1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 131
Текст из файла (страница 131)
1О. В точке Р,. Заметить, что функция Г"=г, + гэ + г, непрерывна на всей плоскости, но ие дифференцируема в точках Рь Ра и Рн в которых она имеет конические точки (подобно функции и =)г(х — х,)' + (у — у,)", изображаемой круговым конусом). Исследовать производную функции у в точке Р, по всем направлениям от этой точки. 11.
Согласно первому правилу, надо вычислить ФГ' по формуле (3) н подставить тУла ахп ..., ах,„и атхп ...,а»ха» найденные из (1). Учесть, что нз формулы (1) вытекает, что а туз = Е т „,„л»хатха + т „, »ах, +... + 7»» и'х,„= О (И= 1,, т); помножим эту формулу на Хю просуммируем по всем значениям »=1, 2, ..., т и прибавим к (3); тогда получим ИэУ=а»Р= Е Р,.х„ах, аха, так как ~(»х„..., т(эхм выпадают в силу соотношений (2). 1ж Для Р=у+»2 (с точностью ло положительного множителя) получим » тРРьм ~ ах! аха, причем а'7 =ах, +... + а!х» =О.
ьа ! ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ После исключения ттх» лгы должны показать, что кнадратнчная форма л — ! « — ! я — ! — П«Р=О(х,+...+агхя т)« — ~ сгхг«х»= ~ сх,'+ ~, 'ахтг(х» г,» 1 г, »=! положительно определенная. 14. Оси координзт. 15. Явное уравнение кривой: у=х'(1 нюх Н). Обе ветви крнвой, образующие точку заострения в начале координат, лежат по одну сторону от нх общей касательной. 16.
а) Положим т=хя+ уз+ил — гя, Г=у — Лф Тогда уравнения для определения стационарных точек будут ('=Лрхя г, т=)руг ', п=Лртр '. (Л) Помножим эти уравнения соответственно на х, у, з и сложим результаты (В) !х+ гпу+пз=Лрсл. Выразив х, у, л из (А) и подставив в уравнение связи Т = О, получим Лр = ()Я + юс + пч)"чс' '. Подстановка этого выражения вместо Лр в (В) дает искомое стационарное значение функции у. б) См. упр. !1.
Здесь мы имеем «ар= — )р (р — 1) (хл лиха+ус-«1уа+ лр т сзл); так как Лр ) О, то эта квалратичная форма полояштсльно определенная при р ~ 1 н отрицательно определенная при р ) !. 17. Минимум при х= 1, у= 4; седловина прп х= — 1, у=2. 18. Пусть сторона АВ касается кривой в точке Р. Пусть Л'В' — другая, соседняя, касательная и Р' — новая точка касания. Обозначим через г(Т угол межлу АВ и А'В'. Тогда, если пренебречь членами второго порядка, разность площадей трсугольнйков Л'В'С' и АВС б)дет АВ = — Т (АР' — ВР») . гг 2 Для треугольника наименьшей площади АЗ=О, откуда АР= ВР. 19. Сделать преобразование координат Х=хсо⫠— уз!п«, у=ха!и«+усов«. Э).
Обозначим через 8 кривую у(х, у) =С, а через В' — кривую Т (х, у) = СЧ Линни 8 и 8' касаются друг друга з точке («, Ь). Как правило, у(х,у) — С положительно по одну сторону от 3 и отрицательно по лртгую ее сторону в некоторой окрестности точки (а, Ь). Аналогичное свойство имеет знак функции ч(х,у) — С' относительно'кривой У. Теперь, если, например, У(а, Ь) является максимумом функции У, то у(х,у) — С(О на 5', т. е. 8' лежит по одну сторону от 8; но тогда и 3 лежит по одн) сторону от 3'. Стало быть, «(х,у) — С' ил~ест постоянный знак на 3, а так как эта функция ранна нулю в точке (а, Ь), та она имеет в этой точке вибо максим)м, либо минин) м. 21. Уравнение производящей касательной есть х а!и в +у сгж О = «(Э ип О + соз  — 1).
630 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВА 1Ч % 1, стр. 245. 1. г"(у)=0 при у)0. 2. Воспользоваться соотношением 1 (г«ОБТ +ту а!и 2) гхл жп 7 2тху жп р соар +гуусоз 7 ) 1 гт + — — (Ул '.Р-У ..вр). в т(7 3. Преобразовать и„„по обобщенной формуле интегрирования произведения, беря два члена в проинтегрированнои части (спениальная предосто- 5! рожиост ь необходима, если р с -- ! . 2)' 4.
