1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Применим теперь интегральную формулу Коши к граничной окружности С:)2)=Я и запишем подынтегральную функцию (пользуясь геометрической прогрессией) в следующем виде: Так как точка 2 лежит внутри окружности, а точка ( — на неи самой, то ! — )=р(1, и для остаточного члена геометрического С в1чю ряда г = ~ 1-(-) — получается такая оценка: 1 —— ч ! ~ Оч+! Внеся выражение для подынтегральной функции в формулу Коши и интегрируя почленно, имеем С (2) — СВ+ Стг+ Стг + ° ° ° + Саг + Йч, где 1 ХУ(с) сь —. свгГ йг, 1 Г Гч„=2 —.уу(",) г„й(.
в ь интвгвальная вовмтла коши и вв пгнложвния 671 Пусть М вЂ” верхняя граница значений Щ)! на окружности круга; тогда формула оценки комплексного интеграла ($3, конец и'1) дает сраау следующую оценку модуля остаточного члена: дв+! яв+! ~ гт,((~ — — 2ягсМ= — М. и 1 — !7 Так как !7 есть положительное число, меныпее единицы, то 1т'„-ьО при н-ь.со, а стало быть, функция У(в) разложена в бесконечный степенной ряд СО ~(г)= '~', сага а-о с коэффициентами Тем самым теорема доказана.
Эта теорема имеет важные следствия Во-первых, ив $ 1, и' 3 мы внаем, что всякий степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его круга сходимости сколько угодно рав, а так как всякую аналитическую функцию можно представить в виде степенного ряда, то отсюда вытекает, что внук!ри обласкти, в которой функция квлкется аналитической ее производная в свою очередь дифференцируема, т. е. также является окалин!ической функцией.
Другими словами, операции дифференцирований не выводшн пз класса аналитических функций. Во-вторых, мы уже знаем, что степенной ряд можно также интегрировать внутри его круга сходи- мости. Следовательно, как дифференцирование, так и интегрирование аналоя!пиесках функций всегда выполнимо без каких-либо ограничений. Это, конечно, приятная ситуация, которая не имеет места у функций действительной переменной. В-третьих, в й 1 (в конце п' 3) мы видели„что всякий степенной ряд является рядом Тэйлора для функции, которую он представляет. Отсюда вытекает обшее положение, что всякая функция, аналитическая в некоторой области, может быть разложена в окрестности любой внутренней точки гв' этой области в ряд Тэйлора Г(г)=Лев)+,~, — а! ' (г — гв)", в ! коэффициенты которого выражаются формулами с =~ с» —, = — — ~т гй„ где интеграл берется по окружности С, внутри которой функция У(г) является аналитической.
572 гл. шп, вхнкции комплаксной пвввменной 1« Из полученных результатов можно также вывести правило для суждения о радиусе сходимости ряда Тэйлора. А именно, ряд Тэйлора, представляющий функцию у(г) в окрестности точки л = г«, обязательно сходится внутри наибольшего круга с центром в гь лежащего'полностью в той области, в которой функция определенз и является аналитической. В силу теорем о дифференцировании и интегрировании степенного ряда, справедливость которых мы теперь установили также и для комплексной области, все те элементарные функции, которые мы разложили в ряд Тейлора в действительной области, имеют точно тот же самый ряд Тэйлора и в комплексной области.
Для большинства этих функций мы уже ранее убедились в справедливости этого положению Здесь можно, например, отметить, что разложение в биномиальный ряд (1+я)а ~~~ ( ) г« «=а сохраняет силу и для комплексного аргумента г, если )г| с!, при условии что функция (1.) г)» г»!я0+»1 построена с помощью главного значения логарифма 1п(! +г). Тот факт, что радиус сходимости юого ряла равен единице, непосредственно вытекает нз сказанного выше, если учесть, что функция (1+г)" уже не является аналитической в точке г= — 1. Действительно, если бы эта функция была аналитической при г= — 1, то она имелабы в этойточке производные аюбого порядка, что явно не имеет места.
Поэтому круг радиуса 1 с центром в точке г=о есть наибольший круг, внутри которого функция еще является аналитической. Как мы уже указывали в гл. Ч!П первого тома, стр. 474, поведение степенного ряда в отношении сходимости становится вполне понятным в свете только что доказанного факта о круге сходимости. Например, то обстоятельство, что геометрический ряд, представляющий 1 функцию 1,, перестает сходиться на окружности ~ я~ =1, есть простое следствие того факта, что эта функция уже не является аналитической а точках г= г и г = — 1. Теперь нам столь же ясно, что степенной ряд «=о опредеаяющий числа Бернулли (ср.
