1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 104
Текст из файла (страница 104)
л г»' л =-1 Напряженность соответствугагцего электростатического поля дается формулой Е=пгаб (). В поле тяго~ения Ньютона, когда рл означают не ааряды, а массы, напряженность поля выражается формулой у'= =-7 ягаг( У, где 7 — гравитационная постоянная. 494 гл. щ. сведения о диаазэзнциальных гглвненгю ]В физике эту функцию (7(х, у, г) принято назнагь силовой функцией, а потенциалом )г называют силовую функцию с обратным знаком, так что потенциал (г= — У и напряженность электростатического поля Е= — игад )г.] Если заряды или массы не сосредоточены в отделыых точках («источниках»), а распределены по некоторой области б гзостранства ст)ч с объемной плотностью р(с, э), С), то мы уже ввеля ~ гл.!Ъ', $7, и'4 в качестве потенциала такого пространственного рапределения зарядов выражение Если заряды или массы распределены по куску Х юнерхности с поверхностной плотностью Р, то потенциал выражаеюэтак: где гуа — элемеьп площзди.
Поверхность предполагаетп заданной в параметрическом виде, с параметрами и и ж Аналогично потенциал заряженной линии (или матер>альиой линии) выражается формулой У= ~ — 'оа, где з — перемеинач длина дуги, Р(э) — линейная плотнос гь эарда или массы, а г — расстояние от точки а линии до точки наблюдеяияУ» (х, у, л), Во всех рассмотренных случаях поперхности У(х, у, г)=С являются геометрическими местами постоянного потенаи~ла и называются поверхяосгпялги уровня или эквипотенйпальяимг поверхностялги. Кривые, которые в каждой своей точке касаются соотзтствующего вектора поля, приложенного в этой точке, называются вектаркэми или силовыми линиялги. Стало быть, силовые линии эта кривые, хворые пересекают поверхности уровня под прямым углом.
Отсюла виаэо,что в поле, порождаемом одним полюсом или конечным числом полю«он семейство силовых линий исходит иэ этих полюсов, имея их, говоря эбрпно, своими истоками. Например, при наличии одного лишь полюса семэааво силовых линий состоит из всех пааупрямых, выходящих из этого поаюш Пример иогленииала ма)лериальяой (или заряженной) лак|и. Отрезок — ).-э(Г оси э несет массу или заряд, распределенный с поаояяной линейной плотностью Ю Рассмотрим иа плоскости э=о точку Рк, у). Тогда потенциал заряженного отрезка в точках плоскости ху булег аа, потенциал гравитационного и электиостлтического поля 495 где р=)) х'+у' есть расстояние точки Р от начала координат. Мы здесь добавили постоянное слагаемое, что, как мы уже знаем, ие отразится на силовом поле, которое определяется как градиент потенцизла.
Первообраз- 1 ная для нашей подынтегральной Функции есть )' Рл+*' г г+ рсгт+ рт Р Р так что в плоскости ху потенциал выражается так: ()'(х, у) =2Р.!и + +С. Р Для того чтобы вычислить отсюда потенциал заряженной линии, простирающейся вдоль оси г в обе стороны в бесконечность, припишем сначала произвольной постоянной значение С= — 2н!п21 (зто делается с той целью, чтобы при предельном переходе ! со потенциал оставатся конечным).
Тогда потенциал отрезна — 1--г(1 перепишется так: (((х, у) = 2«!п + — 2Н1и 21 = 2Н!и — 2Н1и р. 1+ гс!'+ Р' Теперь заставим 1 неограниченно возрастать; тогда 1!пт 1и 2! =1и1 = 0 и пределом потенциала У(х, у) будет выражение С) (х, у) = — 2а! и р.
Таков, следовательно, потенциал бесконечной прямой линии, по которой распределен заряд или масса с постоянной плотностью ш Это выражение пригодно для всех точек протранства, Здесь р есть расстояние точки наблюдения от заряженной линии. 2. Двойной слой и его потенциал. Наряду с поверхностным распределением заряда (простым слоем) в теории потенциала рассматривается также и так называемый двойной слой, который вводится следу!интим образом. Пусть в точке (2, ч), ь) сосредоточен заряд М, а в точке (с+ И, ц, ь) равнопротивоположиый ззряд — М; тогда потенциал этой пары зарядов будет М М ) а:6 )ь- ) )а — ч )(. — ( — ))'-)() — ) -)(* — () Заставим теперь расстояние Ь между обоими полюсами стремиться к нулю, а величину М безгранично возрастзть, и притом так, что М = — †, где р — постоянное число. Тогда в пределе получим для И ' потенциала выражение д !'1) 1 д1 ),г)' Это выражение называется потенциалом дипаля (двойного полюса) С «моментомг )ь и осью, направленной по оси й Физический смысл 496 гл.
