1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Ч О' с где и — единичный вектор внешней нормали граничной кривой С, Е;,— проекция нектара поля Р'= (у, и) на направление внешней норчали, г/Ь'— элемент площади области Я а дз — дифференциал д)ги контура С. ВООО СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ )а Теоремы Грина (стр. 3!и)): ) Ь;я.Ь,, Р» О= — (( ° гт ~я~-фС вЂ”,, *Я- .~Я= — ( ( ° .~.«о э~ ( —., Г.-ь чей а ~ (итзо — прап) ох г/У = с1т ((сит — ису) дх — (ои„— ио„) ду) = (и0яо — оВял) дз. Векторнан запись первой формулы Грина: ~ етад и пгад одб+ ~ ~ и гйч йгабод5=~ и()„одл, а а с: где тяп= сВУ егадо= о „+ Р ти а 0 — оператор дифференпировання по направлению анешней нормали. Б. В трехмерном пространстве Если область ся одяосвязна, то криволинейный интегра.т ~ (Г, дх+ Гя ду+ Гя да) = ~ Где Ап АВ не зависит от пути интегрирования, соединяющего в 0 любые две точка А н В этой области, в том и тольно в том слтчас, сслп выполняется критерий ннтегрируемости тот Е=-О дР, дГя дГя дГт дря дГ, — — — — — (стр.
382). ду дх ' дг ду ' дх дг Интегрзл по поверхности (стр. 406) имеет следующий вид: Ц (Г, (лй у, а) ду да + В (х, у, л) дл д. + Г. (., у, л) д. ду) = з = ~~ Р(Р) и'да = Ц Р„дю х где вектор Г='(Го Е„, Гя), и — единичный нормальный вектор поверхности Х, Вя — проскпия вектора В на направление и, а де†элемент поверхности Е. Если поверхность Е задана парачстричсскими уравнениями х = х(и,з), у=у (и, о), " = а(и, о), то поверхностный интеграл записывается тан: ~ ~ = ~ ~ ~Р', (х, у, а) — д - + Вя(х, у, а) - ' + +~я(.т У ) д(х, у)), д !и, о~) 601 сводка влжнпйших твоппм и еопмул причем ориентация области В плоскости ио должна быть согласована с ориентацией поверхности Е, Теорема Гаусса — Осгпроградского (стр.
408 — 411). Иусгь п'= =(сова, пснр, сову) — сдиничный вектор внсшнгй нормали зюкнутой по- всрхиости л, и пусть вектор поля есть Р= (Р„рт, Рт). Тогда ~~~ —.'-~ — 'Ь вЂ” '~гльь=ДН; ":гг яяг. гдР, дР, дР,1 (дх ду дг) или, в вскторной записи, ~ ~ ~ б)ч Рд)'= Д Рп' д~ = Д Р„дч, д а а гдс тройной интеграл бератся по области С, а двойной интеграл — по зам- кнутой поверхности 2, ограничивающей эту область.
Теоремы Грина (стр. 414): 1) ~ л( л( (ихол+ иутгу+ и ог) д.г гту сгг+ у( ~ у( иу о ггх дуда= = Д и )) „о дч. " 1)1'"'"-""""*""= УУ ( --"-'" Рь~ ! до ди) — Н~ ди дп~ где — = Е> есть оператор дигрфсрснцирования по направлению внсшнсй д дл д' д' дв нормали, а от = —, + —. + —. ость оператор Лапласа. дха дут дгт Теоргма Сглокса (стр. 4!71. 1(усть кусок повсрхности 2 ограничен замкнутой кривой С, ориснтированпой соотвстствующнм образом. Тогда ~~~( — — )дуда+~ — — — ~дгдх+~ ~г)хду~= = 1~ (Р, дх + Р, ду + Р, дг) или, в векторной записи, ~ $ и" гог Рг)я= $ ~ (гог Р)„да= С(т Р дз, х з гдс вектор полн Р= (Ро Ра, Ра), и' — единичный всктор нормали к Х, (готР) — проекция всктора гогР на направление и', Р— проекция всктора я х поля на направлсние касательной к граничной кривой С.
