1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 122
Текст из файла (страница 122)
1 ! 1) Пусть 9 (г) = — „ — где коэффициенты а, Ь, с — депесге + Ьг + с /(г) стзизельиые числа, удовлетворяющие услозиян а)О и Ьз — 4ас ( О. Тогда функция () (г) имеет з верхней пог)еезскости только один простой полюс (т. е. полюс первого парилка) г = — ( — Ьс-е)'4ас — Ьг) 1 2а с положительным значсниеи кзадраззго корня. Поэтому, в силу общсго 1 правила (В 4, и' о), вычет отяоситевее~а этого нолеоеа равен 2кд — Так с (ге) ' как Р (г„) = 2аг, +е.= С )' 4ас — Ь', то етх 2и '+ Ьг+е )l 4ас — 'Ьз ' 2) В качестве второго примера докажем форяулу (ср. т. 1, стр. 274) — = — я Р'2.
1+г' 2 И здесь можно сразу применить азш общий рсзуаьтат. В верхней полу- 1 1 плоскости функция (3(г) =, = — имеет лза простых поюосз ! + г' С ! г) з Еге г, = в н г„=в = — — = — е . Это тс лза значения корня 4 4 4 е.е в' 3! а 5.
ЛРиложение к вычислению ОпРеделенных интеГРАлов 581 четвертой степени из — 1, которые имеют погожитезьную мнимую час~ь. Сумма вычетов равна Ч'(") Р(г )) ' 4 Я Й=~(:-,'+.'-;:~) = ! л л'Р'2 = — — 2!жп ' — '=лз!и "-= — ', 2 4 " 4 ! (» +г)= — — ~е4 — г 2 ' ' 2 и наша форм) за доказана. Упражнения 1, Тем же путем доказать формулу !+х' 2 1 2.
Доказать, что вообще, если л и т — положительные целые числа и л)ж,то 1+хая . ~2т+ ! ) ' х л л В приведенных примерах н упражнениях нам приход!!лось вычислять вычеты только огносительно простых полюсов. Теперь мы докажем формулу 4)х к (2л)! (1 + х~)лы 4л (л1)л ' Если разложим последнии множитель в биномиальны)) ! язь то член этого ряда, содержащий (г — 1)', имеет коэффициент !4 — л — 14) ! (л ! !) 2 л (2 (2!)л ~ ) !Ч!)л ( ) 1,2 2л (л!)л . для чего потребуется найти вычет относительно полюса более высокого порядка. После замены х на г, знаменатель подынтегральнон функции можно привести к виду (а+1)ль'(г — г)л+.'. Следовательно, подынтегральная функция имеет в верхней полуплоскости лишь один полюс (и+1)-го порядка в точке г=!.,Для того чтобы найти соответствуюцгий вычет, напишем ! 1 ! ! (гл+ !)л4! У (г) (г — 4)л ~ (2!+ г — 4)л11 (1+ — ',, '1 (г !)лл~ (2!)л+1 ! + 582 Гл.
ч!и. Фкнкции кОмплекснОЙ пегезтенной Стало быль, коэффициент с ! в разложении подынтегральной функ. 1 1 (2«)1 ции по степеняи з — 1 равен — — — —.—,. Поэтому вычет относя. 2»е-н » ( »!)» . в (2«Д тельно полюса 1 будет 2к(с ! — — — „„-,,', что и доказывает нашу — 2»«(«1)» формулу. Упражнения 1. С повощью теории вычетов доказать формулу с« хмпх»'- -~«! х+с» ' 2 2. Дан иногочзен г'(х) степени п, имеющий простые корни «о «», ..., «„.
Доказать, что «», — =О (л»=О, 1,2,,п — 2). ' у'("в) з=! рассмотреть Х вЂ” »тл вдоль замкнутой кривой, содержащей все корни «з ( ,!» (е) внутри себя.) 4. Теорема вычетов и линейные дифференциальные урввнеиия с постоянными коэффициентами, Дан много!Еен степени л Р (з) = а«+ а!я+ атзт+....+ а,з", и пусть у (х) — любой многочлеп, степень которого меньше чем л (в частности, постоянная)т Если ( есть действительныя параметр, то интеграл г е! у («) и(1)= тт —. аг» Х Р («) взятый вдоль любой ззикнутой кривой С плоскости г, не проходяптей через нула знаменателя Р(з), является функцией п(г) параметра г. По правилам дифференцирования под знаком интеграла, которые действуют без изменения и в комплексной области, функцию и(г) моя<но дифференцировать требуемое число раз по Й Это дифференцироввние по 1 под знаком интеграла равносильно умножению подыпге!ральной функции на г, гз, яз,..., в зависимости ог порядка вычисляемой производной.
