1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 128
Текст из файла (страница 128)
' 2 4. а) и б) для определителя четвер~ого порядка воспользоваться результатои тпр. 4, стр. 40. в) умножить определитель д па искомый определитель по правилу умножения опреде,титезсй. Я 4 — 6, стр. 96. ах,л'+Ьу„у+ с л= !. 2. Если поместить начало координат в вершину конической поверхности, то ее уравнение можно записать в виде и =ха( †). уу) (,х !' 6. Ох+ 2(а+ с+ А). Воспользоваться теоремой уйр. 4.
6. Воспользоваться теоремой упр. 4. 2 ы а) Ухх+Уут+У =6 + — 6,. Г б) Найти общее рсшснпс обыкновенного дифференциального уравнее 2 нии Кгг+ — а =О. г и — 1 8 Юге+ Кг ° улх+ууу+уеа — .а; э ( ~„(~уг ) + ! 1;„э !+яй (згэ жп")~ ° О?виты н укАВАния 615 9 б, стр. 99. 1.
ку. 3. а) ~~) !) ~ ~кмуя нрн [к[+[у[(!. я Олг д кч кмул б) У у — при всек значениях к иу. Лы г сл?п! я=в лг=л и 7, стр. 114. 1. Выразить по формуле Тэйлора коорлинаты точки кривой через знз чения функций у, Ч, ф и их первых и вторых производных в Г,; затегм нанн. сать уравнение плоскости, прохолящей через три данные точки.
Уравнение соприкасающейся плоскости: .г — у(?ь) Р(?а) У (?а) у 7 (го) ф (?о) '? (?о) д Ф (гт) ~У (га) ф (га) или (г — г,) [г(?,) г (?,)]=О; отсюда видно, что [г(г,) г (г,)] есть нсэрмадь ный вектор сопрйкасающейся плоскости в точке Г, кривой. 3. Пусть Аг — радиус-вектор центра С искомой сферы; тогда скалярный квадрат у(з) =(г(з) — ??)т, равный квадрату расстояния от С до псэрсмен ной точки кривой, должен иметь при а=а, наибольший возможный порядок стационарности, т, е, в этой точке должны обратиться в нуль у'(н), у"(а) н у'" (з). )Лиффгрснпируя 7(з) трижды по з н принимая во внимание (д')а= 1 и гг" =О, получим трп уравнения (г — )7! г' =О, (г — ?7! г" + 1 =О и (г — )?) г'"=О. Из первого и грсп его уравнения виггпо, что вектор г )в= =Л [г'г'"], где число Л подледны онрсдсдсшно из второ~о уравнеггитт.
Оша, ??=г— [г'г"'] [г'г" ] г"' ' 5. Если Г? — радиус-вектор центра сфсры, то [г(а) — )т]л=1 прн всех значениях з. Йнффсрснцнруя трн раза последовательно зто тождсствоч нод) чим те же трн уравнсшш, по н в унр. 3, с той аншь разницей, что здесь аии удовлетворяются прп всех значениях з. Принимая во внимание нпходное тожлество (г — ??)-"= ! н тождество Х!агранжа ()пр. 7 на стр. 33), подучим требуемый результат. 7. Из определения векторов з, и, Ь имеем ь=г', (г')'=1, п=- — г" 1 Х Ь=[1п], з= -т- ! Ь' !.
Очсвилно, т. =йп, и первая формула показана, Для определения произаолных по з от Ь и и выразилг Ь' и и' через елнничные векторы Й, п и Ь. Из соотношений 6'= ! и ФЬ=О получаем дифференцированием 66' = О и Ь'Х = — Ьд', а так как Х = йп, то Ь'Х = — ййп = О; стадо быть, Ь' перпендикулярен к обоим векторам х и Ь, а потому 6'=.+- [ Ь ! и— = ес ап. Остзвшийся нсопределеннылг знак крученил в формуле к= ш ! ?г ! выберем так, чтобы было Ь'= — кп, и третья формула доказана. Геометрическое рассмотрение этой формулы показывает, что при таком выборе знака двингение точки вдоль кривой по направлению вектора К, т. е. в сторону возрастания з, в сочетании с вращением бвнормального вектора Ь образует правый винт. Остзлось доказать вторую формулу.