Направление об- хода контура С сш ласоваио с нормальным вектором поверхности по правилу правого винта. 9. Максимумы н минимумы функции многих переменных Свободные зкстрелгумы функции двух пгрсменных и =Т(х, у). Пеоблодилгые условия экстрсмунш Т =О, ух=О (стр. 202), или у у яе сугцеслглуюгтг (сгр. 205). ЕО2 сводка влжнвйгних твоевм и ооеелгл (и Достаточные уеэ>оаия экстремума. Если н некоторой точке (хну,! выполнены условия у» = О, уэ, =-О, и при этом э«»»гул У»> ) О> то в этой точке функция и»- р(х, у) иыеет экстремун. Этот экстре«>ук б>лет максимумом илн л>пипл>умом, смотря по тому, каков знак второс производной г»» н то >ко (х«, у„): отрицательный илп положительный, 0>.
лпч>ть максимум от ь>ияпм)ьт л>о>юю и по знаку уэ, „кбо в этом случэе Г»» и у>э, имеют одинаковые «паки. Если в точке (хм у,) у»»утт — у»> ( О то в этой точке нет экстремума, — она является седловиной (стр. 225). Если в точке (.ть, у„! р,.у т — у" т=о то вот>р<>с о наличии в ней экстрем>ма требует дополнительно>о последе ванин. Уелолкые или ол>носительные экстремумы. Мел>од яеопределеяннг мним«ил>елей (стр, 2обэ — 2!6).
Есчн п аргул>ентов ф>нкпип и» Р(лохе,к ) связаны между собой с пса>ощью тл дополннтелы>ыл >слоапй (т ~ л) В (л.„„,, ха) =О, Р«(.то ..., лл) =О, ..., чт (л'„..., х„) =О, (ь) то надо ввести т неопределенных множителей Ло Лл...., Лт и построим вспоно>ательную фуокпвпо Е(», ",.с.)=У+)>Т>+) «л+" + '-.. Тогда т условий связи (ь) и а уравнений др дР дг д..„' ""' дл„ дают систеиу (>я -)- 0) кеоблодамы» >слоанй эктрем>ма. 10. Кривые и поверхности (сводка формул лля пмжких кривых дана в т. (, стр. Обт — 656, Формулн для кривизны кривой («(л; у) =О (с учетом знака) даны а т. )), стр. !47.) А.
Пространственные кривые Уравнение кривой г=гИ) или х=-л. И), у=у(г), л=-л(Г). ((асательяый лектор ° дг Т=-г= — = (лй уч а) йг направлен в сторону возрастания параметра б Единичный касательный вектор: — =а г Ж 604 СВОЙКА ВЛЖИЕ!1ШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ !И Уравнение кагал!елькой плоскосааи (стр. 82, 151): а) ( — гии (1 — х) Уи+( — у)Уэ,: б) (1 —.к) Гх+ (9! — у) г" + (А — г) Г = 01 в) (1 — х) !Уи и! (ч у)!хи ги! ! (( -) /хгс Уи! — О !У гс~ !х„г„! (х У„! В. Огибающие (стр. !88 — 199) а) Для того чтобы получить огибающую кривую однонараметрнческого семейства плоских кривых у(.к, у, с) =0 или огибающую поверхность одпопараметрического семейства поверхностей у(х,у, г, с)=0, надо найти дпскрпминантную кривую нлп дисхриминантную поверхность, исключая параметр с нз уравнснин у=О, ус — О. Дискримннантная кривая !щи поверхность содержит огибающую, а также и геометрическое место особых точек, Если однопараметрическое семейство кривых задано в параметрическом виде л.=у(г, с), у=ф(г, с), где à — параметр иа крнвон, с — параметр семейства, то днскрининантнан кривая по.тучается исключением параметров с и г из уравнений х=е(г, с), у=ф(г, с), Фгф — Е ф~=О (стр.
191), б) Огибающая двупараметричсского ссмспгтва поверки с!сп г'(х, у, г, сн ст) = 0 содержится в уравнении, полу !синим путем исключения двух параметров с, и с, из системы уравнении (=0, =О, с, у с=О. 11. Длина дуги, плошадь, объем Формулы для длины дуги плоской кривой и площади плоской фигуры даны в т. 1, стр.