Интеграл, выражающий У; (х), преобразовать интегрированием по частям. % 2, 3, стр. 270. 1. к!24. 2, О, 3. О. 4. а!8, если область интегрирования ограничена условием л) 0; в противном слу'чае нуль. 5. 1!50400. 6, я (2 — — !ВЗ 3 2 7.
Ввести сферические координаты и интегрировать в первую очередь пори по 8. Олгв. в (2+ — ', !пЗ~. 3 2 3. 8 1и ( ! + ) '2 ). 9. Разбить промегктток интегрирования на три промежутка тг Ф" — ! ~ х ~ — у И, — Ч И (х ~ )г И, )г И К« ~1 и найти пределы интегралов по каждому из этих промеж)тков. ф 4, стр. 277. 1! !! 1.
— (е — — ), Воспользоваться преобразованием х+у=6, х — у=й. 4(, е)' '2. Перейти к полярным координатам. г, ! )3 1 Олгв. а) — ' — --, б) — агсти —. 4 2' 2 2' 3. — асйтс'. Сделать замену переменных ' 48 «=ах, у=Игл «=г.". 7. Ввести поворотом осей новые прямоугольныс координаты (Г, Ч, Г), так что В= ' ", глс г=) х'+у'+аа.
Тогда абг(5гтг =ар и г(".' .«+у„+,: Г (ср. упр. 6 на стр. 50), откуда У= ~ ~ ~ сгн(гЕ') ПГ г(ч'г(Г по объему шара Гт+ то+Оп(!. Выполнив интегрирование по т)' и по (', получим ,'. ! ! = к ~ сов (г,-') (! — Гт) лге'. — ! 681 Отпиты и укАВАния 4г ! з(пг Олга. —; ~ — — поз г1. г х1+ у,, — у!+ хч 8. Ввести новые переменные е'= — — и выпол г Г нить интегрирование по т".
ф 6, стр. 296. 1. 2ялай. Воспользоваться правилом Гульдина и принять во внимание, что центр тяжести эллипса находится в его центре. 2 яЫ!» 2 Р «Я'ьй 'ь 'Р ! Г гьчяРиэ чч Сделать преобразование л. = ас, у = аЧ, л = г",. 4. а) Сравнить соответствуюцгнс элементы площзди. б) а' '1 (1 — соаУ(4)) ггу. в) 2я 1 — — уг2,, а'. з 2 агрп г 5. 2га'[1+ (1 — ет) ~, где 2а — длина болыной оси.
а 6. Объем =.,— егр-, площадь поверхности =я(а+а)р„где а, Ь, е— длины сторон трсттольяика, а р — длина перпендикуляра, опущенного пэ вершины С на сторону ЛВ. 7. Из дифференциального уравнения трубчатой поверхности л=и(х, у) (упр. 1, стр. 199) находим а = 2 ~ ~ ')гг1 + и' + ит !Ух ау — — 2 ~ ~ — ~ .
Если внести в качестве парзметров длину дуги з кривой ь' и расстояние С по нормали к ь' (ср. т. 1, стр. 334, тпр. 2! и т. 11, стр. 199, упр. 3), то +! а=2 ~ г(э ~ я'1=2я ~ !Уз, — 1 х где й обозначагт крнниэну кривой А (она зависит от з, но не зависит от Г]. 8. а) -а"; б) йа'. !6 9 г-' - — э .:; . уг-1.
ргугэ -!сйгк! 9. —,' ~/1 1г)г' ! IР— г 1гг' ! (гч .! Ат !и — — —— .+~.='~ -- )" 19. —. Ввести нолярнь!с кщтрдинзты. 2 ' 632 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 3 7, стр. 308. 1, 2. На оси конуса, отсекает две трети отрезна от вершины до центра основания. 2 3. х = —, а, у= а= О. 4. Ср. упр. 7, стр. 297 и упр. 1, стр.
199. 3 5. а) нИ(гт' — )1' ); б) 2аИ(гтз — тт' ) ~ — (Рэ+Р' )+ — Иэ). 6. Например, А+ — С=2) ~(гглихиуаг, а это величина положитеаьная. 7. а) — яаЬс(аз+ Ь'); б) —.набе ((1 — аз) а" +(1 Ьг) Ьт+ (1 Тз) ет). 15 ' !5 ' Сдеяать замену переменных;х = а:, у = Ьт!, г = с. "и воспользоватьсн данными в тексте выражениями для моментов инерции, а также свойствами симметрии эллипсоида. 8. Расстояние от точки (х, у, г) до плоскости их+ау+юг+1=0 ~ск+ оу+ юг+ 1 равно абсолютной величине выражения — .
