1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Для функции Р(г) получзется линейное дифференциальное урзвнение гэ0 (г)+ г,Р'(г) — пэ0(г)=0, имеющее линейно независимые частные решения гл и г (см. упр. 2а на стр. 483), что, впрочем, нетрудно проверить подстановкой. Так как г ' обращается в бесконечность в начале координат, тогда как функция и должна там сохранить непрерывность, то остается только первое решение э(г)=г"; умножая это выражение э(г) на найденное выше (!(0), получаем последовательность решений уравнения Лапласа: г'(а соз ЛВ+ Ь з!и ЛВ). Согласно принципу суперпозиции (0 4, п'1), мы можем теперь построить новые решения уравнения Лапласа, представляющие собой линейные комбинации таких решений: ! ъч — а, + т~ гл(алсоз ЛВ+ Ь,э!ПЛВ), Даже бесконечный ряд такого вида будет решением, если он только равномерно сходится внутри круга и допускает в нем двукратное почленное дифференцирование.
Представим себе теперь, что заданная в условии задачи краевая функция т(0) разложена в ряд Фурье У(0) = — '+ ! (а„соз л0+ Ьл э!п ЛВ); л тогда этот ряд непременно сходится абсолютно и рзвномерно (т. 1, гл. 1Х, стр. 529). Следовательно, ряд и(г, 0)= — '+ ~~~~ — „(а„созлВ+Ь з!плВ) (*) л ! подзвно сходится равномерно и абсолютно внутри нашего круга. По этот ряд можно почленно дифференцировать, если г()с, так как ряд, полученный дифференцированием, тоже сходится равномерно (по поводу дифференцирования степенного ряда ср.
т. 1, гж 'т'!11, В 5, п'2). Стало быть, функция п(г, О), представленная бесконечным рядом (*), является потенциальной функцией и принимает заданные значения на границе круга; следовательно, она дает решение нашей краевой задачи. Остается привести полученное решение к тому интегральному в иду, который мы назвали выше интегралом Пуассона. Для этого 504 гл. щ.
свидания о диллвевнцнлльных гелвнниях !6 ал и Ьл их внтеральные выра- подставим вместо коэффициентов жения зл ал = — ~ у(и) соз ла Ыи, ! г « Ьл = — У (и) з) п к На . ! Так как сходимость ряда равномерна, то можно перетавить порядок интегрирования и суммирования, и мы получим тл ( со .л. л= — '( дл( —,'-э ~ е —' .° .«+ О л ! Предоставляем чнтзтелю доказать тождество ! у гл ! )1« — г' + Ч вЂ” созит=— 2 + Хш )1" 2 )1' — Мг соэ -.
ф г" л=! Упражнения 1. Применив к формуле Пуассона преобразование ннерсии, найти потенциальную функцию и(х, у), ограниченную во злешлееобаасти единичного круга и принимающую заданные значения на его:раннце (это так называемая влешляя краевая задача хля круга). 2".
Для потенциала отрезка х=у=о, — 1~а~1, неущего заряд постоянной линейной плотности ж найти: а) эквипотен«язл«ые поверхности н б) силовые линии. Зл. Локазать, что если заданы значения потенцитлыюй)ункцин и (х,у, е) ди и ее производной по нормали ))„илл — на замкнутой пверхности 3, то л ди значение функции и в любой внутренней точке дается:тедующим выражением: где г есть расстояние от переменной точки ннтегрцэзания до точки 1 (х, у, а). (Применить теорему Грина к функциям и и — ) г, й 6. Дальнейшие примеры дифференциальных урпненнй с частными производными Рассмотрим теперь вкратце некоторые часто вст)ечанэщиеся дифференциальные уравнения с частными произаодныии (Мы позволяем себе использовать здесь в пил.