б58 — б59. Длина дуги пространственной кривои х = х (т), у = у (г), г = г (Г) есть а = ~ ф'хг + у" + Ес дг (стр, 105). сс уауссоаы коэффициенты иа кривой иоверхнотяи. Если поверхность задана в параметрическом виде г=г(и, о) нли л =л (и, о), у=у(и, о), г=л(и, о), сводкл влжиейших ггопвм и еопмкп ЕОЗ !ь! (наираваеи в сторону возрастания параметра З) ипи с(г (дх йу дз дз' дз' йз! (иапрзззеи в сторону возрасгэиия длины дуги з). Глазный корлсплькый астпор! сМ дэг (и "х и "р сс"4 сТз йз! )дзг ' дзг' Ззт)— (стр, 106).
Единичный глазный норпалькый вектор: Л дз Бикормильиый гектогэ (единичны!!): Ь = (ги1 (ст!э. 11о). Кризизна А ) 0 (стр. 107, 1!5): (стр. 132). дЬ 3) — = — хи дз Уразксмие соприкасающейся плоскоспги (стр. 114, 6!5): Х вЂ” х й .б 1 — уРР=О, 2 — г й Л где точками обозначены ироазводиые ио параметру Е Б. Поверхности Уризкские позсрхкости; а) г=У(х, р); б) Р(х, у, г) =0; в/ г=г(и, о) ипи х=х(и, и), ууормальный гскэггорг а) и= (У„,'т, — 1); б) п = (Рм ) =-!...)='~рп 'и), -!-':" ()Уь гь) )хг у=у(и, -), г=г(и, и). Кр> чспие (стр. 115): дЬ х= — и — (стр. 615, решение упр.
7). йз Форлульс Фргкэ (стр. ! 15): 1) — = угп, 2) — = — И+ хЬ, дсь ди дз ' дз СВОЛКЛ ВАЖНЕИШИХ ТПОРПМ И ФОРМУЛ п) то гауссовыми коэффициентами называются величины Е= (г„)'=х,', +у'„+ а'„-, р= г«г« =х«х«+ у«у«+ «г« й = (г )' = х'„+ у' + г' (стр. 180). Тогда Длина дуги кривой, лежащей яа элюй аояерхности, есть в=~ )ГЕав+2Г!эб+ Об«дг (стр. 180). Плошаль куска 2 кривой поверхности, проекция которого на плоскость ху есть область 0 этой плоскости, выражается двойным интегралом 2 =) '! й«.
Если уравнение поверхности г=г (х, у), то 2 = Ц )г 1 + у" + р2 а'х йу. Если уравнение поверхности г (х, у, г) =О, то 2 = ~ ~ —, 1/ Рлв. + Рв + Гв дх дУ. ! О Если уравнение поверхности лацо в цараметрпческолт ниле х = х (и, о), у=у(и, о), г =г(и, о), то Е= ~ ~ )гЕ6 — Ра с!и с!сп В причем последний интеграл берется по области )) плоскости ио, соответст- вующей области П плоскости ху. Площидя ловерхяосщи вращения х=и сова, у=а в!по, г=ч(и), получещшй щзн вращении кривой гу у(х) плоскости гх вокруг оси г, есть «~ вэ т= .1.УГ+ЬТ)Г'ю=э.! ° ~и «в вв где в — длина дуги меридианной кривой г=у (х) (стр. 29б; сч. также т.
1, стр. 329). Площаль ся елиничной сферы х,-"+х'+ ...+х; =1 в я-мерном прост- ранстве дается формулой (стр. 325). () -)' '~+) Обаелгы. Обьем вертикального цилиндрического бруса, огрвппчгнгнээо областью 0 пюскости ху и нгском поверхности Я с уравнением г=/(х,у), выражаетсл формулой )I = У у (., у) ых иу. СВОДКА ВАЖНВВГПИХ ТКОРВМ И ФОРМУЛ ВОЕ Нз Если пространственная область ((г) полностью ограничена заахаутой поверхностью 1, то объем Ъг этой области есть (г=~ ~ ) дх ду Вг= )1 1) г йх ду= — (1 1)х ду дг= — Дуда ах ! )') (стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
