1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Степени ат« миогочленов, которые будут множителями при остальных е ', останутся неизменными, так что зтй многочлены тоже будут отличны от нуля. 2. Помножить обе части уравнения Бернулли на (1 — и)у-я, За а) у'=ге+ !ох-(- 1; б) у'=сх '+ —,; в) (у '+ а)'=с(ха — 1). 3. Преобразование искомой функции у =у, + л переводит уравнение Риккатн в уравнение Бернулли л' + Рла + (2Ру, + ()) з = О, а затем замена з= и ' (см. упр. 2) преобразует послслнее уравнение в линейное и' — (2Ру, + О) и = Р.
Оба поглгдовлтсльпых прсобразовапня можно заменить одним: у=у, -! и-'. 1>бпшс решенно прсллоя»снного уравнения: » «» ез у=х — «! — «» с+ ~ х'ез дх в 4. Приравнивая друг другу праныс части обоих уравнений, находим их совпадающее решение у=х'.
5. Общее решение -' «а з , — — (= /(л, с)).! у =- х— .а .г" с+ ~е' дх Для Вострое»нш зскпза ссмсйс»ва пцтсграаьных кривьш начертим сначала 648 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ обе ветви кривой у" + 2х — х' = О, т. е. у = ч У'х (х' — 2) которые разбивают плоскость на две области, где у'(О, и одну область, где у'~О. Две бесконечные ветви этой кривой приближаются асимптотически к двум параболам у= -~- х'. Показать, что интегральные кривые приближаются асимптотически к этим параболам; для этого надо доказать два соотношения: а) у(х, с) = — х'+а(1) при х — +со ( — оо.Сс(со) б) у(х, е)=-.к'+о(1) прях — — со (с~ЬО), где о (!) обозначает функпию, стремящуюся к нулю. 6. Полотким Ут Уз=а У1 У Ь Уэ Ут=с Уа Уз=К Тогда а'+ Ра (у, + у„) + !',)а = О, так что а' Р (у, +у,) = — Д вЂ” —, Р (у, — у,) = аР, или а' 2РУ, = аР— Ц вЂ” —. а' Аналогично Ь Ь' Следовательно, И )п (а,Ь) ах = Р (а — Ь) = — Р (У, — У,) и аналогично Н 1п (с(К) Нх = — Р(у — у ) вычитан из первого равенства второе и интегрируя, получим /а с! 1и ~ —; — ) = соп51.
'(Ь КУ' ?. Воспользоваться соотношением К!п (а(Ь) Кх = Р (у — Л) доказанным в предыдущем упражнении. Предложенное конкретное уравнение имеет частные решения 1 1 у,= — и у,= — —; сов х соз х' его общее решение 1+ селя У= (1 — сеа") соз х ' ОТВВТЫ И УКАЗАНИЯ 8. Исключая у" иэ обоих уравнений, наидем их совпздающее решение у, =е'. Их общие решения: а) у=с,е" + с„х; 6) у=с,ел+с> )>"х, 5 4, стр.
483. 1 ! — Р'3 — —, ° У'3 1. а) у=се +се соэ 2 х+се э)п 2 х: 6) у =с,е" + с,хе" + с,а'л; в) у=с,ел+ сэхел+ с>х>ел; г) у = с,е" + с„е "+ с,еэ "+ с,е 2. Ввести новую независимую переменную С=!п) х), откуда х=е' при х) 0 и х=- — еа при х(0. Отз. а) у =с х" +с х "; б) у=ох+ ех" + е /ха. Уравнение Эплера можно также решить, если сразу искать частные решения вида л . 3.
Составляем уравнения движения у= — Л>х — 21>р, у= — Л'у+2рХ, й= — Л'л. (а) Так как в начальный момент з=»=О, то при любом С будет л=О, и движение происходит в плоскости ху. Днфференпируя первые два уравнения два раза по Г и исключая иэ шести уравнений пять величин у, 9, р,у и у, получим л. д. у. для одного лишь х; х + (2Л> + 4йа) л + Л>х = О, Аналогично, исилючая х и его производные, получим уравнение для одного .Только у: 'у'+(21 +4»>)У+Лу=О. Следовательно, х и у являются линейными конбинациями четырех частных решений .а-! (ФАЯ» ->-ь) > нан ч.т рсх частных рсшени» соя(угЛ>+и>+н)г, соз(1 Л'-)-1' — н) А эш(р'Л>+ н" + н) т и мп ()>'лл+1>' — ») т с настоянными коэффициентами Л, В, С, х) и ˄„ф)7>. (Это вытекает иэ формул Эйлера, ср. т.
