1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 118
Текст из файла (страница 118)
'4, Я 1), Положим 7(1)=н(г, з)+1п(г, з), 1»=г»+гз», 1»=г»+(з», И» —— 1» — 1» ! — — Ь㻠— , 'гйз». Тогда л Ю = ~', (н(г», з»)й㻠— п(г», з»)бз»1+ »=! л -~-'(Х! <4,»!~ 4- !'!, ')и!~ »=! При неограниченном возрастании л суммы в правой части имеют своими пределами действительные криволинейные интегралы ')(иИх — пт(у) и )(и!»х+ пЫу); с с стало быть, Ю„стремится к пределу, что мы и утверждали. Этот предел и называется определенным интегралом функции 7(1) вдоль кривой С от 1» до х; он обозначается символом ) 7(Е)!(1 или $7ЯЫ. 0 р з1 а э. НнтвГРНРОВАнин АнАлнтнчвских Функций 661 Таким образом, ~ г Щй)=г)(и йх — ойу)+1~(ойх+ийу).
с с с Из этого определения сразу вытекзет (ср. гл. Ч, $1, копен пз 3) следуюшая важная оценка определенного интеграла: если Е есть длина луги пути интегрирования (дуги С), а [Я) [(М на этом пути, где М вЂ” постоянная, то ~ У(1) а1 ! ~ МЕ. с В дополнение к этому отметим, что действия над комплексными интегралами (з частности, в отношении соединения различных путей интегрирования) подчиняются всем соответствующим правилам, установленным для криволинейных интегралов в гл. Ч, $1, п' 3. [Полезно заметить, что з доказательстве существования интеграла у(г) Нг фактически использовано только свойство непрерывности функции у(г).
Из свойств криволинейного интеграла з действительной области вытекает, что если З(г) — кусочно непрерывная функция комплексной переменной г, а путь интегрирования С вЂ” кусочно гладкая кривая, то )У(г) Нг существует.) 2. Теорема Коши, Существенным фактом теории функций комплексной переменной является следующая т е о р е и а К о ш и: Если функция У(г) является аналитической в односвязной области О, то интеграл ~ У(1)й1=')Д(1)г(1 не зависит от выбора го с пути интегрирования С, лежащего в области О и содержащего точки кз и гг этот инпгеграл является аналитической функцией Р(г), причем 1 ~ р(з)= и ~ У(г)й1=У(г). гг Зто значит, что Р(г) является первообразной для подмнтегральной функции У(г).
Теорему Коши можно изложить н в следуюшай, эквивалентной формулировке: ~ Если функция ) (г) является аналитической в односвязной области О, то ее интеграл вдоль любой замкнутой кривой, лежащей в этой области, равен нулю. 11окззательство того, что интеграл не зависит от пути, непосредртвепно вытекает из основной теоремы о криволинейном интеграле 562 гл. чш.
егнкции комплкксной пнпемвнной (гл. Ч, $1, п 6'и 7). В самом деле, в силу условий Коши — Римана, оба выражения ис(х — обу и обх+пбу, являющиеся подыитегральными функциями в' действительной н мнимой части, удовлетворяют условию ннтегрнруемости (стр. 378) Поэтому наш интеграл янляется функцией от л= х+!у, которую можно обозначить через р(г) = У(х, у)+Ю(х, у), а из выведенных ранее свойств криволинейного интеграла вытекают следующие соотношения: Ул и~ Уу= о, ь'х=о ~'у=гц вто значит, что Ул~ (у Уу= — К„, У„+т„=и+!о, т. е.
Р(г) действительно является аналитической функцией в области О, и ее производная р'(г)=у(г) Односвязность области 0 является существенным условием для справедливости теоремы Коши. 1 Рассмотрим, например функцию —, которая является аналитической л ' всюду в плоскости а, кроме точки с=О. Однако иэ теоремы Коши мы ке Г й! в праве делать вывод, что интеграл дв —, взятый вдоль замкнутой кривой, содержащей внутри себя начало координат, равен нулю; нэ в праве потоку, что эту кривую невозможно включить в односзязную область, в которой 1 функция — была бы аналятическок. Олносвязность области нарушается нсключнтельнои ролью точки а О.
Это можно проверить прямым вычислением. 1чапрнмер, если взять интеграл вдоль окружности К, заданной уравнением 1а! = а против часовой стрелки, то на этой окружности можно положить л = ! = ее!в и принять б за переменную интегрирования; тогда т = =а!еввйв, в мы получим тя й! Г а!евв — = ~ — гв "З 2я! д ее а т. е.
интеграл равен не нулю, а 2я!. Однако теорему Коши можно распространить и на многосвязные области следующим обрззом: Если граница области 0 состоит из конечного числа кусочно гладких замкнутых кривых Сн С„... и если функция у(г) является аналитической внутри втой области, и такзюе на ее границе '), то сулсма интегралов от функции У(г) вдоль всех граничных кривых равна нулю при условии, что все вти граничные кривые описываются в одном и том пке каприз!енин относиявельно области О, т. е. при обходе всех граничных кривых об- ') Функция называется аналитической на кривой, если она является аналитнческед в некоторой сколь угодно малой окрестности втой кривой.
а а. НнтеГРиРОВАние АнАлитических Функций б63 ласть О расположена всегда по одну и ту же сторону, например по левую сторону. Так, на рис. 108 имеем Показательство получается сразу, по образцу соответствующего доказательства для криволинейного интеграла: мы разбиваем многосвязную область О на конечное число односвязных областей (рис. 109) Рис. 108. Рнс. 109.