щ. свидания о днээягянциальных ьяавнвннях (а этого термина таков: это потенциал пары равнопротивополакных зарядов, расположенных весьма бливко друг от друга. Ось даполя может иметь направление любого вектора я, и тогда потенциал диполя будет равен выражению ! дя (г)' д где — =О, есть символ дифференцирования по направлению векдя тора ч оси диполя. Теперь представим себе, что по поверхности 2, распределены диполи с поверхностной плотностью момента !», причем в каждой точке ось диполя направлена по нормали к поверхности; такое поверхностное распределение диполей и называется двойнгям слоем, и его потенциал равен интегралу по поверхности ~ ~ й($, ть ч) — ( — ) гге, д где й- обозначает дифференцирование по тому направлению порвали, которое совпадает с направлением оси элементарного диполя, г есть расстояние от точки поверхности (1, ть ч) до точки поля (х, у, г), причем в процессе интегрирования точка (1, т!, !) пробегает поверхность ~.
Можно себе представить, что такой потенциал двойного слоя возникает следующим образом. По обе стороны от повеахности 2„', на расстояниях И от нее, построим две параллельные ея поверхности; одной из этих поверхностей сообщим наряд с повеахпостной плотностью (ь(ч, т!, с)/2И, а на другой распределим заряд с поверхностной плотностью — р(!, ть ",)!2И. Эти два слоя совиестно порождают во внешних точках погенциал, который при И-ьО имеет своим пределом написанный выше поверхностный интеграл. )(ля простоты мы предполагаем, что во всех написанных выше интегралах для потенциалов точка наблюдения (х, у, «) находится в такой части поля, где нет массы (ааряда), так что подынтегральные функции и их производные непрерывны.
3. Дифференциальное уравнение потенциала. Теперь нетрудно установить, что в части поля, где нет масс (зарядов), все наши выражения для потенциала удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа Ч Ф 0 или Ф»»+ Фуу+ Ф» 0 действительно, прямым вычислением можно установить, что функция ! ! удовлетворяет этому уравнению )' (х — 3)'+ (у —,)'+ (» — Ц* (в т. (, стр. 565, это проверено для частного случая (=т!=(=0), Но отсюда вытекает, что и все остальные наши выражения, !юлу- за,потвчцнал гяквчтацнонного и элвктяостатнчвского поля 497 чающиеся путем суммирования или интегрирования функций вида —, г' тоже удовлетворяют уравнению Лапласа, тзк как дифференцирование по х, у, г можно производить под знаком интеграла.
Удовлетворяет уравнению Лапласа и потенциал двойного слоя; это следует из того, что потенциал отдельного диполя удовлетворяет этому уравнению, в силу переместнтельности операций 7 и —: д дч ' 1) а ('~=' Ч ~')=О д Конечно, дифференцирование — относится я переменным (й хь 1), между тем как операция ух — к переменным (л, у, х).
Но лехо а том, что выра- 1 жение — ках функция шести переменных (л, у, К й ж () симметрично относительно обеих троек аргументов, а потому удовлетворяет также и дифференциальному уравнению фц+ Е„+фп=б. Нетрудно проверить, что и выражение — 2р!п )' ха+ух, нзйденное выше для потенциалз заряженной вертикальной прямой, тоже удовлетворяет уравнению Лапласа; так как этот потенциал не зависит от я, то он удовлетворяет более простому «двумерному» уравнению Лапласа: Фхх + Фуу — ().
Изучение этих и родственных им дифференциальных уравнений с частными производными составляет одну из самых важных глав анализа. Следует, однако, подчеркнуть, что главной задачей теории потенциала отнюдь не являешься отыскание возможно более общих решений таких уравнений.
Главный интерес сосредоточен на вопросе о существовании решений, удовлетворяюпгих некоторым заранее заданным условиям. Так, центральной задачей теории потенциала является следующая краеаал задача: требуется найти в области 0 такое решение Ф уравнения Лапласа, которое непрерывно вместе со своими частными производными первого и второго порядка и на границе области 0 принимает заданные непрерывные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
