1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 101
Текст из файла (страница 101)
а„= О. а с линвйныв диоввгвнцнАльныз ввавнвния люаого пояядка 401 Оно называется характеристическим уравнением. Если Л есть корень этого уравнения, то еЛ удовлетворяетдифференциальному уравнению. Рассмотрим различные возможности. а) Пусть все корни характеристического уравненггя Ль Л„..., Л„ пазличньь Тогда в нашем распоряжении и линейно независимых частных решении е ~, е ь, ..., е~»" (см. и» 2, пример 2Л и общее решение будет линейной комбинацией этих частных решений у = сье ' + сье"ь" +... + с„е»" с произвольными постоянными коэффициентами сь сь ..., с„(Как поступить в случае наличия среди Ль комплексных корней, см. т. 1, стр. 615, пункт в).) Константы с; можно так подобрать, чтобы функция у(х) удовлетворяла начальным условиям, скажем, при х=0; у(0)=ув у'(0)=у„'...,у'"-"(0)=у,'" ", где у„у,', у,', ..., у," ' — произвольно заданные действительные числа. В самом деле, для нахождения коэффициентов сг надо решить следующую систему п линейных алгебраическнх уравнений: с~+ ся+...
+с»=уь, Льсд + Льсь +... + Л»с„=у», Л» — 1 +Л» — 1 + +Л» — ! 㻠— й Так как определитель этой системы не равен нулю, то она имеет одно и только одно решение сь с„..., см б) Пусть среди корней Ль характеристического уравнения пмеютсн кратные. Тогда число частных решений вида е г" меньше, ;еч необходимое чнсло и для получения фундаментальной системы решений. Оказывается, однако, что если характеристическое уравнение у(Л)=0 имеет корень Л кратности й, то л„д. у.
В [у)=0 имеет й частных решений вЛ', хе»", хяе~, ..., хь 'е~. для проверки этого и» д'" утверждения заметим, что х~е""= — „е"» и что если у=у(х, Л) зависит кроме х еще от параметра Л, как это и есть з данном случае, дн то операции Л н — коммутативны, т. е. дЛ'" сдан ~ дИ' Подставим теперь в наше л. д. у. 1 (у)=0 последовательно еь', хе'", ..., х" 'еь". Пользуясь цравнлом Лейбница для производной 16 Р. Кур»»» 482 гл.
ш. сввдвния о диееввзнцилльныл гвлвннниях !7 т-го порядка от произведения двух функциИ (т. 1, стр. 228), имеем: Е [е к] = е "7(Л), (.[хе ]= лЛ[е л]=ел»К(Л)+.У(Л)1, Е [Х'еЛ'] = — ДЛ, л- [е ] =ЕЛ'[Л" (Л)+ 2ХЛ" (Л)+ХаД(Л)], = е» [7(а л! (Л) + (л — 1) х7 !" М (Л) +... + ха ' у (Л)] (ср. т. 1, стр. 173, упр.
14); поэтому 1. [е~]=О, 1[хе'"]= О, ..., Е. [ха 'еЛ»]=О, Таким образом наше утверждение доказано. Предположим теперь, что характеристическое уравнение имеет корни Лн Л„..., Л„кратности которых соответственно )т„л)т, ..., й„ причем лОл+йе+...+лг„=н (степени уравнения). Тогда наше л.д.
у. л. [У] =О имеет следулбщие и частных решений: ел,к хсл,» ха, — тел,к елл» хел,» так — !ел!» ). к !. к а — ! л.,к Все эги функции, согласно упр. 1 на стр. 479, линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. П р и и ар 1. у"'+ 2у" — у' — 2У= О. Характеристическое уравнение У (Л.) нн Л'+ 2Л' — Л вЂ” 2 = О.
Общее решение у= с,с='+с,с»+с,с '". уловлетворлющее условию: у(0)= 2, у' (0) =О, у (О) =2, Частное решение, есть у=с»+с" Пример 2. У"' — у" — у'+у= О. Общее решение у=с,ел+с,хс»-[-с,е к, у"' — 2у'+4у=-О. Характеристическое уравнсаие Л' — 2Л + 4 = (Л -]- 2) (Л вЂ” 1 + !') Р, — 1 — !) = О, Пример 3. У(Л) = Общее решение у = с,с '" + с„с» осах + с,ек нн х. Так как, согласно предположению, Л есть корень характеристического уравнения Д())= — О кратности )е, то У(Л) = О, У (Л) = О, У.
(Л)= О, .... )та- л(Л)= О а! а 4. линейные диооегенцихльиые килвнения лювого поиядкл 488 Упражнения 1. Найти общие решении следующих уравнений: а) у"' — у=О; б) у"' — 4у" +5у' — 2у=О; в) у"' — Зу" 1- Зу' — у = 0; г) у'ч — Зу"+ 2у = О. [2. Нижеследующие л. д.
у. с переменными коэффициентами, называе- мые уравнениями Эйлера, можно преобразовать в такие же уравнения с по- стоянными коэффипиентами с помощью подходящей замены независимой переменной. Найти эту замену переменной, а зателл и общие решения этик уравнений: а) х у" + ху' — и у = 0; б) х у'" + 2х у" — 4ху' + 4у = 0 ) 3*.
Материальная точка Р массы 1 движется под действием двух сил Р= — Луг и у= 2Н [до[, где Ф есть орт оси а, г — радиус-вектор точки Р, а вектор о — ее скорость. Доказать, что если в момент т=о точке Р, находквшейся в втот момент в начале координат, сообщена начальная скорость величины о, ~ло направ- лению положительной оси х, то последующее движение о1лисйвается сле- дующими уравнеизями: х=, ' э!о)ГЛ'+И' Ксилит, У'Л'+ рэ у = ' к!и )гЛ'+ и' Г а!а !лг.