Поэтому, если составить дифференциальное выражение у. 1 ! = а«+ а и' -)- а «' -1-... —,' а) з а. пРилОжение к Вычислению ОпРедРленных интеГРАлОВ б83 или, в символическом обозначении, Р(1з) и, где 0 есть символ диффег! ренцирования: Й = —, то ~й ' Р (0) и = Е [и] = !1! е!«] (г) гтж По теореме Коши этот комплексный интеграл равен ну!по; это значит, что функция и(!) является решением дифференциального уравнения з. [и] = О. Если У(а) есть произвольный многочлен степени и — 1, то это решение содержит л произвольныт посгояппых. Поэтому можно ожидать, что таким путем получено самое об!цее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Е [и] = О, И действительно, это решение моги!!о привести к уже известному нам виду (гл.
1г!, $ 4); для этого надо вычисгпжь полученный для и(Г) интеграл по теореме вычетов, предполагая, что замкнутая кривая С содержит внутри себя все пули г!, «ь . Рл знаые!ителя Р (е) = а„(г — ха) (з — «!)... (е —:„). Предполоаким сначала, что все эти нули простые; тогда они являются простыми полюсамн подып!егральной функции, и вычет относительно пол!оса г» будет 2а1 —; — е «, В силу произвольности ° .Г(е«) г ! ! '(г«) многочлепа у(г), выражения —,-, --'- можно еде»а!ь произвол*лыжи по- ! (Т») 1' (г«) ' стоянными, и, стало быть, решсппс и(!) Пр:пш«жег обы шый вид общего решения и (1) = ~х, с«е'«, в полном согласии с прежними результаталш. Если же нуль «многочлспа Р(г) является кратным, скажем точнее, г-кратным, то соответствующий полюс подынтегральной функции будет полюсом г-го порядка.
Тогда вычет относительно полюса з« придется определить, разлагая числитель. подыптегральной функции, а именно е~'у(а)=е~~«е (' '«)) (г), в ряд по степеням е — а«. Предоставляем читателю показать, что вычет относительно полюса а» дает наряду с решением е «еще и г — 1 других частных решений ! ! Га г„! (а — ! б.
Доказательство формулы ~ е-"-"дх=]гат с помощью теории вычетов. При вычислении интеграла в п'2 мы пользовались этой формулой, счигзя ее известной из теории действительных переменных, Однзко этот интеграл можно вычислить с помощью интегри- 584 гл. щп. эгнкиии комплексной пегвменной рования в комплексной области, пользуясь теоремой вычетов. Так как это доказательство весьма поучительно, то мы его здесь приведем, хотя с нашей элементарной точки зрения его исходный пункт может показаться искусственным.
Мы будем исходить из комплексного интеграла, который возникает в других математических диспиплинах (например, в теории чисел). Будем обознзчать символом 1, прямую а=а-~-зе' ( — со(з(со) в плоскости г, т. е. прямую, пересекающую ось х в точке х=а и образующую с этой осью угол в 45'. Пусть и — действительный параметр. Рассмотрим интеграл мы+внял Д(п)= г „,, г(з. !гп Этот интеграл следует рассматрввать как несобственный, т. е.
сперва интегрировать от з= — Й до а=)т', а затем ззставить гс стремиться к бесконечности. Читатель может установить сходимость этого интеграла по образку аналогичного доказательства для несобственного интеграла в действительной области. Тогда „ыи у(м+ 1) — дгг)= ( ет~мю(атлет ))ггз аю г ы е-ыя+эи"Мг=с "'"' ~ е'ы'-> "пг(л, с,, Так как подынтегральная фуикпяя в правог! часги всюду аналитическая, то можно произвести парзллельное смещение пути интегрирования на любую величину (это доказывзется с помощью теоремы Коши, как в и'2, стр.
