1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 102

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 102)

+ Т;и, = — О, Тспс +Ъсс + ..+1»п» =О (В) 1'и™ "+Т'сс!" м-'Г " 'ГТ'ссм л=о. л с яс''»» В силу этих условий выражения для производных сг', и",, лс > искомого решения п(х) упрощаются и принимают следующий вид: сс'~,'Е Тсссь и»= ~Х ', Тссс;", ссс» с> х».,ссс» — >с с пс»> = ~Х, Тссссс»> -[- ~ Т;ссс[» — '>.

Подставив выражения для и, и', и', ..., и'"' в л. д, у. Е [>с[=:»(х) и учтя, что 1 [и>>=-0 (с'=1, 2, ..., и), получим х'.1;сс(» ' " = и (х). Условия (В) совместно с этим последнии уравнением составляют систему и линейных алгебраических уравнений для производных Т,', 486 гл. ш. сввдвния о дия ьвовнцнзльных юмнвниях р Определитель этой системы есть детерминант Вронского фундаьшнтальной системы решений ис и в силу этого не обращается в нуль. Поэтому величины (с определяются из втой с"истемы уравнений однозначно, а затем находятся и коэффициента (с при помощи квадратур, вносящих и произвольных постоявазх интегрлрования.

Иа хода рассуждений ясно, что мы получили сотое общее решение нашего уравнения с. )и] = р (х). Этот способ решения называется методом аариаарисс или ссзменения произвольных постоянных, так как общее решение получается, как и для л. д. у., без правой части, в виде миейной комбинации функций, но с заменой постоянных коэффициентов переменными. Мсжио показать, что сба метода факшсчески совпадают. Лля этого надо частное решение и(х, Е) уравнения с'. )и) =О,зведеннсе в первом методе, представить в следующем виде: и (х в) = ~: ис (() ис (х). Проведение доказательства предоставляем читателю.

П р и и е р. Рассмотрим уравнение 2, 2 и — — и'+ — и =хех. х х' В конце п'6 чы нашти для соответствующего л. ар без правой части 2, 2 и — — и'+ —,и=О фундаментальную систему рнвснии и,=х и,=х". Х хз 1 — в в— Поэтому ищем решение предложенного уразкенвя а всдо и= у, (х) х+та(х) х' и ссадчиняезс козффипиенты т„т, условию т,'х + т,',хв = О. К этому усзовию присоединяется уравнение т,' + 2 "с)х = хе.".

Из зтнх двух уравнений находим „х . е откуда т, = — хе" + е" + е, и тв = е')- ез, з общее решение предложенного з, д. у. с правой зктью есть и = хех+ с,х + с,х'. 9. Вынужденное движение простейспей колебательной системы. В первом томе, гл. Хй й 5 мы интегрировзла л. д. у. простейших вынужденных колебзний тх (() + гх я + Ах (Е) = у(С) для частного случая, когда вяешпяя сила у'(С) есть периодическая функция времени. В качестве иллюстрации первого метода предыду- 91 а к линейныв днееьиенциальныв уравнения лювого погядкл 487 щего номера мы решим теперь зто урзпнение при общем предположении, что у (!) есть произвольная непрерывнзя функция времени. Простоты ради мы ограничимся случаем отсутствия трения (г= О) и а э ! разделим уравнение на лт.

Введя обозначения — =шэ и — у(!)=оу(!), гл га представим л. д. у. вынужденного колебания в следующем виде: х(!)+ 'х(!)=уФ Согласно первому методу из и'8, находим сперва зависящее от параметра Л частное решение х(1, Л) соответствующего л. д. у. без правой части (вместо и, х, с пишем соответственно х, 1, Л). В нашем случае, как мы показали в и'8, имеем х (1, Л) = — з ! и и (! — Л) . 1 Тогда функция '"==3'(Л)"" " 1 Г о является частным решением нашего л.

д. у. В+мех=у(!), удовлетворяющим начальным условиям то(0)=0, ф(0)=0. Согласно общему положению Я 8, начало), общее решение будет х (1) = — р (Л) з!и м (! — Л) с(Л + с, соэ и! + сэ и!п м1, 1 где ст и сэ — произвольные постоянные. (Тот же результат читатель может получить методом вариации постоянных.) Если, в частности„правая часть у(!)=ссозш! или сз!нов!, то простое вычисление приведет к тем же результатам, которые получены в т. 1, гл.

Х1, ф 5. Упражнения 1. В л. д. у. с постояииыми коэффициентами яву+агу'+" +алу'"'=Р(х) правая часть Р (х) есть миогочлеи. а) Если ао ~ О, то рассмотрим формальное тождество ,л — Ь, + Ь,г + а,го + ... 1 ао+аг~+" +алт Доказать, что У = аоР (х) + л1Р' (и) + ЬоР" (х) + .. есть частное решение диффереиогиальиого уравнения.

б) Если а,=о, ио аорто, то существует разложение в степенной ряд 1 — „= ьг-'+ ь„+ ь,г+ ь„го + ... 433 гл. т!. сввдвния о диаеиэвнциАльных гвавнвниях 1н Доказать, что теперь у = Ь [ Р (х) ах + Ь, Р (х) + Ь, Р' (х) + Ь,Р' (.с) +... есть частное решение дифференциального уравнения.