1, стр. б!5.) Подставив цолтчснцые выражения для х и у в уравнения (а), найдем, что Л> — — — С, В, =. )л, С, = Л и О> = — В, а затем иэ начальных условий х(0) =у(0) =у(0) =0 н х(0) = о, определятся Л, В, С, (), 4. 6) После умножения на хз уравйение примет тот вид, который рассмотрен в а). Оно имеет частные решения и=ха и о=х'1 следовательно, в салу а), оно имеет также частное решение та =х'+ 1. Эти три решении линей>ю исээансиз>ы. Поэтому общее решение есть у = А (л" + 1)+ В.к'+Сл'. 8 4, стр.
487, 1. а) Подставив проверяемое решение в левую чзсть диффсрснпизльт>ого уравнения, получим (а„܄— 1) Р (х) + (а,Ь, + а,Ь>) Р'(х)+ (а„Ье+ а,Ь, + а Ь„) Р" (х) +..., но это выражсиие равно нулю в силу тождеств »„Ь„ == 1, а,Ь, + а,Ь, = О, а>Ь> + а>Ь> + а>Ь> = О, > вытекающих иэ р>юложснпн дроби л степенной ряд. 650 Отзиты и укАВАНия б) Вытекает из а), если положить у'=-г. 2. а) г 1+ Е' = 1 — ! + ! — + ...; следовательно, у = — Р (х) — Р" (х) = Зх' — 5х — 6; 1 1 б) — = — — 1+! — Р+ —..., отнудз !+Р у = ~ Р (х) ох — Р (х) + Р' (х) — Р" (х) = — 1 + х + — хз. 1 3 3 1 3 а) у= — ех' б) у= — х'ех 6 гха 3 1) 4.
у=ел ! — -(- —,х-(- — !+с ет"-(-с еэ". 2 й 5, стр. 504. 1. Формула Пуассона (при )г=-1) дает потенциальную функцию п(г, В) внутри единичного круга, принимающую на его о!гружностп краевые значег! ния у(В). Но и ~ —, В) тоже являетсн потенциальной функцией (ср. т, 1, гл. Х, стр.
574, упр. 3), принимает она те же самые краевые значения н является ограниченной в области, лежащей вне единичной окружности. Поэтому выражение г' — 1 (' У(а) 4а 2а Д 1 — 2гсоз( — а)-)-г' о издается ре!пением внешней краевой задачи уравнения Лапласа для единичного круга.
2. Потенциал заряженного отрезка равен г+ !+ $~(г+!)а+ха+у" - — г+ у'(г — !)'+х'+у' а) Так как на эллипсоиде а=гасгичап Угхг+уэ=!Т'аз — 1 з!п г, то поа+ 1 тенциал есть И!и —, а энвипотенциатьными поверхностями являются соа — 1' фокусные эллипсонды г" х" +у' !тат !' (а" — 1) —,,+, „=1 (1(а(оз). б) Силовые липин (кзк ортогональные траектории эквнпотенциальных поверхностей) являются (ср.
стр. 466, упр. 5в)) софокусиыми гиперболами, выражземыми тем же уравнением, но при Оа(! н при постоянном отношении х к у. 3. Обозначим через В сферу рздиуса р с центром Гх,у, г), лежащую ,Г11 внутри 3. Тзк как Чэ( — ~=О и ран=О в области, лежащей между Г и Ь', (,г~ го по теореме Грина (стр. 414) йб( Отиаты и укА3Ания где в первом интеграле производная берется по внешней нормали к и, а во втором — по внешней нормали к Ы. Но иа сфере у', имеем д(!/Г) д (1(г) 1 — — — Г = сонэ! = р. дл дг р Поэтому — — да = О, Д-- =-й- = 1 ди 1 йл4 ди . дл =р 3-Удл з а так как и есть потенциальная функция (сч.
сноску стр. 498); кроме того, — — Ц) и 1 слг д (1(г) 1 пас да= —, Я ит(ч, 4ч Ц) дл 4гр' Я а при р — 0 это выражение имеет, очевидно, своим пределом и(х,у, л), так как оно является средним значением потенпиальной функции и на сфере ~. ф 6, стр, 512. 1. а) и=у(х)+д(у), гле у и а — произвольные функции; б) и=/(х,у)+к(х, л)+Ь(у, а), где у, и, Л вЂ” произвольные функш!и. 2, Воспользоваться линейным преобразованием х = с + Ч, у = 36+ 2Ч. 1 Оа!а.
и =у(у — 2х) + и(Зх — у) -(- — альт. 12 3. л'(а' + л'+ 1) = 1. 4. и (х, г) = г (х — аг) + д (х+ аг). Отсюда при х ~ 0 (в силу нач аль ныл условий) и (х, 0) =У (х) + а(х) = О, ит (х, 0) = — ау (х) + ад'(х) =О. Дифференцируя первое уравнение и сопоставляя со вторым, имеем у"(х)=0 и а'(х) =0 при хтеО, откуда г (х) = с (= сопл!), и(х) = — с при х~О. Далее, в силу красного условии, и (г) = и (О, г) = г" ( — ае) + и (а!) =г ( — аг ! — с, т. е.
