1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 127
Текст из файла (страница 127)
+ у„ ааг+ гт Ьз + гг с двумя неизвестными г и т имеет решение, но для этого дошкно выполняться условие (см. упр. 2): а, Ь, х,— х, аа Ь, у„— у, =О. а Ь„ См. геометрическое (векторное) решение этой задачи на стр. 609. б. Вычесть элементы первой строки этого определителя из соответств)ющнх элементов второй и третьей строки. 6. Вычесть элементы первой строки определнтеля нз соответствующих элементов остальных трех строк. 7. а) О; б) 2; в) !2; г) (х — у) (у — г) (г — х) (х+у+ г). В,а+ = Ь.
9, х=3, у=2, гвв1. 611 отвпты и кклзхнид й 4, стр. 60. 1. лЬ + и,Ь! — — О, л' + аа = Ь' + Ь1 = 1. 3. При аффинном преобразовании координзпа любого вектора в преобразуются по тем же формулам, что и координаты точки !см. 6 4, и' 1, теорел<а 5). Достаточно поэтому показать, что существует такой нс равный нулю вектор и = (и„и„и!), который преобраз) ется в вектор и' =-),и, так что ),и, = а,и, + Ь,и! + с,и<, Ли,= а!и, + Ь,и, + с„им Ли,= — а,и, +Ь„па+<,иа Теперь надо только найти такое значение Л, чтобы определитель этой однородной системы уравнений для неиэвесп<ых ин и„ и„ обратился в нуль; зто ласт для определения ), уравнение третьей степени с лсйстввтельнымп к< з<рфнпне<пал<п, которос всегда имеет по крайней мере один действнтсл<,ный корень. 1 )''2 . 1 к' = —, (1+ соэ .) к — — а!п у у — —.
(1 — соз Ч) а, 2 т 2 '':з у<<2 ) ы2 у = —, япй ° х+ созч ° у+ — япр ° а 2 2 ЬГ! а' = — (соз з — 1) к — — — з!п у у+ — (соа р + 1) з. =2 2 2 6. Согхаспо правилу умножения опредсл<пслсй, с учетом формул упр. 1.
стр. 26, квадрат опрсдсппезя равен + !. См. на стр. 608 в решении залзчн 1, гтр. 26, обозначения ор<ов обоях систем коорлинат. Ы нсходной системс )ее„) =ез и )ее!) е,=е:-', =+ 1. Если новая система коордвнат имеет ту жс орион!апик<, что и старая, то )е,'е,')=е„' и д=)е,'е,'1е„.'=е,'е,'=е,,'! =+ 1. Если я<с орле!папин обеих систем различны, то (е,'е„'] = — е„' и д =)е',е„') е,'= — е„' = — !. Смешанные упражнения к гл. 1, стр. 50. 1. а) Есзп бы с)шествовало линейное соотношение ла+<ЬЬ+ус=о, в котором, например, л ЬО, то, помножив э<о соотношение скалярно на а, мы получили бы ааа+заЬ+)ас=О или, так как а ! Ь и а ! с, лап= =з ! а (1 = 0; но ) а ) р'= О, следовательно, и =О, что противоречит условию. б) Соотношение за+Об+)с=О равносально системе линейных уравнений дая а, р, 1; за<+(<Ь<+ус, =О, лаз+,'Ь, +ус!=О, лаз+ РЬз+ Тс, =О.
Эта система уравнений имеет елинственное решение в=8=1=0 с том и только в том саучае, сслп се определитель не равен нулю. в) Векторное уравнение в=за+ (<Ь+)с равносильно системс трех ш<азярных лпнсппых уравнений для а, )К 1; а эта система непременно нмссг решение, <лк как, согласно б), определитель системы не равен и! лю.