2. С помощью метода )пр. ! найти частиыс решения дифференциальных уравнений а) у'+у=эх' — 5х; б) у +у'=(1+х)"", 3. Даио л. д, у. с правой частью ау ( ау+ +а уаи лхр(х) где а, а„аь ..., а„— действительные постоянные, а Р(х) — миогочлеи, Длл того чтобы найти частное решение этого уравнения, можно ввести иовуп искомую функцию л=л(х) равенством у=ге'", а затем найти частное решение полученного уравнения для г методом упр, 1, Получить этим путем частные решения следующих уравнений: а) у +4у'+Зу=эл"; б) у — 2у'+у=хе".

4. Найти общее решение лиффсренциальишо уравнения у — 5у'+ бу = ел (хл — 3). 1О. Определение частного решения по краевым условиям. Нагруженный канат и нагруженная балки. В задачах механики я в рассмотренных выше примерзх мы всегда выделяли из мно~ообразия решений дифференциального уравнения (из так называемого общего решения) таксе частное решение, которое удовлетворяет известным начальным условиям, а именно выбирали постоянные интегрирования с таким расчетом, чтобы искомая функция (для уравнения первого порядка) или искомая функция и ее и — 1 первых производных (для уравнения и-го порядка) принимали в заданной точке предписанные в условии значения.

Однако во многих приложениях требуется найти не общее решение и пе частное решение, удовлетворяющее определенным начальным условиям, а решение, определяемое так называемыми краеаымп условиями; в таких случаях говорят о краевой задаче.

!(раевой задачей обыкновенного дифференциального уравнения называется задача нахождения такого решения этого уравнения, которое удовлетворяет в нескольких точках заданным условиям и которое надлежит рассматривать в интервалах между этими точками. [Эти точки являются краевыми (граничными) точками указанных интервалов — отсюда и название задачи.] Не вдаваясь в общую теорию краевых задач, мы рассмотрим здесь некоторые типичные примеры. П р и м е р 1. Нагруженный каиааь В вертикальной плоскости ху (осьу направлена по вертикали) висит канат, закрепленный з двух точках; з начале координат и в точке Л4 (а, Ь) (рис.

104). Горизонтальная проекция иатнжеяия каната имеет пастояпи)ю величину Т. На канат действует иагр)зка, погоииая плотность которой па единицу длины горизонтальной проскчии задана как кусочно непрерывная функция р(х). Тогда ордината (прогиб)у (х) переменной точки каната удовлетворяет дифференциальному уравнению у*(х) = у (х), где ч (х) = —, Форма к, ната определится тем решением лпффереяр (х) ~в) в к линийныи диввкнпициддьиык нвавнйния дювого повядкд 439 ряющее условиям: у(С)=0, у'($)=1; таким решейием является функция у(х, Е) = х — 1. Затем составчясм интеграл у (й) (х — 5) с('; — это будет частное решение данного л.

д. у. у' =у (х), удовлетворяющее условиям: у (0) = 0 н у' (0) = О. Общее решение этого уравнения есть 0 Рнс. 104. л у (х) = г, + г,х + ~ у (1] (х — 1) П'с. о Теперь краевое условие у(0) =0 сразу дает г, =-О, а затем второе краевое условие у(а) =Ь приводит к уравнению а Ь = с а + ~ у (1) (а — $) сб о для определения коэффициента г,. На практике, наряду с этой простейшей формой, встречается более сложная краевзя задача, в которой на канат действуют, помимо непрерывно распределенной нагрузки, еще и сосредоточенные сйлы, натгример сила, приложенная в точке х = х,.

Такую сосредоточенную силу Р рассматривают как идеальный предельный слтчай нагрузки р (х), непрерывно распределен- ной только по интервалу от х„ — а до х, + и когда а — О, причем ка Ч- р (х) г(х=Р, ха— т. е. полная нагрузка, действующая на участок каната (х,— ь х, + а), остается постоянной в процессе предельно~о перехода а О. Число Р считается тогда величиной сосредоточенной силы, приложенной в точке х . Если л|ы предварительно, до перехода к пределу а — О, проинтегрируем обе части нашего диФФеренциального уравнения у" =р (х))Т от х, — ч до х, + а, то получим равенство Р у' (х, + ) — У (х, — ) = —, из которого в результате предельного перехода а — 0 вытекает, что у' (х„+ 0) — у' (х, — О) = —, Р =Т т.

е. сосредоточенной силе Р, приложенной в точке хм соответствует при Р переходе точки приложения х, скачок производной у'(х) на величину Т Приведем пример, из которого будет достаточно ясно, как нзянчие сосредоточенной силы видоизменяет нашу краевую задачу. Предпоаожин, что канат натяитт между точками 0(0; О) и М(1; 1) и что единственной нагрузкой является сосредоточенная сила величавы Р, приложенная в кочке циаяьного уравнения, которое удовлетворяет краевым условиям у (0) = О, у(а) =Ь. Решим эту краевую задачу. Общим решением соответствующего л.

Характеристики

Список файлов книги