Поэтому момент у ив + ов + юэ инерции зллнпсоида относительно втой плоскости есть 1= Аи'+ Во'+ Сю'+ У из+ аз+ юв где А, В, С вЂ” моменты инерции эллипсоида относительно плоскостей коор- 4 ь 4 т 4 динат, а У вЂ” объем эллипсоида, т. е. А = — а"Ье, В= —.— аЬ'с, С= — аЬг' и 4н У= —, аЬс. Требуется, стало быть, найти огибающую птюскостей, длн кото- 3 рых /=И. Эта огибающая определнется уравнениями (А — И) и =Лх, ( — И) о=!у, (С вЂ” И) ю=Хг, (1) где й — общий множитель, который нетрудно определить из уравнения М = И и уравнения плоскости, причем оказывается, юто !. = У.
Иснтючнв параметры и, о н то из уравнений (1) и уравнения т'= И, поз)чим уравнение огибающей поверхности х' у' г' ! — — + -- — + — = —. И вЂ” 'А И:В И вЂ” С У' ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1О. а' (х — 1)'+ Ьт (у — ч)'+ с' (л — б)" = (ил+ Ь'+се+5 (1'+т)а+за)) Х Х ((Л вЂ” 1И+ (у — Ч)з+ (Л вЂ” Ь)а). 11. С4,0,0).
5а 2а'+Ь'+ с' 16 аз+ Ье+ с" ' 14. --, 1п( — + ~/г — — 1). 16. Интегрировать сначзла по л и у. б Ота. 2т ~ ) гт+ (г" (з))г ттл — в ~ Ьг чр а'), а где наао взягь верхний илв нижний знак, смотря по тому, находится ли начало координат внутри тела или вне его.
Дополнения к главе (тг 0 3, стр, 329. 1. Сделать преобразование х, =а,(о ..., х„=ая(я. Ь')" Ошл., — игал... ая. 2. Согласно определению интеграла по поверхности (стр. 323), где интеграл берется по внутренней области (а — 1)-мерного единичного шара в пространстве переменных хт...л„. Введя полярные координаты, по- лучим 1 у(У~:")+х( — ) Г:"),, )Г1 т б 3'оч где Л(г) обозначает поверхность сферы радиуса г с центром О в пространстве х, ...л.„. Так как подынтегральная функция зависит только от г, то 1 у(ргà — гт +у( — )ГТ вЂ” г') )' 1 — г" о Полагая ГгТ вЂ” гт=г, получим ! я — з I=-мя д $ б(г) (1 — е') гтт.
— ! ф 4, Стр. 340. 1. С и с об 1. Сделать подстановку х'=г, а затем применить обобщенное правило нюегрированнн произведения (т. 1, стр. 256), 634 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ С п о с о б 2. То же преобразование лает х"е " ах= — Г ~ —,( (ср. стр. 325). е 1, !в+11 2 ! 2 т' Способ 3. Положить У„(а)=~ х"е а" 1тх; тогда )„(а)= — У„' (а) = о =!„'1(а) =..., где штрихи означают производные по а. 1 Гп — 11 1 . 3 ... ( Ц Ота.
— ( — ~ ! при нечетном и; )гя 2 (, 2 ля+3 прн четном л. 2 з 2. Ввести новые переменные 1=ах+чу, 3=ух+ау, выбрав а, Ь, Т, в таким образом, чтобы было Ьт+ ч' =ах". + 2Ьлу+ су'. Тогда (ад — Зт)л = ос — Ь', и интеграл преобразуется к виду 1 (' Š— гт+ Чт! а е ат )/ас — Ье Отл. ас — Ь' = я', а ~ О.
3. Сделать то же самое преобразование, что и в упр. 2, и вычислить полученные интегралы: а) используя результат упр. 2, б) введением полярных координат. (аС + Олгю а) (ас — Ь')И' Ьгас — Ь' 4. а) Найти К'(а), т. е. производную по а, а зтеч интегрировать по частям два раза (в качестве одного множителя взять хе а" ). Получится дифференциальное уравнение К (а) К (а) 2а 4а' откуда 1 К(а) = — 'е С ла р'а причем С= 1!ш )'а К(а)= 1!ш е соз ттс= — Ь'я. — ге л т я 2 1 Ота. К (а) = — 1/ — е 2 т' а б) ФоРмулу 1, = лт е соал гтх(1~0) интегрировать по Г от а до Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