)у>" + !" 4. а) Пусть и, о — два лянейио независимых решения л. д. у. без пра- вой части у(х)у'" — у'(х)у" + Г(х)у'+ Л (х) у =О. Доказатлч что общее решение есть у= Аи + Во+ Сш, где оу(х) к!х ( иу(х) йх (ио' — и'о)' З (ио' — и'о)' ,1 и А, В, С вЂ” произвольные постоянные. б) Найти общее решение уравнения х' (х'+ 5) у"' — х (7хл + 2о) у" + (22хл + 40) у' — ЗОху = О, имеющего частные решении вида х".
8. Л. д. у. с правой частью и с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Прежде чем приступить к решению л. д. у. с правой частью В [и] = ао (х) и! ли + а, (х) и'" ' ! +... + а„к (х) я' + а„(х) и = р (х), (1) установим следующие важные факты (ср. т, 1, гл, Х1, й 5, п' 1). Во-первых, сумма какого-либо частного решения о(х) уравнения(1) и общего решения то(х, сь сэ, ..., с„), соответствующего л.
д. у. без правой части ). [то[= О, является решением уравнения (1), содержащим и линейно независимых произвольных постояннык Во-вторых, если ввести в уравнение (1), имеюптее частное репкение о(х), новую неизвестную функцию ш(х) с помощью равенства и(х)=о(х)+ ш(х), Щ' 484 гл. чс. свздзния о дно аезенциллыых гяавнпниях 1а то ис(х) удовлетворяет соответствуюшеиу уравненшо А [ш[ =О. Оба эти положения легко проверить подстановкой в уравнение (1). Отсюда вытекает, что для получения общего решеаля л.
д. у. с правой частью достаточно найти одно его частное решезсе. Этого можно добиться следующим путем, Сначала определяем подходящим выбоуом постоянных сь с„..., с, такое решение соответствующего одноролкого уравнения 1. [сс[ = О, которое удовлетворяет условиям и(Е)=0, и'(Е)=0, ..., игл "(с)=0, и'" су(Е)=1. Это решение, содержащее кроме х еще и парсметр Е, мы обозначим через и(х, Е). Функция и(х, Е) и ее первые л проасводных по х являются при фиксированном х непрерывными функцяяяа от с. Например, для урав- нения и' + и и = 0 такое решение и (х, Е) = — з1п ш (х — Е). Я Так вот, мы утверждаем, что формула о(х) = ~ сл(Е) и(х, Е[сЕЕ (А) о дает частное решение о(х) уравнения (Д которое в точке х=О обращается в нуль вместе со своими и — 1 первыми производными.
Для проверки этого утверждения лрсдифференцируем функцию о(х) п раз по х по правилу дяфференаяравания интеграла по пара- метру (гл. !Н, Э 1, п' 2). Принимая во залмание соотношения и(х, х)=0, и'(х, х) =О, ..., ис" "(х, х) =О, ис" ы(х, х) = 1 смысл участвующих здесь символов сакзс: и' (х, х)= — ь — ' при дли (х, Е) дх Е=х~, получим: х л о' (х) = у (Е) сс (х, Е) ! + $ й (Е) и' (х, Е) дЕ = $ ср (Е) и' (х, Е) с(Е, о о к к о" (х)=су(Е)сс'(х, Е)$ „+$су(Е)сс" (х, Е)аЕ=$ ~(Е)сс" (х, Е)с(Е, о' о о'" "(х)=ср(Е)ис" "(х, Е)/ +)Ч>(Е)ссшл(х, Е)сЕЕ= а =$ р(Е)и'" "(х, Е)сЕЕ, о оеп(х)=о(Е)игл п(х, Е)! +$у(Е)ямах, Е)йЕ= з к =о(х)[ — $ сл(Е)слон(х, Е)с(Е, и з> а 4.
линвйныв дс>ожегвн>>стальные лглвнвния люього погядка 48б Так как с'. [сс(хД)) =О, то нетрудно убедиться, что Е [п[=ф(х). Кроме того, ясно, что п(О)=тс'(0)=...=ос" О(0)=0, Сложив частное решение п(х) уравнения (1) с общим решением соответствующего л. д. у. без правой части, получим общее решение уравнения (1) с правой частью. Решение о(х) вида (А) имеет следующий физический смысл. Пусть независимая переменная х=г означает время, а функция и есть переменная координата точки, движущейся вдоль прямой под влиянием силы т(х>.
Тогда действие этой силы мотйно рассматривать как с>перпоэпцию малых действий элементарных импульсов. Построенная выше функция и (х, 6) соответствует импульсу величины 1, приложенному в момент времени »=1, а решение о (х) с>ммнруст действия нлспуаьсов т(Д за промежтток вречени от О до х. Мы не имеем эдссь воэможности входить в дааьнейспне подробноспс. Урапневие ь [и[= ф(х) можно также решить следующим методом, который кажется на первый взгляд совершенно отличным от только что изложенного. Мы ищем решение п(х) уравнения (1) в виде линейной комбинации и решений фундалсентальной системы соответствующего л. д.
у. без правой части: и = Тс (х) ис (х) + Тэ (х) па (х) +... + Т» (х) сс„(х), но допускаем при этом, что коэффициенты Тс могут быть функциями от х. Так как вместо одной искомой функции введено л неизвестных функций Т;(х), то мы ппрзве наложить на ннх и — 1 условие. Мы подчиним эти функции следующим условиям: Тлссс + таис ->-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
