1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Уравнение Эйлера является обыкновенным дцфференццальным уравнением второго порядка. Его.решения (точнее, его интегральные кривые) называются энсшрсмалями задачи нахождения экстремумов функционала. Для решения этой задачи надо прежде всего выделить из всех экстремалей такие, которые удовлетворяют заданным краевым условиям. Только на этих экстремалях может осуществиться экстремум функционала. Если выполняется «условне Лежандра» Р ыФО то дифференциальное уравнение Эйлера можно привести к виду и«=у(х, ц, и'), где правая часть является известным выражением, содержащим х, и, и'. 2.
Доказательства обеих лемм. Докажем теперь те две леммы, которыми мы воспользовались выше. Для доказательства леммы 1 предположим, что в некоторой точке х=с функция С(х) не обращается в нуль н имеет, скажем, положительное значение. Тогда, в силу непрерывности этой функции, можно выделить в интервале [хч, хе) такую окрестность точки с; с — а -.х~1+а, 524 тл. чп. элементы ЕАРНАционного исчисления са что С(х) остается положительной во всей этой окрестности. Функцию т,(х) мы определим теперь в интервале [хе хс] такс (х — Е+ а)с (х — Š— а)' = [(х — Е)з — аз)с '4( )= в указанной окрестности, вне этой окрестности, хс Тогда интеграл ~ ЛС(х)с(х не может равняться нулю.
(Интеграл от «0 непрерывной неотрицзтельной функции вообще положителен и обращается в нуль лишь в том случае, если подынтегральная функция тождественно равна нулю; это вытекает непосредственно из определения интеграла как предела суммы.) Так как это противоречит условию леммы, то С(Е)(0. Аналогичным рассуждением устанавливаем, что С(Е)~0. Следовательно, С(Е)=0 при всех значениях Е внутри нашего интервала, что лемма 1 и утверждает. [С(х) обращается в нуль и на границах интервала; для доказательства потребуется лвшь небольшое изменение в построении функции т)(х).] Для доказательства леммы 0 заметим, что наше допущеиве относительно Е(х) сразу приводит к соотношениям х~ ~ Е(х) сгх=О и ~ Е(х) (5(х) — с[стх=о, (*) хя «О где с — произвольная постоянная. Выберем теперь с таким образом, чтобы 8(х) — с принадлежала к классу допустимых функций Е (х), т. е.
определим с равенством хс «1 ) (о (х) — с) стх = ~ 8 (х) сгх — с (х, — х,) = О. «О Подставляя зто значение с во второе уравнение (*) и беря в нем =3(х) — с, получим сразу «1 ) (о (х) — с)'сгх= о. Так как, согласно условию леммы сс, подынтегральная функция непрерывна или по крайней мере кусочно непрерывна, то обязательно 8(х) — с=о, что и требовалось доказать. 3. Замечания по поводу интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Примеры. Для того чтобы решить проблему экстремума функционала, надо найти частное решение сс дифференциального уравнения Эйлера для интервала хз -. х == хь принимающее в его конечных точках заданные краевые значения у, и ус. Общее решение уравнения Эйлера как дифференциального уравнения второго порядка содержит две постоянных интегрирования, а краевые усло- б2б а 2.
ЕИФФеРГнциАлъное уРАвненне эЙлеРА вия дают два уравнения, которым эти постоянные должны удовлетворять; поэтому вообще должно быть возможно найти частное решение, удовлетворяющее краевым условиям. Однако вырззить общее решение уравнения Эйлера через элементарные функции или с помощью квадратур, как правило, невозможно. В общем случае приходится довольствоваться установлением того факта, что вариационная зздзча приводится к интегрированию дифференциального уравнения. С другой стороны, в важных частных случаях и фактически в большинстве классических примеров уравнение Эйлера решается в квадратурах. Первый случай.
Подынтегральная функция гч не содержит явно производной у'=Ф', так что Р=Е(~р, х). Тогда уравнение Эйлера есть просто са(п, х)=0, т. е. Не является вовсе дифференциальным уравнением, а лишь неявным определением решенияу=и(х). Здесь нет постоянных интегрирования, и не может быть вопроса о таком их выборе, чтобы удовлетворялись краевые условия.
[В этом случае при произвольно заданных краевых условиях вариационная задача может не иметь решения; онз имеет решения при том и только при том условии, если краевые зиаченил удовлетворяют уравнению 22Р(п, х)=0.[ Второй случзй. с' не содержит явно функции у=Ф(х), так что с =с (у', х). Тогда дифференциальное уравнение Эйлера будет — Ры(и, х)=0, откуда сразу получается так называемый «первый интеграл» с ы (и', х) = с, где с — постоянная интегрированвя. Если можно из этого уравнения выразить а' через х и с в явном виде: гг' = у (х, с), то простым интегрировзнием (квадратурой) получим и= ~ Я, с)гг'с+а, »» т, е. и выражена как функция от х, причем к прежнеИ произвольной постоянной с присоединилась еще одна постоянная интегрирования а.
Стало быть, в этои случае обгцее решение дифференциального уравнения Эйлера получено с помощью квадратур, Т р е т и И с л у ч а й — самый важный для конкретных задач н для приложений. Подынтегральпая функция с' не содержит явно независимой переменной х, так что Г=гг(у, у'). В этом случае гч„л = О, и уравнение Эйлера будет ЕИ= Вы иЕ«ы и РР'ы=О б26 гл. шь алзмвнты вляиационного исчисления Помножив левую часть на сг', получим 1а иб [и[ — гюмри и Еич ии Еим — — — [Р(н, и') — и'Г, (и, и')[, что нетрудно проверить. Итак, после умножения на й, уравнение Эйлера принимает вид [Р(сб и) иРь (и а)[ 0 откуда интегрированием получаем «первый интегралъ Р(п и) нГи (и и) с з'и у(и, с)' и интегрирование дает х=д(и, с)+з, где з — вторая постоянная интегрирования, т.
