1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 105
Текст из файла (страница 105)
4, Однородный двойной слой. Мы не имеем возможности заняться здесь подробным изучением гзрмонических функций, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Достаточно будет показать на нескольких примерах, как производится тзкое исследование, главными орудиями которого являются теоремы Гаусса и Грина, доказанные в гл, У, й 5, Сначала рассмотрим потенциал двойного слоя с постоянной плотностью момента (х = 1: 498 гл, чь сведения о диввврвнцняльных травякчиях 14 Этот интегрзл имеет простой геометрический смысл.
1йопустим, что всякая точкз куска поверхности Х, несущего двойиои слой, видна из точки Р(х, у, г), т. е. может быть соединена с Р зарезном прямой, ие встречающим Х ни в какой другой точке. Тогди кусок поверхности Х вместе со всеми полупрямыми, идущими от точки Р к его границе, образует конусовидную область О простривства. Мы утвермдаем, что потенциал нашего однородного дводялго слоя равен с точностью до знака телесному углу, под коиорым граница куска поверхности Х виска из точки Р. Поясним. что под этим телесным углом мы разумеем плошадь того куска кировой поверхности радиуса 1 с центром в точке Р, который вирьзается образую- шими конуса О.
Этому телесному углу приписывают положительный знак, если образующие конуса, идущие от точки Р, пересекают поверхность Х в том же направлении, что и положительная нормаль т, и отрицательный знак в противном случае (ср. упр. 4, стр. 431). 1 Для доказательства вспомним, что выражение и= — ие только г как функция точки (х, у, г), но и как функция тояак (ч, л1, ч) удовлетворяет уравнению Лапласа 7'иг=иии' ,и,,+гг,,=б, Точку Р(х, у, г) будем считать неподвижной; пряииугольные координаты точек конусовидной области О обовначии через Е, т„". Вершину Р конуса вырежем из него, описав вокруг Р юбольшую сферу радиуса р; остзток конусовидной области обознзчии через Ор.
При- 1 меннм'теперь к функции и= —, рассматриваемой как фушгция точки г' (1, ли Г) в области Он теорему Грина (гл. Ч, 9 5, и'4,а) в следующей форме: ~ ~ ~ 7игии(йьйл)ки",= Д Вяиг ига, 5 где Ю означает полную поверхность области Ор, а Ея означает дифференцирование по направлению внешней нормали. Гак как 7иии=(у, то левая часть ранна нулю'). Стоящий в правой части интеграл по поверхнссли Я распадается на три интеграла: 1) интеграл по поверхности Х, иесушей двойной слой, 2) интеграл по боковой поверхности, составлениой образующими ') Иэ этой формы теоремы Грина вытекает общкИ вывод, что если функция и удовлетворяет уравнению Лапласа всюду ввулри некоторой замкнутой иоверкиости 5, то Цани Лэ = О, ьу 41 аь.
потзнциал ГРАВитАционнОГО и элвктРОстАтичрскОГО поля 499 конуса, и 3) интеграл по куску Г, поверхности малой сферы радиуса р. Первый из этих интегралов есть т. е. этот интеграл по поверхности Х равен потенциалу 1г двойного слоя, если на Х направление оси плотности момента совпадает с направлением внешней нормали поверхности Я, и равен — )г, если оно совпадает с направлением внутренней нормали. Второй интеграл равен нулю, так как иа боковой поверхности нормальный вектор п перпендикулярен к образуюц1им конуса, а следовательно, направлен по касательным к сферам г= сопв1. В третьем интеграле, по куску Гр 111 Г д 11 1 малой сферы радиуса р, имеем г=р, а Е)Р1 — '=~ — д — — ~ "1~г) ~ дг г~~-р ра' так как внешняя нормаль направлена в сторону наибыстрейшего уменьшения г.
Поэтому где Я есть телесный угол, пол которым из точки Р виден кусок поверхности Х. Следовательно, формула Грина, примененная к области О, дает -+- ) +а=о, откуда )г=:» я. Это и есть сформулированное выше утверждение. Знак потенциала окажется положительным или отрицательным, смотря по тому, какая сторона двойного слоя лежит ближе к точке наблюдения Р, варяженная положительно или отрицательно. Если двойной слой не имеет такого простого расположения относительно точки Р, как описано выше, так что некоторая часть лучей, выходящих из Р, пересекает поверхность Х в нескольких точках, то достаточно разбить эту поверхность на подходящее число частей более простого вида и расположения относительно точки Р, чтобы убедиться, что наше утверждение остается в силе. Потенциал однородного двойного слоя (с плотностью момента р = 1), расположенного на куске поверхности, имеющем границу, равен, с точностью до знака, телесному углу, под которым эта граница видна из точки наблюдения Р(х, у, л).
Если двойным слоем покрыта заккнутаа поверхнострь то, разбив ее на две части, имеющие 1общую) границу, найдем, что потенциал равен нулю, если точка Р лежит вне поверхности, и ~-4я, если Р лежит внутри ее. 500 гл. ч!. сведения од!сьаганциальиых кялвняниях )В В случае двух независихях переменных аналогичное рассуждение показывает, что интегрзл '1Оч(1п г) аз, с взятыя вдоль луги С, равен, с точяосгью до знака, углу, под которым хорда, соединяющая конечны! точки дуги, видна нз точки Р(х, у) Этот результат можно ггкже вывести прямым геометрическим путем. Пусть точка С!(ч, т!) пжит яа дуге С.
