1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 129
Текст из файла (страница 129)
105), а отсюда дифференцированием поаучастся [,лг~ «тз ьг»з ° - „гг' — г(гг) — — = гг, то г" = , , а скааярный каадрш этого вектора ц «уг» (г»)э г (гэ) — г (гг) г г — (гг) Числитель равен [гг]~= [[гг[[~, а энаменатеаь равен [г [а 11. Кривая С лежит на циаиндричсской поверхности х =-.т («), у=у(з), обраэуюшие которой паралаеаьны оси ". Пара»«етр з ссж дтпна т[«ги проекции кривой С на плоскость хОу, но нс является длиной дтн! са~ой кривой С; поэтому будем считать з «произвоаьным» параметром и производные по з обозначать точками. По формуле дая производной от данны луги по иарамстру п»нгм ггтзтэ (1! — [дз[ = откуда дифференцированием поаучаем хх + (Р =- О.
(О) Введем обозначение: х'У' У-« =Р Решая эту систему уравнений, получим -б= — уу у=ух» откуда Х» -[ Р» =1». (5) Обозначим через с каппу дутп кривой С, огсчпгыкасмую от некоторой начааьиой точки на С, причем пусть «нозраг~а«ч с по~)»з ышп«м з. Тогда, так как а = а, в силу (1), имеем г!и 1 — = ги «у" « = » ' «-" из аа 1 1+а Единичный касательный вектор г!г г!г аз 1 1=--=--- — =[х ( а) г —— г)з гус ' Гг)-[.
ит Дааес, а'хз атг а'а а'з 1 — = — = — — =(х, Р,О) ач г!«««)3 г)ч ' ' 1+ а" ' Согласно опрсдеяснию (стр. 107), коивизна «Пг! [М ( 3~'Х»+Я-' [у! [ху — у('[ )'1, ! " -' у аа» [ [ г)а [ 1 + аа 1 + а' 1 + и» см. (5) и (3). Впрочем, кривизну можно вычисаить и по формуле упр. 1О, но только точки должны теперь означать дифференцирование по з. По первой формуае Фрспэ (упр. 7, стр. 115 и его рсшс~шс сэр. б!5), едини шый гаавпый пормазьпый вектор 1 ив 1 .
т л = — - — = — - [л, Я, 0) = —.— [ — у, Х, О) = эипу [ — уб х, 0) [см. (4)[. [т[ Отввты и т'клвлний Единичный бинормачьиый вектор Ь =(Вл) = 2 ! ( — ах, — а'1т, 1) (см. (1)(; у'! + аз т(Ь аЬ г)з зпп т — — —, ( — аХ, — ау, О). аа згз з(а 1+а -- сй ЛВ, это расстояние окззыяастгя посто- В чзстном случае, когда у(В) = ! янным и равным 1/ 1+ — . Аз ' 13. См. упр.
10. 14. а) Согласно упр. 5, стр. 33, уравнение искомой плоскости есть 1 — аЕ' — х 3 1 — Ы" — у сг — л 2 ! в — агз — х — ВЕз — у сгз — з 3 " 2 1, 1 — ага — х — Ы( — у сгз — г 3 з 2 з б) Согласно упр. 1, стр. 114, соприкасающаяся плоскость в точке Е кривой есть предельное положение плоскости, проходящей 1ереэ три точки втой кривой, когда все эти точки стремятся к общей предельной точке Е; поэтому ее уравнение есть Зх бгу Згзл Згзз Вгу Зх — — - — + — — Ез=О или Ез — — + -- — — =О. (') а Ь с с В а Если сюда подставить вместо Е последовательно Ео Е„г„то получим уравнения соприкасающихся плоскостей в каждой нэ этих точек.
В точке пере- Ив третьей Формулы Френэ (упр. 7, стр.!!5) скалярным умножением на единичный вектор ( — л) нзходим кручение а'Ь 1 ... а (ху — у.й) х = — л — =, ( — аХут+ ядр) = аа 1+а' !+аз За нормальный вектор саарикасаюи(ейся аласкасюп можно принять вектор ( — ах,— ар, 1), параллельный бинормальному вектору Ь; поэтому уравнение соприкасающейся плоскости в точке (х, у, е) — ах ( — х) — ар (ч — у) + (, "— я) = О. Уравнения нормали к цилиндрической поверхности в той же точке: х ( — х) + у (ч — у) = О, с = з, Нетрудно убедитьсв, что эта нормаль является линней сечения соприкасающейся плоскости с плоскостью с=л.