2. Выберем какую-либо прямо)<озщ!)ю систеэ<у коордннщ Озт Оу, Оа и отнесем к нсп все рассматриваемые векторы, Тогда тожлсстэо а! сведется к теореме умножения опрезещпслей. Тождество б) можно провср<птч вычислив координаты вектора, стоящего в левой части, и вектора в правой части. 20' 612 ОТВЕГЫ И УКАЗАНИЯ н) 1-й с п о с о 6. Правая часть равна определителю ая«, + а„ха+ а„х, а,у, + а,у„+ а,уь Ьх,+Ьха+Ьх, Ьу,+Ьу,+Ьу, его можно представить в виде суммы девяти определителей, из которых трн обращаются в пуль, а остающуюся сумму нетрудно привести к виду а зто и есть координатная запись левой стороны. 2-й с но с об.
Левую часть можно рассматривать как смешанное произ- ведение векторов а, Ь и [ху], а я смешанном произведении можно заклю- чить в квадраттьм скобки по желанию любую пару стоящих рядом сомно- жителей; поэтому [аЬ] [ху] = а [Ь [хуЦ = а (х(Ьу) — у (ЬхЦ =- (ах) (Ьу) — (ау) (Ьх), что и требовалось. Двойное векторное произведение [Ь [хуЦ мы рас- скрыли по 6). г) 1-й способ. Сначала дока~ывают тождество [а [ЬсЦ+ [Ь [саЦ+ [с [аЬЦ = О, раскрывая каждый его чаен по 6). Это значит, что три в«ктора, сумма ко- торых записана в левой чащи последнего тождества, линейно зависимы; но тогда, согласно !6), их смешанное произведение равно н) лю.
2-й с п о со б (прямым вычислением). Согласно 6), [а [ЬсЦ = Ь [ас) — с (аЬ), [Ь [саЦ = с (аЬ) — а (Ьс), [с [аЬЦ=а (Ьс) — Ь (ас). Вектбры, записанные в первых двух с~рочках, пер«множаем векторно и в итоге получим вектор, выраженный следующей сума«ой; Ца [ЬсЦ [Ь [са]Ц = [Ьс] (а«) (аЬ) + ] аЬ] (а с) (Ьс) + [са] (аЬ) (Ь с), Помножив шот вектор скатярно на вектор, записанный в третьей строчке (и правой части перемножаем почленно, причем нз шести членов четыре обращаются в нуль), получим [а [ЬсЦ [Ь [саЦ [с [аЬЦ = (аЬ с) (аЬ) (Ь с) (ос) — (саЬ) (аЬ) (Ьс) (а с) = О, Наконец, следствве: векторы а, Ь, с после приведения к общему началу лежат соответственно на трех прялтых, имеющих общ) ю точку; плоскосттч проходящая через вектор а перпендикулярно к векторам Ь и с, содержит также и вектор ]Ьс], а стало быть, вектор (а [Ь«Ц является ее нормальным вектором.
Аналогично находим нормальные векторы двух других плоскостей, о которых идет речь. Согласно г) и 16), зти три нормальных вектора ле- жат в одной плоскости; следовательно, три рассматриваемые плоскости (имея к тому жс общую точку) проходят через общую прямую. 3. Обозначим орты осей Ох, Оу через ет и ем а орты осей Ох', Оу' через т', и )а. Приравнивая др)т друту разложения радиус-вектора произ- вольной точки плоскости по ортам обеих систем координат, имеем хе, +уел= — х'т, +у'тт. Умноа ив это равенство скалнрно иа ео получим г я х=-.татаа+у'(,е, л'соз«+у'соа]-21 + а '=х созл — у' мп «ч 6!8 отлиты и щглзлнип так кзк е,е,=1, е,е«=0.
Аналогично палучасгся формула для у — скатярныл~ умножением на е,. Выражения для х' и у' через х и у получаются скалярным умножением того же равенства на Уг и 1„. 4. Поворот системы х'Оу' иа угол р приводит к павой системе координат х"Оу". Сравнение последовательного персхола от первой системы ко второй, а затем от второй к третьей, с прямым переходом ат л, у к х", у" приводит к требуемому результату. 5. а) В системе координат Ох, Оу, Ог взять три вектора: («н ра 1,), («з, рл, 1«) и («а Ьл, 1«).