Тогда производная от )п г в точке Я по направлен~ею нориали к кривой С выразится так: ! Он)и г= — !пг сох(т, г)= — соз(т, г), «г где символом (я, г) обознзмч угол между нормальныги вектором я и рздиус-зектором г. С друг<и стороны, элемент дуги стгз выражается в полярных координатах (г, В) формулой гда да= сев(у, г) (получается сравнением фори)лы для 13р, т. 1, стр. 310, с формулами т. 1, стр. 3224).
Таким образо!, 0ч(1пг)аз= ~ — соз(ч, г) = ~ а!О, Г1 г дз ~ Г соа(т, Г) Следовательно, данный янтнрал равен углу, под которым дуга С видна из точки Р(х, у). Ксгпгь соответствующий пространственный результат, полученный выше, тоже можно вывести геометрическим путем. 5. Теорема о среднем з!ачении. В качестве втоРого применения преобразования Грина асчажеп, что всякая гармоническая функция, т. е. всякая функция п(г, у, «), удовлетворяющая в некоторой области 6 уравнению Лаплас! обладаег свойством, выражаемым следующей теоремои о ср~днеы значении: Значение гармонической функции и(х, у, «) в центре Р произвольного шара, лежаьяего пглностью в области О, равно среднему значению этой функции на говеухности упомянутого шара, т. е.
и(х, у, г)= — „, ИаЪ, ! пе с где и(х, у, «) есть з!аченш функции в центре Р, сг й — ее значение на поверхности 8, мша радиуса г. Для доказательства постр!им шаровую поверхность Яр с тем же центром Р и радиусом р(г Так зак внутри 8г всюду 7'и=О, то на основании сноски на стр.!98 поверхностныя интеграл ах, потянцнал гравитационного и электростатического поля 501 Обозначим через (, Ч,, текущие прямоугольные координаты и введем систему сферических координат с началом в точке Р(х, у, л) с помощью формул  — х=рсозвзсп9,  — ул рзсп рзсп8, ( — е = р соз 9. Тогда последнее равенство примет такой вид: 6 ди (» а у) й, О др эр Так как элемент плошади шаровой поверхности Юр есть йа=р'с(а, где иа есть элемент площади единичной сферы о(ср.
гл.!Ч, стр. 295, петнт), то при р) 0 причем сса и область интегрирования уже не зависят от р. Следовательно, и » ~ фф~'а=о. Переменив порядок интегрирования и выполнив интегрирование по р, получим 16 (и(г, 8, <р) — и(О, 9, ср)) (Ка =О, Так как и(0, 9, ср)=сс(х, у, л) не зависит от 9 и в, а 6 =е6 = У 1 ее 1 ае п(г, В, в)с(а= е асс(г, 9, ~)да= —, ийа, 5 з» » то из предыдущего равенства вытекает, что — уййа — 4ли(х, у, г)=0, !»л г' ~~ » откуда и (х, у, л) = — „ф и с(а, 1 » и теорема о среднем значении доказана.
!Еще более простое доказательство теоремы о среднем значении для гармонических функций дал Б. П. демидович (УМН, т. !Х, вып. 3 (61), стр. 213, 1954 г.).) Совершенно аналогичным путем можно доказать для всякой функции и(х, у), зависящей от двух переменных и удовлетворяющей 502 гл. чс. сведения о диввгявнцнлльных гвавнвнипх !в двумерному уравнению Лапласа сс,„+и.,=О, теорему о среднем лначеюш на окружности, выраженную формулой 1 Г и(х, у)= — ст) П сй, 2гг ~! где и — значение гарасонической функции и на окрувности Сп радиуса г с центром в точке Р(х, у), а с(а есть элемент дуги этои окружности.
6. Краевая задача для окружности. Интеграл Пуассона. В качестве примера краевой задачи рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости для круговой области ха+ус( Щ Введем полярные координаты (г, О). Требуется найти такую функцию сс(х, у), которая непрерывна в указанном круге и на его границе, имеет в этой области непрерывные производные первого и второго порядка, удовлетворяет уравнению Ласиаса и,„+и =О и на границе облссти, т.
е. на окружности круга, принимает заданные краевые значения сс(сс, О)= =с(9). Мы предполагаем, что у(0) есть заданная непрерывная периодическая функция от 0 (с периодом 2я), имеющая кусочно непрерывную производную по 9. Решение этой задачи дается в полярных координатах так называемым интегралом Луаееона 2п сгп — г' (' у(а) 2п ) Дп — 2ппГ Спа ( — а) + Г* Для доказагельства преобразуем уравнение Лапласа к полярным координатам 2 ! ! уясс = — (пс,)„+ —., им = О н построим последовательность его частных решеник следуюсцим путем. Будем искать такие решения, которые можно выразить как проязведение функции от г на функцию от О, т. е.
решения вида ип 9(г)ф(0). Поде~авив это выражение в уравнение Лапласа, получим гт" (г) + г' (г) ф" (В) я (г) ф (8) ' Так как левая часть не зависит от 0, а правая не зависит от г, то их равенство возможно лишь в тои случае, если обе части не зависят ни от г, ни от 9, т. е. равны одной н той же постояннои сс.
Отсюда получается для ф(9) дифференциальное уравнение фн —,арф=о. Так как искомое решение и должно быть периодической функцией от 0 с периодом 2я, то и функция ф(0) должна быть периоди- а! эа. пОтенциАл ГРАзитАциоинОГО и электРОстАтическОГО пОля 503 ческой с периодом 2к. Отсюда вытекзет, что постоянная Ь должна иметь вид Ь=ла, где п — целое число, и тогда ф(0)=асозпВ' ,Ьа!ОЛВ, где а и Ь вЂ” произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
