1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 126
Текст из файла (страница 126)
4 ! 1) В сферических координсилах этот же объем выражается так; )г =- ~ ~ 5 гг юп З дг йа ду (стр. 277, 289), Ь где В есть область пространства гву, соответствующая области ((г). Объем тела, ограниченного поверхностью вращения х=исозо, у=а ил о, г=у(и), образованной врашсииелг кривой г=у(х) плоское~и гх вокруг осл г, есть (г= я ~ и' г/г (стр. 289; см. такаге т. 1, сгр, 329). уа Объем о„, ограниченный единичной сферой х) + х,+ ...+лг= ! н л-мерном пространстве есть о„= — -- —,— (стр.328). (): )" , ()т+ 2) 1ж Варианиоиное исчисление Необходимое и досгаточное условие сгационарности интег рала гг /(а) = 1 р(х, и, и') г/х йа выражается урлсчениеж Эйлера или гичггт + ггля'и +/'ля' Ел=о (стр. 520).
Если подынтегр~п пал функция Р солержнт несколько ф)нкпноныьных аргуиентов и, (х), ит(х), ..., и„(х) и их производные, то необходимое а достаточное условие стационарностн функционала кг /(и) = ~ го(х; ио ..., и„; и,', ..., и,',) дх го выражается системой уравнений Эйлера д г — — Р =О ()=1, 2, ..., Л) (стр.
531), лт л'х и; Если подынтегральная функция то зависит от х, и(х), и'(х) и и'(х), то уравнение Эйлера будет г/ йа Р— — Р + — Р.,~О (стр.б36). Я ах и' дха Если надо найти стационарное значение функционала г, ( р (х, у, г; х, у, й) аг РГ сводка влжннй'.Них тнопня и Фолыуд Вз! прн добавочном условна О (х, у, г) = О, то условия стационарности выражаются системой трех уравнений — Р.
— Р.=ЛО, г( х л т' — х. — К =)О, (г х — Р. — Рг=?О, ,(Г г г= г гле й — множитель Лагранжа (стр. 536). )3. Аналитические функции Определение си. на стр. 554. Необходимое н достагочнос условие того, чтобы функций у (г) = у (х + ту) = и (х у) + то (х у) была аналитической в области О, вырахтается условиями Коши — Римана и„=о„, и = — о (стр. 554) (предполагается, что эти производные существуют и непрерывны). ?гарема Коши. Если функция г" (г) являетсл аналитической в односвязной области О, то ~ У (б) Ж не зависит от пути пющрнровапня, соеднпяюще~о н области О две ~очки г, и г этой области или, что то же самое, фу(б) и?=о вдоль любой замкнутой кривой С, лежащей в области О (стр.
56!). Формула Коиып Если у (г) лвлнется аналитической функпией в одно- связной области О н на его контуре С, то ! г' у(г) где г есть любая точкз, лежащая вютри контура С (стр. 566), Если функция у (г) является аналитической внутри и на границе круга !г — г„!~??, то она разлагается в степенной ряд Тэйлора у(О=у(га)+ ~ ел(г' — го) л=! который сходится внутри этого круга. При этот! У'ы (г,) ! Е Х(":) ел= —. -- — =;--. ~' . — ' --, лгь (стр. 570 — 57!). Й 2~и';)" (б — гч)ичит ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВА ! ф 1, стр. 26, 1. Обозначим орты (единичные векторы) осей Ох, Оу, Оз через ео е„ ез и орты осей Ох', Оу', Оз' через е,', е,', е,', Тогда е,' =(зн Ьь уг). Следо- вательно, е,"-= ее,' = з,' + Зз+ ут = !. Скалярные произведения е еа- —— =зева+ Ь!Ьз+1Ват й нри г=А Ь, нбо ~огда е,'.
! еа. 3. Обозначим радиус-венторы, идущие от начзла О к вершинам треуголь- ника А, В, С, через а, Ь, с. Тогда радиус-вектор середины О стороны 4 — ! будет ОгУ= —,(а+ Ь), а рааиус-вектор центра масссы М вершин треуголь- ника «р. )пр 2) а+Ь 2 1 с+2 ОИ=; — — = —. (а+Ь+ с). 1+2 3 Это выражение нс зависит от того, н каком порядке брать вершины тре- )тольника, 4. Обозначии радиус-векторы, идущие от начала О к вершинам Р, О, Ат, Ю, через р, гу, г, з. Тогда радиус-вектор центра масс М вершин треуголь— ! ника РОВ есть ОМ= —,(р.+ д+ г) (ср. упр. 3), з !щп!)с-вск1ор 1!ентрз масс всех вершин тетраэдра будет (ср.
упр. 2) ! в -1- 3 — „. (р + а + г) ОА'= — . = — (Р+ й+г+ з). Т+3 Это выражение не зависит от того, в каком порядке брать вершины тетраздра. б. Радиус-векторы вершин тетраэдра обозначим через р, гу, г, з. Тогда радиус-векторы середин ребер, т. е. точек А, А', В, В', С, С, равны 1 1 — (р+гу), х-(г+в), ..., —,(ту+г) и три отрезка АА', ВВ' и СС' имеют 2 ' 2 ''"''2 1 общую середину в точке с радиус-вектором — (р+ гу+г+ л), а эта точкз и есть центр массы вершин тетраздра. ф 2, стр. 33. 1.