и х небольшой отрывок нз книги: Р. 1(ура нт и (( Гиль берт, Методы мзтематической физики, т. П, гл. 1, $1, 1951, в нашем перводе.) пользуясь методом т. 1, гл. 1Х, 52, п'4 (стр. 509), а иитегрзльиая формула Пуассона будет доказана. 1) $6. ПРИМЕРЫ РРАВНПНИй С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ООО 1. Некоторые сведения о многообразии решений. Совокупность всех решений обыкновенного дифференциального урзвнения порядка л (зз исключением, быть может, так называемых особых решений) выражается в виде функции и от независимой переменной х, содержащей кроме х еше п произвольных постоянных сь сь ..., с,: пл <й(х; сь ся, ..., с„). У дифференциальных уравнений с частнымгг производнымц дело обстоит сложнее.
И здесь можно ставить вопрос о нахождении всей совокупности решений или общего решения, из которого, путем конкретизвции некоторых содержащихся .в нем произвольных элементов, можно получить все индивидуальные или чзстные решения (опять-таки за исключением возможных особых решений). Однако, у дифференциальных уравнений с частными производными такие произвольные элементы фигурируют уже не в виде произвольных постоянных, но в виде произвольных функций, и их количество равно, вообще говоря, порядку дифференциального уравнения.
Число же независимых переменных, от которых эти произвольные функции зависят, на единицу меньше числа аргументов общего решения. П р имер !. Найти общее решение и (х, у) дифференциального уравнения и =О. Из алого уравнения вытекает, что искомая функция и не зависит от у; стало быть, и = и (.Т), где ш(х) есть произвольная функция от х. В атом номере мы буквами ш и о будем обозначать произвольные функции. П р и м е р 2.
Аналогичным рассуждением нетрудно пол>чять общее решение уравнения и,у — О. Действительно, прежде всего имеем и„=ш, (х), откуда интегрированием получим и=- $ ш, (1) й1+о(у) =ге(х)+о(у). П р и м е р 3. Общее решение дифференциального уравнения с правой частью и»у=и (» у) получается в аиде суммы одного частного решения мого уравнения я об- щего решения соответствующего уравнения без правой части и„=о: х у и = ~ д'. "~ и (1, ч) Е» + те (х) + и (у).
лг уч 506 гл. ш, сведения о дизфвенцнхльных тглвиеннят (з П р и м е р 4. Дифференциальное уравнение с частными производными и,=и приводится преобразованием независимых яерсллениых х+у=$, х — у=Ч 2и =О. в виду П р и и е р 5. Дифференциальное уравнение „+ уи приводится аналогичным преобразованием 1 = ах + яу, ч = Рх — «у (а'+ Рл) ил=О. я виду Следовательно, общее решение данного уравнения есть и =ш(ч) =э(ях — ау).
П р и и е р 6. Если искомая функция зависит от трех илн от большего числа независимых переменных, то общее решение содержит произвольные функции от лвух или большего числа переменных. Например, дифференциальное уравнение и =О дая функции и(х, у, г) имеет общее решение и=тв(х, у). 2. Одномерное волновое уравнение. Явления распространения волн, например света или звука, описываются так называемыи волновылг уравнением. Мы начнем с рассмотрения простого идеализированного случая «одномерной волны». Такая волна состоит в изменении какого-либо свойства и, например давления, положения частицы или напряженности электрического поля, причем зто свойство и зависит не только от координаты х (напразление распространения мы принимаем за ось х), но и от времени Е Такая функция и(х, 6) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида 1 иха — — —, ии, а где а есть постоянная, определяемая физической природой среды, в которой происходит распространение волны.
Для нахождения общего решения вводим новые независимые переменные (=х — аф т) =х+ иф На основании примера 1 общее решение этого уравнения есть я =ш ($), а лало быть, общее решение предложенного уравнения есть и =ш(х+у). ас а а. пгимгаы галвнвний с частссымн пвоизводнылси б07 Тогда "-="~+" и„„=и, + 2и,„+ и п,= — аи +аи, п,с — — а'и... — 2аасс., а- пасс„, ы с' в силу чего наше волновое уравнение преобразовывается к виду исч — — О, общее решение которого (см. п' 1, пример 2) есть и=У(1)+у(сС), где у(1) и и(сс) — провзвольные дважды дифференцируемые функции. Так как уравнение и а=О есть следствие уравнения (1), то все решения последнего должны содержаться в формуле и = с (х — ай) + д(х + а1). (2) С другой стороны, обрзтно, при любом выборе функций с (".) и а(с1), имеющих непрерывные производные первого и второго порядка, выражение (2) удовлетворяет волновому уравнению, В самом деле, полагая в (2) 1=х — ас и с1=х+а1, имеем сс,,„= С'"(Е) + а" (с1) и ии — — а'~"'(Б) + а'й" (с)), и(х, 0)=й(х) и сс,(х, 0)=ф(х) определяется двумя заранее заданными функциями са(х) и ф(х).