У(1) = р ~( — !)+ с, если 1(0, Так как всегда х+ агтзО, то и(х+ат) = — с, а следовательно О, если х — аг)0, и(х, Г) = lх — аг! /, 9( ) если х — аг~О (,— а)' коль скоро х и Г нс отрицательны. б. Если положить и (х, у] = й адхлул, то алл льна+~ — ( ( !)(й ! !) 652 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Затем а„, = аал =-О при игл! и а„= 1.
Следовательно, мэ х«у и(х, У)= ~' 1,= lа(2(3~'.ку), я э где У,— символ бесселевой функции нулевого индекса (стр. 24З, упр. 4). 6. а) Из дифференпиального уравнения имеем [У (х»*+ [й (у»'=- 1, откуда [У' (х)!' = 1 — [й'(у)!'. Так как левая часть не ззвзтсит от у, а правая не зависит от х, то обе части лолжны быть равны постоянной, которан должна быть )О; обозначим сс через с'. Тогда [У' (х»" = с', 1 — [и' (у»а = ст. Следовательно, и=сх -~- Ьг! — с'у+Ь, где с и Ь вЂ” произвольные постоянные и са ( 1. б) Если и=у(х)+к(у), то 1 у' (х) — = а = сонат, =й (у)= = так что 1 и=ах+ — У+Ь а где а н Ь вЂ” пронзвольныс постоянные.
Если и=У(х) и(у), то и л 4 а'х — [у (Л»л = = 2с = сопл(. [в (у» В этом случае отсюда получается ~/ (йсх + а) ~ — у + Ь ) глс а, Ь и с — произвольные постоянные. 7. Из лвупараметрического семейства решений а= и (.к, у; а, Ь) вылеляется однопараметрическое семейство, сели представить а н Ь как функции олного параметра Г, т. е. положить а=У(П, Ь=л(Г). Тогда з = и (х, у; у(г), а(г)!.
Огибающая этого однопараметрнческого семейства получится, если выразить т из уравнения лт = иа г (Г) + иа Д (т) = О и подставить полученное выражение вместо С в уравнение (1). Полученная функции л от х и у тоже будет решением задзнного дифференциального уравнения, так как л=и(х, у; а, Ьй сх=гтх+иФх=их(х, У: а, Ь), ех = ит+ и,т„= и„(х„у; а, Ь), а л= а (х, у; а, Ь) удовлетворяет уравнению, заданному в условии.
ОТВЗТЫ И УКАЗАНИЯ 8. и = х~лс 1 + урсс + + (с1/ 9. Согласно 9 6, и' 2, решение первого уравнения имеет вид а=у(х+ ат) + а(х — ас). Подставив это выражение во второе уравнение, получим Га =О, откуда либо /=сопа1, либо а=сопа1. Стало быть, г = у (х + ат) или г=у(х — а() есть самое обще« рсшспис, удовлстворяющес обоим уравнениям. (1О.
Пусть К есть одцородссая функция стспсни «. Дифферсппиальнос уравнение можно записать в слсдуюшсм виде: дК ди дКди дК ди К7си+ — — + — — + — — = О. дх дх ду ду дг дг Погожим и = г" —.— (х" +у«+ г')"1 ° Тогда ди — — =лг" 'х, дх ди — = лг" 'у, дк -д — — — пг" 'г и Рссс = п(и+ 1) г пс2 дг Подставив и=г" в днффсреппнальнос уравпснис, получим К и (л+ 1)г" '+ пг" ' (х — +у — + г — ( =О, дК дК дК1 дх ду дг ) а так кач (Лспсошпчппс к гж П, ф 3) с)К дК дК л' — +у — + г — =«К, дл' ду дг Глава ЧН % 1, стр. ОЖ 1/ (х! — хе)'+ (ус — у«)* )г2к " ) с (г) Г гм -) г" ()с+.
г' мп'0 ас д«. с то и=г" будет решением, если и+1+« =О илп п= — («+1). Следовательно, нашс уравнение имеет решение +с а и=Гс«'сс=(Х«+ус+гг) г .) 654 Отняты и указании 3 2, стр. 5хо. х' !. Параболы у=с'+ — -. 2. Окружности с центром нз оси х. 4е" ' х — а 3. У=с аш с а 4.У= — „т+Ь при я)! ну=а)пх+Ь прп а=!. л" ' 5. У=а(х — Ь)" +, если я+ а~О; у=лез", если п = — ш. 6. Уравнение Эйлера есть ау" + а'у'+ (Ь' — с) у = О. Прн Ь = сопш второй член функционала, «г Ь Ьуу' г(х = — (у', — у',), «т зависит тольно от граничных точек кривой у=у(х). У1 Ут< 2' 8. рассмотрим Г(х, у) при фиксированном х как функцию от у; пусть эта функции от у имеет минимум прп у=у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