Обозначим через л направляющий вектор прямой А з = (а, с, е) и проведен вентор АР от точки А(Ь, о,У) прямой к данной точке Р. Тогда искомое расстояние равно !(АРл)) Г, сг — уз у — х„!" Ь вЂ” хз г" —:, Р ! Ь вЂ” хз г! — уи !" с е ~ ' а е ~ ~ а с 609 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 2, Три вектора а, Ь, с параллельны одной плоскости в том и тальк<, в том случае, если (после их приведения к общему начал)) построенный на них параллелепипед имеет объем, равный пуп<о.
Ото<ода искомое условие: 'а, а, а, ]аь]с = Ь, Ьт Ь, = О. с, е, ет 3. Задача сводится к тому, чтобы вывести условие, прн ко~ором две данные пряиыс лежат в одной плоскости. На первой прямой известна ~очка Л (хо уо л,), на второй — точка В (хе, ут, гт). Данные две прямые лежи в одной плоскости в том и только в том случае, если направляющие векторы обеих прямых а= [а„а„аа] и Ь = [Ьь Ьт.
Ьт], а также вектор АВ параллельны одной плоскости; отсюда искомое головне (см. )пр. 2)', а, ит ит [аЬ] АВ=О, т. е, Ь, Ь„Ь, =О. хт — х, у,— у, а Ь с 4. ! с л у чай —,= —,= —,, Прямые ! и !' параллельны, и для ннх а' Ь' г' ' можно взять общий направляющий вектор з = (а, с, е].
На ! известна точка А [Ь, а<, У), на !' — Точка Л'(Ь', г!', !"). — АА'з [Ь' — Ь) и + (а<' — иО с -г- (У' — У) е пргАА'= ]з] [г а< + ет + е' Расстояние между прямыми постоянно и есть И= [< (АЛ')' — (прг ЛА')', где (АА')а= (Ь' — Ь)т+ (г(' — <()г + (У' — у")-". 2 с л у ч а й. (!Рямые ! и !' не параллельны. Как правило, они и не пересскаготся. Направляющие векторы прямых ! и !' с<ть з= [и, е, е) и л'=[а', е', е]. На ! известна точка Л (Ь, <(,!), па !'-- точка А'(Ь', <[',у). Сперва доказать, <що ггрямые ! н !' имеют общий нерпснлнкуляр, т.
е. существует прял<ая (единственная), пересекающая обе ленные прямые и перпендикулярная к каждой из пих. За направляющий вектор это<о общего перпендикуляра можно принять (зз']. Искомое кратчайшее расстояние И равно абсолютной величине проекции вектора,(Л' на направление [зз'], Цзз'] ЛА'] т. е. И=, где е' ! ( ) ] и' е ~ + (у у) ]и' е' ! (Ь Ь) !с И = абс, вел. Цаз'Ц а е е и' е' е' ]ь — ьс — ду — ! = — або. вел. ]< 3ге' — с'е)' + (ие' — а'Е)т+ (иг' — и'г)т 6сли прямые ! и !' пересекаются, то чивли<ель обратится в нуль (см. упр. 3) 20 Р ктвавт ]зл'] =~),,~, — (,,~< ~,, ][ и АА'= (ь' — Ь, а' — <[, у' — у).
Следовательно, 610 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ б. Левую часть уравнения можно истолковать как объем тетраэдра построенного на векторах РРн РРз и РРв где Р (х, у, г) — перел~синая точка плоскости. 6. Построим вектор ю = в (а, Р, 1). Вектор-скорость точки Р есть в = [юг[, где г — радиус-вектор точки Р. Величинз скорости равна в ( ([гг — Ту)з+ (аг —.(х)а+ (ау — Рх)'-'. 8. Определители второго порядка равны последовательно удвоенным площадям (с надлежащими знаками) треугольников ОР,Рм ОРаРв ..., ОР„,Р„, ОР„Рн где Π— начало координат. Если О лежит внутрй многоттольника, то все слагаемые площади одинакового знака. Если же О лежит вне многоуготьника, то часть треугольников обходится водном направлении, а другая — в протйвоположном направлении (сделать чертеж1).
В обоих саучаях алгебраическая сумма даст площадь многоуголышка (с тем изи другим знаком). 9. а) Ввести три вектора х=(а, Ь, г), у=(а„бн г,), г=(ав Ь„га). Тогда Р = [ху] г. Так как дзя лгобых двух векторов а и Ь 1[аЬ)[~[а[ 1Ь[ н )аЬ)~[а[ [Ь'„ то Р~[х[ 1у[ [г(. б) В том и только в том случае, если векторы х, у, г попарно перпендикулярны. 9 3, стр. АО. 2.
Существование решения у задзнной системы равносильно наличию у однородной системы урзвнений а,х+ а,у+ Аг = О, Ь,х+ Ьау+ Вг = О, с,х+ с„у+ Сг=й такого решения, что гвв — 1. Поэтому необходимым условием существовал, а, ния решения является Р=О, Но если Р=О н, например, 1=, О, Ь, Ь„ ! то третье уравнение заданной системы есть следствие первых двух, а систе- ма первых двух уравненнй с двумя неизвестными х и у имеет решение, так как ее определитель не равен нулю. 3. Данные дзс прямые пересекаются, если системз трех уравнений ага+ х, = Ь;. + хм а,г+ у, = Ь;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