с помощью конечного числа разрезов Яь Яь..., применяем теорему Коши к каждой из одиосвявных областей и все результаты дкладываем. Эту теорему можно также изложить и в следующей формулировке: Если область О образована пз внутренней области замкнутой кривой С путем удаления из нее внутрентгх областей других кривых Сь Сь..., то Гоо>е=ЦГоооо. грачем интегралы (ло внешней границе С и по внутренним границам Сь С„...) д олжнм быть взяты либо -все против часовой стрелки, либо все по часовой стрелке (рис. 110).
3. Приложения. Логарифм, показательная функция и общая степенная функция. На базе теоремц Коши можно теперь построить удовлетворительную теорию логарифма, показательной функции, а затем и других элементарных функций, следуя процедуре, подобной той, которую мы применили для действительной переменной (т. 1, гл. 111, й 6). Начнем с того, что дадим определение логарифма как интеграла 1 от функции —.
Разрежем плоскость комплексной переменной вдоль отрицательной действительной полуоси и ограничим сперва путь 664 гл. чш. экнкции комплвксной пвявменной !а интегрирования условием, чтобы он лежал в полученной односвязной области, т. е. не будем допускать такого пути интегрирования, который пересекает отрицательную действительную полуось. Точнее, полагая 1=(!((сов В+!а!пВ), мы ограничим В неравенством — пс" (В~в.
В разрезанной плоскости комплексной переменной ! мы соединим точку ! = 1 с произвольной точкой г любой криволиней. 1 ной дугой С и будем интегрировать функцию — от точки 1=1 до точки 1=а; по теореме Ноши этот интеграл не зависит от выбора кривой С и представляет собой аналитическую функцию, которую мы обозначим символом 1п г: !,=1пг= Г лт ~ г Ясно, что !п 1 =0. Логарифмическая функция обладает тем свойством, что 1 ля — 1пл= —. Так как эта производная нигде не обращается в нуль, то существует обратная функция от логарифма, л=я(ьь) для которой л(О) = 1, и по формуле для производной от обратной функции а'(~) =(,„,.
—— я =Кб). 1 (!в г)' Согласно э 4 (и' 2 и конец и' 3), эта обратная функция совпадает с показательной функцией, определение которой было дано ранее: л(Г) = е~. функция 1и я определена выше однозначно. Мы видели, что (1и а)'= —, т. е. Г(л)=1п а удовлетворяет дифференциальному урав- 1 нению Г"(я)= †, Нетрудно убедиться, что само это уравнение определяет функцию г(г) и в комплексной области с точностью до произвольной аддитивной постоянной.
Действительно, для любого реше- ! 1 ния,г'(г) этого уравнения имеем (г(а) — 1па)'= — — — = О, откуда я 2 (см. й 2, и' 2) г(я) — !па=С=сопя!, а стало быть, У(я)=!па+С. Г вг Интеграл !п г= — легко вычислить в явном виде, если взять в качестве пути интегрирования линию, состоящую из отрезка действительной оси от точки 1=1 до точки 1=~'я~ н дуги !. окружности )!(=)я~ от точки (я( до точки !=я (рис.
111). Тогда интеграл ~г~ г лг вдоль отрезка оси х будет л! — =!и!а~, а на дуге 1. можно поло! а1 $ а. Ннтагвиаоалнив АИАлитичвских ФункциЙ 565 жить Р =1в ~ ет так что й1 =1 ~ г ~ ет ~~ и соответствующий интеграл будет — = — — ратасу=1~ г(у=10, где 0 есть главное значение Г лс Г Пг~ РГР Г 1) г ~та/етт а аркуса комплексного числа а. В результате имеем 1п л = 1п ~ я ! + 10 =1п ~ г ~ + 1 агс г, — и с' агс г = 9 ( к. Полученное таким путем значение логарифма любого комплексного числа называется главны.и значением логарифма. Это название оправдывается тсм фактом, что для логарифма можно получить и Рис, 111.
Рис. 112. другие значения, если отказаться от условия, что путь интегрирования не должен пересекать отрицательной действительной полуоси. Тогда можно путь интегрирования от точки 1 до точки я провести таким образом, что он обойдет вокруг начала 1=0. Возьмем, например, путь 1АВЕ)я (рис. 112). Для этого пути будет „1.."-'=,.Ь,'-'",3.'-,' Первый интеграл в правой части, согласно теореме в конце п' 2, Г лг равен интегралу ~ — вдоль окружности малого радиуса а с центром .) г в начале, т. е. равен 2к1 (см. пример, набранный петитом в пь2).
Второй интеграл нам уже тоже известен." — = 1п г = 1п ( а 1+ 10. я'г В итоге получаем: вдоль пути, обходящего начало координат один раз против часовой стрелки, — = 1п ( л ~ + 10+ 2к1 =! и л + 2К1. Можно, очевидно, взять путь интегрирования, обходящий сколько угодно раз вокруг точки а=О в положительном Жв отрицательном направлении. Тогда получится Ьп г = 1п ) г ( + 10 + 2п к1 = 1п л + 2п К1, 666 гл. чш, чянкцин комплексной пвввмвнной 1а где и — любое целое число, положительное, отрицательное или нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