578) и написать, например, яг+ ) ) д(гг) — г-ыа-' ~ еюыг(а — г — ыи'! м гб где х=зез вдоль прямой (ь биссектрисы первой и четвертой четверти, и следовательно, ) е 4 ~ „,-пыггз Замена переменной з)' я=(, )'я г(з=г(т' дзет а) в а. пгилолкенив к вычислению опявдвлвнных интвгяллов 58б С другой стороны, введя в интеграл, определяющий у(иЛ вместо е новую переменную интегрирования Л с помощью формулы г=Л + 1 и учитывая, что еи' = — 1, получим Еи!Л! †,' 2илЛи 1(44)= — ~ етлиеаипг1Л, ь..!л или ..4ЛЛ+2, !Ли — е — ли'и1 (4!) = ( еиллл+ Л,пи!)Л+ ( 41Л 2.4Л 4 и, — 41! В первом интеграле правой части можно опять сместить путь интегрирования параллельно самому себе на 1 вправо„и тогда будет видно, что е Ц! , '2ицис(Л вЂ” ~ еилии+2.!и441а — ли!1 ! л„ Если во втором интеграле правой части сллесгллть путь интегрирования вправо на 1, то обнаружим, что он равен интегралу, определяющему 1'(24), причем полюс Л=О лежит между обоими путями интегрирования, 1 лли и 14н.
Применим теперь теорему вычетов (тот фгкг, что пути интегрирования 1 4;! и 14., проггнралотся я блескоиечпогп, нас не беспокоит в силу тзкого ке рассуждения, как на слр, 4878), докажем, что вычет подынтегральной функции относительно полюса ).=0 ямесг значение 1, и тогда из нашего уравнения сразу получится следуюплий результат: — 1 (ЛГ) Š— '"'" = Š— "и'1 + 1 (44) — 1. Правда, алесь неизвесп4ы в явном виде ни 1 ни функция 1(44). Однако ! если подставить сюда и= —,, то 1(24) исключится, и останегся е 41=1, а так как (см.
выше) и! си — ! 1=е' —,. ~ е — "лй то сразу получится формула, подлежавшая доказательству. 6. Многозначные фуннции н аналитическое продолжение. Когда мы до сих пор давали определения действительным и комилексным функциям, мы всегда держались той точки зрения, что каждому значению незавпсииой пепеменной должно соответствовать единслпвенное значени~ функции.
1(а ке, например, теорема Коши опирается на 586 гл. чш. пункции комплексной неизменной )б предположение, что функпия может бььть определена однозначно в рассматриваемой области. Правда, при фактическом построении функций многозначность часто возникает в силу необходимости; примером может служить нахождение обратной функпии для однозначной степенной я функции г". В таких процессах обращения, как Р' г или у' г, получались в случае действительной переменной уазлььььные обособленные однозначные ветви обратной функции.
Мы увпдич, однако, чго в комплексной области такое обособление уже невозможно, ибо различные однозначные ветви оказываются теперь взаимно связанными. Наль придется здесь удовольствоваться очень простым рассмотрением этого вопроса на основе типичных примеров. Рассмотрим, например, обрзтнь ю фь нкцию г = )Уг для функции г = Еь. Одному значению г соответствь юг даа возможных решения ". и — ". ьравнеНня 2 =та.
Эти ЛВЕ яЕтзн Обра~ибй фуПКцин СвяЗЗНЫ МЕжду СОбОП СЛЕдуЮ- ,0 щим образом. Пусть а=ге'0. Если чы теперь положим С =-)~ге то б =.у(г) валяется анальпической функцией во всякой односаязной области сг, не содеряьащсй начала координат, где у(г) уже не имеет производной.
В такой области ". онредезепа оанозпачно. Если же чы заставим точкь г двигаться вокруг начала по окруаьноспь с пситром в ьючале, скажем, в ноьа / 'Д ложитсльиои нзнравленин, то - '= )~ ге" булсг ялченяться непрерывно; однако угол 0 не вернется к своеву ш ряоначальночь зьючению, но увеличится на 2я. Стало бить, нри атом непрерывном нзчснснни, когда мы зернемсз в точку г, то корень уже не вернется к своему исхолньчьь значению .
"= л' Ььб-, 2-,.) Ьа 2 =)' ь е, но придет в то цо г с новым значением ) ге,= )' ге е"= 2 2 ь = — С Можно ножову сказап, по коьла ь)ььнкщш ".=..У(г) непрерывно продолжался но зачкнутой кривой С, то она нсрьл,нп быль однозначной. я Фуьькьььья льг, где и — целое число, вс нт себя точно таким ьке образом. Здесь каждый оборот вокруг на ила нриволит к умножению фуякции на 2-.. ь корень и-и степени из единицы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