Для втой пели продифферегнгируеч по з формулы пг= 1, Фгт=О и пЬ=О и получим пп'=О, 1п'=--1п= 616 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ = — йит=- — й и и'Ь= — иЬ'=хи'=х. Следовательно, проекции вектора и' на орты д, и и Ь равны соответственно ( — й), О, х, Стало быть, и'= — ЬФ+хЬ.
Добавим, что, на основании упр. 2, бннормальный всюор перпендикулярен к соприкасающейся плоскости. 8. Воспользоваться упр. 7 и тпр. 3. ! йф Ожа. а) г"'(з) — — — йтй+йггп йхЬ; б) )2 — г=-;» и — !ах ° 9. , 'Ь' ' = ~ х! = О, следовательно, Ь есть постоянный вектор.
Далее, г'Ь=ФЬ=-О, откуда гЬ=а, где а — постоянное щс,чо. Мы пол>чили уравнение плоскости, в которой лежит наша кривая. !О. б> Если кривая задана параметрическими уравнениями к =у(г), у = я (!), з = у' !Г), то ппнерхность имеет параметрические уравнения (с двумя параметрами з и !): х = у (!) + Зу'(!), у = а (!) + зи'(!), г = ф (!) + зф'(!); длл д'з д'з из этих уравнений надо выразить --„., —, — „через производные по ! дл " ' дх ду ' дуа и поз.
Дополнения к гд. П й 1, стр. 12!. 1. а) Так как область О замкнута, то в ней существует такая точка !',>, которая удалена от Р на мсншпее расстояние, чем любая др>тая точка области О.!!усть и есть перпенлнкуляр к РО в точке О. Тогда ии одна точка ус в О не лежит на той и»е стороне от я, по и Р, нбо, в противном случае, области О принадлежали бы нс только точки О и )7, по и весь отрезок О)7, и на этол! отрезке нашлись бы точки, более близкие к Р, чем точка !',>. Следовательно, прямая, проходящая через точку Р параллельно прямой и, не ляжет иметь общие точки с областью О. б) Существует последовательность точек Рп Р„..., не принадлежащих области О и сходящихся к точке Р.
Обозначим через (н 7„,... прямые линии, проходящие через точки Ри Рм ... и дглянтис плоскость на дае полу- плоскости, одна из которых не содержит нн одной то щи из О: согласно а) такие прямые существуют. Из этой последовательности можно выделить подпоследовательгуость йрямых, направления которых тоже сходятся. Предельная прямая в будет опорной прямой, проходящей через точку Р. в> Если бы точка М не лежала в О, то, согласно доказательству пункта а), существовала бы опорная прямая и, отделяющая точку М от области О. г) Примем одну (любую) из опорных прямых за ось х.
Тогда ординаты у всех точек области О имеют одинаковый знак. Согласно определению центрз массы, его ординзта имеет тот же знак. Следовательно, область О и ее центр массы лежат на одной и той же стороне от шобой опорной прямой; теперь применить в). е) Кривизна й = — где 7 есть >тол, образуемый касательной с осью х, а з †дли дуги кривой; а является непрерывной функцией от а. Так как й= — )О, то угол а монотонно возрастает от а(0) до 7(0)+2я, т. е. а ду дз не может иметь одно и то же значение для двух разаичных точек кривой. Если бы кривая пересекала какую-либо прямую ! с уравнением ах+ Ьув — с = 0 в трех точках з„ зн з„, то функция Р (з) = их(з) + Ьу(з) — с имела бы три корня; з таком случае ул(з) тоже имела бы по крайней мере трн корня, т. е.
существовали бы три касательных, параллельных прямой !. 617 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К тому же две из этих касательных непременно были бы направлены в одну сторону, т. е. имели бы одинаковое значение а, что противоречит сделанному выше выводу. 2, а) Множество, состоящее иэ точек, лежащих во всех выпуклых областях, солерткащнх В, обладает свойствами 1, 2 и 3. б) Если точка Р принадлежит множеству Е, то не может быть такой примой 1, которая отделяла бы Р от 5; действительно, если бы такая прямая существовала, мы мотли бы взять, например, большой квадрат !7 с одной стороной на прямой 1, содержащий 5; тогда квадрат (7 был бы выпуклой областью, содержащей В и не содержащей Р.