Вели определитель д ортогональиый, то эти векторы определяют новтю прямоугольную коорлинатную систему Ох', Оу', Ог'. б) Переход от системы Ох'„Оу', Ог' к системе Ох, Оу, Ог опрсделнется таблицей косинусов: х' у' г' «г «л «л Х 0« Рл т 1 1 определитель которой ««„« рл ~ т 1 т тоже будет ортогональным.
6. Переходим от системы Ох, Оу, Ог к системе Ох', Оу', Ог' с помощью следующих трех поворотов: !) Вращаем систему Ох, Оу, Ог па угол «вокруг оси Ог и получаем тем самым новую систему Охь Оуа Ог, (Ог=Ог,). 2) Вращаем Охн Оун Ог, на угол 0 вокруг оси Ох, (Ох, =Охм Огл=Ог'!. 3) Систему Ох„Оул, Ог, павгрпсм на )~ал ф вокруг асн Ог„, и в результате получим систему Ог', Оу', Ог'.
В каждом пт юпх поворотов преобразование переменных совершается па форм!лам унр. 3. За~ем на~го из полученных трех преобразований нскллочпть промсжутачпые перел~спине ко ун га х„у„г,; это лу нпе всего достигается псремнажсщнм (в правильном порядке) трех определителей составляющих преобразований. 7, Воспользоваться формулой сов(хОх') = соз7 сспф — ми т мп фссм0. 8. Нормальный вектор плоскости ЬГ=(А, В, С), а направляющий вектор прямой Ь=(Ьн Ь„Ь,).
Обозначим угол между этими векторами через ф, ф= (дт Ь). По опрслслению, углом ч между прямой и плоскостью называетсв острый угон лгежду прямой и се ггроектлией на зту плоскость; позтому л « ч= — — ф (если ф — острый угол), либо т=ф — —, (если ф — тупой угол). 2 2 В обоих случаях мпт=(созф!= т. е.т=агсз!п ! '+ '+ ~м»л~ ' гл лл' лг Гль5~ Ы. 10. саз0 — ми 0 0 соз«совр сазу От= Яп0 созз 0 ° злп«зщр Япт 0 0 1 ап (р — 7) з!п (1 — «) мп (« — р) а первый множнгель равен елиннпе. 11. К перволлу столбцу прибавить второй и третий столбец и после этого вынести множитель А + 28 зз знак определителя.
Затем вычесть первуло строну из второй и нз третьей строки. В результате получим О=(А+ 28) ( — А)«= '((а+у+а) (х'+у«+г' — лу — хг — у !)', 614 Ответы и укАэдттия 12. Вычесть первый столбец из всех остальных столбцов; тогда станет ясно, что определитеаь явлнется линейной функцией от х. Коэффициенты А и В этой функции можно определится подставляя в определитель один раз х= — а, другой раз х= — Ь. 13. Так как ио=1, то по правилу Лейбница (т. 1, стр. 228 — 229) имеем и'о+ ио' =О, и"о+ 2и'о'+ ио" =О, и"'о+ Зи"о'+ Зи о" = — ио'", Эти уравнения люжно рассматривать как снстслгу линейных уравнений для о, о' и о" с определителем, равным ( — г)).
Если натив из этой систелгы о (т. е. перв) го из неизвестных) по прашшу, данному па стр. 39, то получим и 0 и'о"' и и () Зи" Зи'( — и'а откуда бзо 1) п"' — — —— ит гт4 ГЛАВА П 99 1, 2, стр. 64. ! !а Ы 2. —,(я+1) (и+2). 4. ! !)О. 6. а) Нет. б) Нет. в) Нет. г) Нет, 2 д) Ла. е) Нет. ж) Да. з) Нет. 9 3, стр. 73. 1 1. —, (я+ !) (я+ 2), Ср. упр. 2, сгр. 61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