е. х выражен как функция от и, с и а. Это уравнение дает общее решение дифференциального уравнения Эйлера в неявном виде, и получено оно с помощью двух квадратур, изкоторых одна выполнена, а другая намечена. Применим теперь этн методы к решению нескольких задач-примеров. 1) Задачи типа Р=ф(у)У 1+у' ° Общий класс таких задач относится к третьему случаю. Для экстремалей у=и имеем первый интеграл и ф(и)» 1+и' — ф(и) — =с )' 1+ и' или ф( ) =с, )' !+и' Гф (и)1Я откуда и'= [ — 1 — 1. Отделение переменных дает с -у ~ф(иП откуда интегрированием получим Это общее решение уравнения Эйлера (з неявном виде) с постоянными интегрирования с и Ь.
где с — произвольная постоянная. Если иэ этого уравнения и' выра- жается явно: и'=у(и, с), то переменные отделяются; б28 ГЛ. ЧП. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Упражнения х! !4 Найти экстремали функционалов вида ~ Е(х, у, у') ах со спгпующи»н Хэ подынтеграпьи ыми функциями: !.
р=)гу(1+у'э), З. Е=у)/1-у', к г= — 3' 1+у' У 4. Найти экстремали дая случая Ь'=х"у' и показзть, чтэ при я~! дае точки, лежащие по разные стороны от осн у, яе могут быть соединены экстремалью. 5. Найти экстремали дая случая Е=ух(у')м, где л и яп — четные целые числа. 6. Найти экстремали для случая г"=ау'+2Ьуу'+су-, где а, Ь, с— заданные непрерывно дифференцируемые функции от х. Доказать, что уравнение Эйлера будет линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Выяснить: почему в случае постоянного Ь этот постояиаый коэффициент не входит в дифференциальное уравнениеу 7.
Показать, что при Р=гх)' 1+у' экстремали даются урппнениял~и з1п(у — Ь)х е 'х "' и у=Ь, где а и Ь вЂ” постоянные. Исследовать форму этик кривых и выяснить, как должны быть расположены две точки А и В, если нх можно соединить дугой экстремапи вида у=у(х). 8. Подынтегральная функция Е не содержит явно производной у' (и' 3, первый случай). Вывестн уравнение Эйлера Е„=О элементарным способом. 9.
Найти функцию у(х), дающую наименьшее значение функцпонааа ! ! (у) = ~у' 4гх о при краевых условиях: а) у(О) =у(1) =О, б) у(О) =О, у(1) = !. 4. Случай, когда уравнение Эйлера обращается в тождество. Дифференциальное уравнение Эйлера для функционала Х4 1(У) =~ Р(х, У, У')гхх хо может выродиться з ничего не говорящее тождество, т.
е. в соотношение, которому удовлетворяет всякая допустимая функция у=р(х). В этом вырожденном случае выражение Эйлера ). (У] =Ру — Р .у — Рту~' — Ергу' должно обращаться в нуль в любой точке х интервала, какую бы функцию у=у(х) из класса допустимых функций в него ни подставить.
Но ведь всегда можно найти кривую уа р(х), у которой У=р, У =9 и у'=р" имеют произвольно заданные значения в определенной точке. Поэтому выражение Эйлера должно обращаться в нуль прн любой четверке значений х,у,у',у". Отсюда вытекает, что выражение грхч служащее коэффициентом при у", должно равняться нулю тождественно. Поэтому Е должнз быть линейной функцией от у', Е=ар'+Ь, где а и Ь ззвисят только от х и у. Если а 3. Ововптвния подставить это выражение в уравнение Эйлера, которое имеет теперь вид тождества Ему+В„, — В,=О, то получим сразу а,у'+ а„— а у' — Ь„= О илн а — Ь„= О тождественно относительно х и у.
Другими словами, уравнение Эйлера обращается в тождество в том и только в том случае, если функционал !]у] имеет вид ьг ю !]у]= ~ (а(х, у)у+ Ь(х у)] дх= ~ (аг(у+Ьг(х), в котором а и Ь удовлетворяют условию интегрируемости (гл. Ч, В 1, и' 7), т. е. подынтегрзльное выражение аг(у+Ьох является полным дифференциалом. ф 3. Обобщения 1.
Функционалы, зависящие от многия функциональных аргументов. Задача о нзхождении экстремумов функционала может быть обобщена на тот случай, когда этот функционал зависит не от одного, а от многих функциональных аргументов (аргументных функций) о,(х), чч(х), ..., о„(х). Типичную задачу такого рода можно формулировать так: Дана функция Р(х, уь..., ~р„, ср,', ..., о„'), зависящая от (2п+1) символов х, оь ..., е„, о,, ..., р„, непрерывная относительно этих символов и имеющая по ним непрерывные производные первого и второго порядка в области, соответствующей рассматриваемому интервалу хя -х -хг. Если заменить э~ функцией ~р~(х), имеющей непрерывные производные первого и второго порядка, а у; — ее производной, то Р становится функцией от одной переменной х и интеграл ю 1(уь ."~ 94=) т'(х 7ь °" 9п 91 ° ° °, 9л)г(х ХО по заданному интервалу хо=,х~х, имеет определенное значение, опРеделЯемое выбоРом фУнкций 1ч(х) [т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