Если же точка Р не приналлежит множеству В, то существует по крайней мере одна выпуклая область В, содержащая В, но не содержащая точки Р. Тогла (ср. )Ир. 1а! существует прямая, отделяющая облас~ь В от точки Р; а так как В содержит В, то эта пряная отделяет также множество Вот Р.
в) Ср. унр. !г. й 2, стр. 127. 1. а) Нет. б) Нет. в) Да (см. т. 1, стр. 509). Смешанные упражнения к гл. П, стр. 131. 1. б) Положить лхх!Ви; лля л получится уравнение л =О, т. е. е не х зависит от у. Положим хх=т(х); тогда л ='!а(х)Фх+ф(у) н и=-е'= ) е(х)ех а еэы'.=-т (х) и(у). 3. Дифференпировать соотношение Р(и, и„) =О по х и по у.
4. Функпия и должна иметь внд и=хг! — !+я( — ~ или, что то же, тх),х~ и=хе~ — +ф ~ — ). '(у; ' 5. а) ! г(.с+ И, у+И) — г(х, у),' = -1 2Лх+ 4Лу+ И'+ 2Ла )г 1+ (х+ И)'+ 2 (у+ Л)'+рг! + х'+ 2у' ', ~ ( 2Лх + 4йу+ Лх + 2йт ! ~ 2 ' Л' + Л'+ ой «+ ойу ) а «2(Ла+ Л'+ 2 ) Ла+ Л' ргхт+у) (2)'И'+ Л' (! + 2 реха+Ли), есаи предположить, что Л'+ да (!. Теперь видно, что (У(х+И, у+И) — 1"(х,у) Сх, когда Ухйэ+Ла< 2 + 4 у~ха +уз 6. Положим х=-аг, у =И1! тогда а4зтсэ аЧ !пп г (х, у) = !пп,, —;-,—; = О, !Ип д (х, у) = 1!щ,, = О; т о ' с о (а +бэст)а ' т э ' (аз+ Ь') 1 — а однако если точка (х, у) стремится к началу, двигаясь вдоль параболы уа=х, то г" (х, у) = —, а д(х,у) = 1, 6!8 ОТВПТЫ И ККАЗАНИЯ 7.
Зададим кривую уравнениямв х=х(Е), у=у(Е), где х(Е) н у(Е) имеют непрерывные производные. Пусть точки Еэ и !'„) кривой соответствуют значениям Е, и Е, параметра. По теореме о среднем значении интегрального исчисления Е = ~ Г' х" + Р» агг = (Ет — Е~) ].' [Аа (тг)[а + [У (т )]а, )г а по теореме о среднелг значении дифференциального исчисления г( = [х (Е ) — х (Е ) ]' + [ у (Ет) — у (Е ) ]' = (Е, — Е ) Р~[х (тт)]а + [ Р (тэ) ]т , где тн та, та — некоторые промежуточные значения между Е, и Еа. Теперь ясно, что Š— аг= о(га — Е,), так как г [х' (тг)] +[.т (т~!] — !г]х (та)] + [~Я (та)]а О, когда Е,— Е, (т, а а имеет при этом тот же порядок малости, что н Еа — Еь 8. Так как все члены ряда положительны, то достаточно доказать его стодимость и выюислить его сумму при любом порядке членов.
Положим а+а л. Тогда '=2. 2. (.)х,-.=Х; 2, (.) "Ы. Втгутреннюю сумму легко вычислит>, по формуле ( ) а а ла (! + а)а -т а=о которая доказывается дифференцированием тождества а л,'ы! (а] ( + а о а о 1О. Будем обозначать точками производные по Е, штриками — по з. Согласно стр. !07, Д=] г" [=]г (г")' (Сокращать показатель корня с показателем степени нельзя, так как под корнем стоит не квадрат числа, а скалярный квадрат вектора.) Выразим г", вторую производную радиус-вектора по а, через его производные по Е. Имеем ° г(Е г г(5 г(5 а'Е е(а - г(Е амз ат Ф)' Поэтому 8= -„- [!+ чч ! у ~ уах — ) = — ~ л( — + — ) а о ! — -- —— х 619 Отпиты и уклзА1!ий !«)з) э Так как [ — '~ =га (стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