12. Ср. упр. 1, стр. !14. Уравнение сопрвкастющейся плоскости (гсов В + у зрл В) с+ (у мп  — Е сов В) 3+ 1 — (у+ ) ) = О. Расстояние от начала координат до этой плоскости равно абсолютной величине дроби 1+7 ~Е 1+/'+7' ' 62! ОТВЕТЫ И УКАЗЛИИЯ сечения (х, у, г) этих трех плоскостей уравнению (") должны поэтому удов- летворять значг.ния г = Гн г =Гм г = т,. Это значит, что Гь Гм Г, суть три корня кубического уравнения для й Следовательно, бу Ь вЂ” =Г Г, + т Г -)- (,тв, -х = ГА(в. а Зг — =т«+г +гм с Но эти три выраженнч лля л., у, г удовлетворяют урввнсншо пяоскости пункта а), 15.
Если, сохраняя неизменными Ь и с, изменять только и, то и«формулы 1 1 3= — Ьсжп А вытекает «( 8= —,ЬссовА л«А.Диффере««цируя равенство а'= 2 а 2 а =Ьв+ с* — 2Ьс сов А, получим а ига = Ье в!п А ЗА, откупа Ьс а«А = —. За= в«п А = 2)г иа; следовагельно, с(аЗ = 77 сов А гта. Аналгн ично г(лЗ= «2«сов В с(Ь и г(,З= )гсов С «тс. Но аЗ = г(„З+ г(эЗ+ «(,3.
16. Полярный рапи)с г=-! г«. Днфференцирун по Г, получим «уг ! й г г(г .аг . ° 2г — — — = г'— ЗЬГгз аг г туг «тт Геометрическая формулировка: производная от полярного рздиусз по скзлярному параметру равна проекпии произволной от радиус-вектора по тому «ке параметру на направление самого радиус-вектора, ГЛАВА РЛ $1, стр. !44. 5 2. а) — —, б) — —,-, з) — 1"! г) — 1, 4' 2 ' 21 !9 З.а) — —,, б)к, 32' в) 2; г) —;-'.
3 4, Прн х= — 3 максимум у=6: прн к=3 минимум у=- — 6. (Макси- мум и мш«имум принадлежат различным ветвям двузнз««««ой ф«нкции у =-у(х), но через кажную н «эгнт «очек провалит лишь ««о одной ее ветви.) ус — лл гх — у' гл — х«« ' ' г' — лу' 6. и (О, 0) = — 1, и (О, 0) =- — !. З 2, стр. 153. 1. а) 5х+ Ту — 21г+ 9 = О. 6) 20х+ 13у+ Зг — 36 = О. в) х — у — г+ — '=О, 6 2. !. 4. 6(«)+1) =аВ гле с, В 6 — текущие координаты на искомой поверх- ности. [5. Две точки пересечения (О, а) и (а, 0). В первой точке гт = О, т сле- довательно, х'=мху — 0 (вертикальная касательная), во второй точке Ьг =-О, а значит, у' =у„ =- 0 0 орнзонтальная касательная).
В первой точне х' = О, но к'" ~ О; во второй т«чкс у = О, но у'" ф О.) 6. а = 1, Ь =- ! ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 8. Пусть окружности К, Ка К, заданы уравнениями Кы х'+ у'+ ах + Ьу + с = О, К, имх'+у'+ а х+ Ь у+ с, =О, К вЂ” = '+у'+ а х+ Ьу+Е,=О. Тогда К, + ХК! = О есть уравнение пучка всех окружностей, проходящих через точки А и В.
Условия ортогональности окружности К к окружностям К, и К, приводятся к виду аа, +ЬЬ,— 2(с+е,) =О, аа,+ЬЬ,— 2(с+ с,) = О. Из этих условий сразу вытекает квк их слслствие условие ортогональности окружностей К=О и К, + ХКа=б. 3 3, стр. 175. д (6, т)) — 1 д(х, у) (х'+у!)' ' 3.
