт,что(вслучае минимума) значение интеграла 1 должно возрасти, если заменить сс другой функцией из класса допустимых функций у. Кроме того, поскольку нас интересует получение только необходимых условий, мы можем здесь ограничиться рассмотрениел1 функций р, близких к и, ж е. таких функций у, для которых (у — и( остается между заранее предписанными границами. Представим себе функцию и(х) членом одиопараметрического семейства функций с параметром а, которое мы построим следующим образом, Возьмем какую-либо функцию т)(х), обращающуюся в нуль на границах нашего интервала, так что т,(хь)=т)(хь)= О, и имнощую непрерывные производные первого и второго порядка в вамяиутом ь ь ввздзнив интеРвале 1хь хо1 С помощью о1(х) мы и пос~эоим семейство функций ф (х, а) = и (х) + ао1 (х).
Выражение оц(х)=ьи называется вариацией рлункцлил и. (Так как ц(х)= —, то символ о обозначает дифференциал от оу(х, а) при дт а=О, когда о рассматривается как независимое переменное, а х как параметр.) Тогда, если функции и и о) выбраны, то интеграл !(и+ам)=Ф(а)= ~ Р(х, и+ац, и'+ от()Ых хо будет функцией от а, и предположение, что п(х) дает минимум функционала л1о1о), означает, что Ф(а) имеет минимум при а=О, так что в качестве необходимых условий имеем равенство Ф'(0)=0 Ф" (О) ~ О.
и затем неравенство Ч = аФ'(0) = О, если оно удовлетворяется функцией у=и при произвольной функ- ции ц, выражает стационарный характер интеграла!. Выражение аФ'(0) = е — $ Г (х, и + ата и'+ ац') ах Е хо Ло-а называется вариацией или„точнее, первой вариацией интеграла й Поэтому стационарный характер интеграла и обраиление в нуль первой вариации означает совершенно то зке галие. (От термина вариация произошло название дисциплины: вариационное исчисление.) Стационарность функционала является необходимым условием наличия максимулоа или минимума, но (как 'и в теории обычных Аналогично, если бы мы искали максимум, то получили бы в качестве необходимых условий, то же самое равенство Ф'(0)=0 и неравенство Ф"(О) ~ О.
Условие Ф'(О)= 0 должно выполняться при любом выборе функции о) (х), обладающей перечисленными выше свойствами, а в остальном произвольной. Отбрасывая вопрос о различении между максимумом и минимумом, мы скажем, что если функция и(х) удовлетворяет уравнению Ф'(0)=0 при любом выборе функции о1(х), то интеграл 1Я сплацлсонарен при о= и. Пользуясь, как и выше, символом Ь для обозначения дифференциала от ! (как функции от о) при а=О, можно также сказать, что равенство ййо гл. чп. элементы вавиационного исчисления й максимумов и минимумов) отнюдь не является доситалточнил для осуществления одной из этих возможностей.
Мы не можем здесь остановиться подробнее на проблеме достаточных условий и в дальнейшем ограничимся проблемой стационарности. Нашей главной целью будет преобразовать условие стационар- ности Ф'(О)= О таким образом, чтобы оно стало условием, налагаемым на одну лишь функцию и и уже не содержащим произвольной функции т). Упражнения 1.
В связи с задачей о брахнстохроне (см. и' 1, начало) вычислить время падения, если точки А и В соединены прямой линией. 2. Пусть положение частицы, движущейся в трехмерном пространств, задается сферическими координатами (г, а, 2), и пусть ее скорость о= 1 у(г) ' — — Сколько времени потребуется частице для прохождения дуги кривой между ее точками А и В, если вта кривая задана в сферическвх координатах параметрическими уравнениями г=г(а), 6= В(а), т=в(е), гле «в параметр.
В 2. Дифференциальное уравнение Эйлера для простейшего случая 1. Вывод дифференциального уравнения Эйлера. Основной критерий вариационного исчисления формулируется так: Для того чтобы функционал «~ «1'т'1= 1 Р(х ть 'т')с(х «о имел стационарное значение при р=тб необходимо и достаточно, чтобы р=и была допустимой функцией, удовлетворяющей дифференциальному уравнению Эйлера д Е (а] = Є— — Р„= О дх или, в развернутом виде, — т (п1)=Г «Вт +Г„щтУ+ Ä— Р =О. Для доказательства заметим, что выражение .«т Ф(е)= ~ Р(х, и+ать и'+ет)')Кх можно дифференцировать по е под знаком интеграла (ср.