Для решения этой задачи надо только написать и =У (х — а1) + д(х + аС) 1 и сразу видно, что а„„= —,пси Отсюда вытекает, что формула (2) лх — ив дает общее решение уравнения (1) при шобом выборе дважды непрерывно дифференцируелсых функций у(1) и а(с)). Каждый член общего решения (2) в отдельности представляет волновой процесс, распространяющийся со скоростью а вдоль оси х: первый описывает волну, бегущую в положительном направлении оси х, второй — волну, движущуюся в отрицательном ее направлении. В самом леле, если в первой волне функция У(х — а1) имеет значение с(хс — а1с) в какой-либо точке хс в момент 1ь то эта функция принимает такое же значение в более поздний момент 1 в точке х=хс+а(1 — 1с), так как х — аг=хс — а1», так что с(х — а1)= =у(хс — а1с).
Таким же рассуждением можно проверить, что функция и(х+ ат) представляет волну, движущуюся со скоростью а в отрицательном направлении оси х. Для волнового уравнения мы теперь поставим и решим следующую задзчу с начальными условиями. Из всех возможных решенссй дифференциального уравнения (1) требуется выделить такое решение, для которого начальное состояние прн 1 =0 508 гл. тс. сведения о днеееяенцнлльных сзлвненнях 1а и определить функции с и л из системы двух уравнений: у(х)+й(х)=Ч(х), — у'(х) + л' (х) = — (с (х); Второе из этих уравнений дает к — д(ж)+ и(Х) = — 1 ф ( с) аСт + С, 1 Г о где с — постоянная интегрирования. Комбинируя этот результат с первым уравнением системы, получим функции У и л, а затем найаем искомое решение х+Ы т (л + аг) + т (х — аг) + 1 2 2а х — ас Предоставляем читателю доказать самостоятельно (путем введмия вместо х и 1 новых переменных 1=х — ас и т)=х+а1), что других решений поставленной задзчи быть ие может.
3. Волновое уравнение в трехмерном пространстве. Функцяси, удовлетворяющая волновому уравнению в трехмерном пространстве, зависит от четырех аргументов, а именно от трех пространствевянх координат х, у, з и от времени й Само волновое уравнение в паостранстзе имеет следующий вид: ! и„,+и +и„= —,ии а или, короче, 1 Ч сс= — ии.
Я аа И здесь нетрудно нзйти такие решения, которые описывзют рсспрострзнение плоской волны в физическом смысле. действительно, всякая функция С'(с), имеющая непрерывные яуоизводные первого и второго порядка, дает решение дифферешсяасьного уравнения (1), если положить ч равным линейному выражеапю вида я= х+ру+у~ + ~1, коэффициенты которого удовлетворяют соотношению '+ 1'+)а=1. В самом деле, прп этих обстоятельствах Чсп=(а -', ~~+ сс)са'(;)=7'(с) Ц сссс = ау (с)с з1 з а.
пзимевы гвавнвний с частными пвоиэводными б09 откуда видно, что функция и= — г(ах+ ру+(г-+ а1) действительно является решением волнового уравнения (1). Из этого вида функции и ясно, что во всех точках плоскости ах+ ру+у» — р=О, имеющей единичный иормзльный вектор и'= (а, 'р, .() и отстоящей иа расстоянии р от начала координат, распространяющееся свойство или «возбуждение», представляемое функцией л, имеет в любой данный момент г' одинаковое значение. Это возбуждение распространяется в пространстве таким образом, что всякая плоскость, перпендикулярная к вектору и', является геометрическим местом одинакового состояния возбуждения. Скорость рзспространения по направлению обшей нормали и' этих плоскостей равна а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