Принять точку О за начало координат и произвести инверсию; тогда криволинейный треугольник преобразуется в прямолинейный с тсмв же углами. 5. б) Обозначим левую часть уравнения, определяющего Е, и Еа через Р(х,у, Е); тогла кривыс Е,=сопл! и Е,=сапа! задаются неявными уравне- ниями Р=(х,у, Е,) = ! и Р(х,у, Еа) = !. Условие их ортогональности запи- шется так: О = Р» (х, у, Е!) Р„(х, у, Е ) + Р„(х, у, Е,) Р„(х, у, Е )-- 4х' 4у(а — ЕД (а — Е,! (Ь вЂ” Е,) (Ь вЂ” Е,) ' но это соотношение является прямым следствием тождества Р (х, у, Е,) — Р (х, у, Е,) = О. в) л=.!- в — =- ~Г ( — е,! (а — ее) / (ь — ед (ь — еП а — Ь вЂ” У ь —. г) д (Еа Е,) 4 (а — Ь) ху д (х, у) (а+ Ь)а — 2 (а — Ь) (х' — уа) + (ха + у)' л) ~тЬ! ™ (а — Е,) (Ь вЂ” Е,) (а — Е,) (Ь вЂ” Е,) * б.
а) Обозначим через Р(Е) левую часть уравнения, определяющего Е. Функция Р(Е) непрерывна в промежутке — са сЕ Сс, причем Р( — схэ) =О, Р(с — О) =+ со; следовательно, Р(Е,) = 1 по крайней лгере в одной точке Е, этого промежутка, Ана,тогичные рассуждения применить к остальным двум промежуткам. б) Ср. упр.
5б). гг(а — Е,) (а — Еа) (а — Е,) в)х=ш У вЂ” и аналогичные формулы для у и а. (а — Ь) (а — е) Ср. пр. 5в). . б) Пусть »=гааза, у=га!па. Тогда прямаяь =сапа! преобразуется ! в кривую второго поряпкэ Е, = — — соа'Ь, а окружность г= сопз1 — в кри- 2 в) ю второго порядка Е = — — ! та+ — !. 9.
Введем функцию а=х'+у'. Тогда — ьд!=О. д(х у) (х у! 623 ОТВЗТЫ И УКАЗАНИЯ )г !+ " (,и' р'1+'-')' Кривизна этой линни пересечения в точке х=-О, р=О имеет поэтому (ср. сгр. 147) значение у„л(О, О) Ь=- -"" ' Ь' ! +ил (с точностью ло знака). а Следовательно, коорлинаты центра кривизны этой лишш, соотвстствуюгцего точке Р(0, О, 0), булгт ! и Ь Ьг 1 )- иг (! -]- и'] У», (О, 0) ' х=О, а и ЬУ"!+«(!+«)у,„(О,О)' Исключив и из эгих Уравнений, обнаружим, что геометрическим местом пситрол кривизны являсгся окру~кипеть У,„(О,О](Уэ.]-зл] — л=О, х=о.
5. Т шкг 7' прпчсч зл илчлло кггордпнлт, а клсатею пуго и:госкгк н. в этой нгг -. г1 и и гкошг лр. Уравнение ооверююсти .г) ззпшигш в ниле л= = — У ге, УЬ нпичгч г !О, О] =.Ул(0, О] =-Уи(0, О) =-О, !(У шк иоРчальпых итогкоггси шцшжш шя у]гагггггпйстг У=-ах, В качестве кгнгрлпплг л каждой нормальной и.иск шгп примем р=)~ха+Ул и з. Тогда в мой плоскости ф 4, стр. !85. 1. б) Окружность на сфере задается присоединением к уравиениго сферы линейного уравнения относительно х, у, л. 4г' (г(и'+ Кол) (и' + ои + г')' 2. а] г(зл = аг(г(ал + л]па 0 гтул). ал — Ьг б) или =-(алана и+Ьлсгжл и) с]зло йии —, ми йиз!т 2оил но+ 2 + ((а'сол' и+ Ьи а!пи и] з1Р о 4- с" с!6 о) иол. в) Параметрические уравнения поверхности врзщения: х = у (л) соа О, у = У (з) нп О, л = з; иР = (! +Р ) игл + уи иа'. Пг — гэ) (г — т:), П вЂ” г ) (г 4 (а — Г,) (Ь вЂ” Г,)!с — Г,) ' 4 (а — Гг) !Ь вЂ” Г„) (г — Гл) ~уи ли !'+ ( ли хи !' (х„у воспользоваться формулой преобразования якобианов.
4. Примем точку Р за начало прямоугольной системы координат х, у, л. Касатедьную т примем за ась х, а касательнуго плоскость к поверхности 8 в точке Р— за плоскость ху. Уравнение поверхности 6 булет тогда л = =у(х,у), где у(0, 0) =У„(0, 0) =ту(0, 0) =-О. Пу шк паоскошсй 1"., проходящих через Г, выражается уравнением з = ау. Введем теперь р =]ууэ+ л" и х в качестве координат на плоскости а;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