гл, 1Ч, й 1, п'2), если, после дифференцирования подынтегральной функции, под знаком интеграла получится непрерывная или по крайней мере кусочно непрерывная функция от х. В нашем случае, полагая и+ай=у и я х днвваввнциальнов»вавнаннв эйлввл б21 дифференцируя, получим под эиаком интеграла выражением„ + то'Г»ь которое, в силу сделанных относительно Р, и и о! допущенйй, удовлетворяет требуемому условию. Поэтому мы сразу получаем хо Ф'(0)= ~ (»~Р«+о!'Рх)оьх, где Р=Р(х, и, и'). хо Для наших последующих целей (ср. следующую страницу), заметим, что прн выводе этого уравнения мы воспользовались только лишь непрерывностью функций сс и ч! и кусочной непрерывностью их первых проиаводных. В полученном уравнении проиввольная функция фигурирует в двояком виде, а именно как т, и в виде т,'.
Но от ц' легко освободиться, если применить ко второму члену правило интегрирования произведения: «о хо хо ~ ч!'Рх бах=»!Ро ~ — ~ ч!~йлро) Их= — ~ т,~охры) о(х. «о хо хо так как, по условию, о!(хо)=ч!(хо)=0. При этом интегрировании по частям предполагается, что выражение — Ро может быть составоьх лено, но это действительно так, ибо мы с салюго начала предположили непрерывность вторых производных. Поэтому, введя под знаком интеграла сокращенное обозначение 1. [и) = Ро — — Р„ч получим уравнение хо Ф'(0) = ~ т !. [и) ь(х = О. хо Так вот функция и должна удовлетворять этому уравнению при любом выборе функции то обладающей требуемыми свойствами, а в остальном совершенно проиввольной.
На основании формулируемой ниже леммы ! отсюда будет вытекать, что Е [а) =О. Л е и м а !. Если функция С (х), нелрерывная в расслгатриваелголс интервале, удовлетворяет соотношению «о ~ ч! (х) С (х) бх = О, хо где о!(х) есть любая дважды непрерывно дифференцируежая функция, лрогч ем т! (хо) = ъ! (хо) = О, то С (х) = О лри всех вна чениях х из нагаево интервала. Доказательство этой леммы будет дано в п'2. б22 гл. ше элементы влвнлцнонного исчисления н Есть, однако, возможность получить требуемое условие другим путем, освобождаясь в уравнении «о 5(чР+ 'Е«)" =' хо от члена с Л. Для этой цели надо применить правило иятегрирования произведения к первому члену подынтегральной функции; введя для краткости обозначения Ря, = А, Ря = В' н приняв во внимание граничное условие для ч: ч (х,) = ч (х,) = О, получим «о «о «1 «1 «о ') чр, отх= )»В' их= чВ ~ — ') т,'В отх= — ) ч'Воск.
хо «о Если положить О=о)', то наше условие примет следующий виш «1 1 !(А — В)их=о. При этом методе не требуется делать дальнейших допущений о вторых производных от Ч н от и. Напротив, достаточно предположить, что функции оу (или и) и Ч непрерывны и имеют кусочно непрерывные первые производные. Правда, теперь наше интегральное условие должно выполняться не при любой кусочно непрерывной функции о, но только лишь при таких функциях 1, которые являются производными от функций ч(х), удовлетворяющил нашим условиям.
Однако если 1 (х) есть любая кусочно непрерывная функция, удовлетворяющая соотношению х! ) С(х) отх=О, а в остальном произвольная, то можно положить х ч= ~ 1(С)дс, и тем самым уже построена допустимая функция ч(х), ибо ч'=с и ч (х,) = =ч(хо) =О. Таким образом, получен следующий результат: Необходимым условием стацйонарности орункционаза является «о ) б (А — В) о(к=О, хо где б есть произвольная кусочно непрерывная функция, удовлетворяющая «о условию ~ бдх=О. «о Но теперь понадобится другая Л е ло и а )!. Если кусочно непрерывная Функция Ю(х) удоалешзоряею условию ) 18 отх= О а з. днэввзвнциальнов гвавнвнив эйлвва 52З для всех функций С(х), кусочно непрерывных в инепервале [хт хе) а свя- занных соотношением [ 1 ах=О, то 8(х) сводится н постоянной с.
Эта лемма тоже будет доказана в следующем и' 2. Но уже теперь можно с ее помощью вывести из условия стационарностн (подставляя вместо А и В их выражения), что ) Рейх+ с= Ре.. Левая часть дифференцируема по х, и ее производная равна Ри; следовательно, и правая часть днффсренцируема по х и, стало быть, выражение И вЂ” Гп, существует дая предполагаемого решения и, причем зто решение йх удовлетворяет уравнению Таким образом, уравнение Эйлера остается условием стациоварностн функционала и в том случае, если с самого начала расширить класс допустимых функций у(х), требуя только лишь кусочвой непрерывности первой производной т'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