т. 1, стр. 478), должен иметь круг сходимости, ограниченный окружностью ~г/, 2я, ибо знаменатель функция обращается в нуль в точке я=2Ы, но нигде не обращается в нуль внутри окружности /г(=2я (если не считать начала координат). Упражнение Доказать, что аналитическая функция имеет производные любого порядка, опираясь на интсгральнаю формулу Коши (стаго быть, без прямого испоаьзозания степенного ряда). а к интегральная вокмклл коши и нв пгнложения 573 3. Теория аналитических функций и теория потенциала Иа того факта, что аналитическую функцию можно дифференцировать сколько угодно раз, вытекает, что ее действительная часть и(х, у) и мнимая часть п(х, у) имеют непрерывные частные производные любого порядка Поэтому уравнения Ноши — Римана и„= и, и„= — и„ можно дифференцировать.
Продифференцируем первое уравнение по х, а второе — по у и сложим результаты; тогда получится ураанейие Лапласа тки = и„„+ и = О. Аналогичным путем обнаруживается, что мнимая часть п(х, у) удовлетворяет тому же уравнению: туепЫп„„+и =О. Другими словами, как действительная часть, так и мнимая часть аналитической функции удовлетворяет уравнению Ланласа, т. е. обе онн являются потенциальными или гармоническими функциями. Если две гармониЧеские функции и и и удовлетворяют уравнениям Коши — Римана, то они назывзются сопряженными гармоническими функциями.
Отсюда видно, что теория функций комплексной переменной и теория двумерного потенциала по существу эквивалентны. Упражнение Показать, что длк всякой функции и(х, у), удовлетворяющей уравнеяяю Лапласа, можно построить сопряженную ей функцию е(х, у), н притом однозначным образом, если не считать адднтизной постоякаой. 4. Теорема, обратная теореме Коши. Если функция ге=у(г) нелрермена з односеязной области О и обладает теле свойством, что ее интеграл вдоль любой замкнутой кривой, лежащей з О, равен нулю, то функция)(г) является аналитической в области О, Для доказательства достаточно заметить следующее. Из условия теоремы сразу вытекает, что интеграл )-у(~)й"„взятый вдоль любого ло пути, идущего от фиксированной точки г, до переменной точки г области О, является дифференцируемой функцией р(г), причем р'(г)= у(г).
[Что производная р'(г)=а —. ~ у(~)й( существует и равна у(г), л г доказывается тем же путем, что и соответствующая теорема для криволинейного интеграла в действительной области. См., например, Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, изд. 2, М., 1958.) Стало быть, Е(г) есть б74 гл. чп!. эгн«цнн номплпнсной пвпимннной !о аналитическая функция, и ее производная 1" (2)=,7(2), согласнолокаванному выше, тоже является аналитической функцией. Эта теорема, обратная теореме Ноши, показывает, что прн построении теории аналитических функций можно было бы заменять требование дифференцируемости требованием интегрируемости.
Эквивалентность этих двух требований представляет собой весьма хлрактерную черту теории функций комплексной'переменной. 6. Нули, полюсы и вычеты аналитической функции. Еслнаналитическая функция ~(2) обращается в нуль в точке г=гь то постоянный член г(го) в разложении этой функции в ряд Тэйлора по степенЯм г — го Равен нУлю; может слУчитьсЯ, что, кРоме него, пше несколько следующих по порядку. коэффициентов ряда Тэйлораобращаются в нуль. Предположим, что первым не исчезающим членом ряда будет член, содержащий (г — го)".
Тогда можно вынести (г — ео)о ва скобку и написать У(2) =(2 — го) й'(2) причем я(го) ~ О. В точке гь очевидно, л(го)=л'(го)=2"(го)=" ° =У''1(го)=0, а ~!"1(2)ч1й Точка г„обладающая таким свойством, называется нулем и-го порядка функции 7'(2). 1 Функция — =ф(г), как мы знаем, тоже является аналитической У(о) функцией в области О, но уже за исключением тех точек этойобласти, в которых Г"(2) обращается в нуль. Если 2, есть нуль и-го порядка функции У(г), то функция ф(г) может быть представлена в окрестности точки го в следующем виде: 1 1 'р (е е )о е (2) (о — го)" ' (2)= = ф(2), где ф(2) — аналитическаЯ фУнкциа в окРестности точки гь фУнкциЯ же 7(г) перестает быть аналитической в точке 2=2,. Эта точка называется иолюсоле и-ао порядка функции оо(г). Полюс принадлежит к числу так называемых особенностей или особых точек функции.
Если функцию ф(2)' разложить по степеням г — г, н полученнып ряд Разделить почленно на (г — го)", то длЯ 7(г) полУчитсЯ в онРестности полюса го Разложение в Рнд вида 9 (2)= с-л(г го) + ° ° ° + с-л (г го) + со+ +со(г — го)+со(2 — го) + "° (А) где коэффициенты при различных степенях (г — 2,) обоаначены через с ..., с ь со, сь сь ... (Ряд (А) называется рядолс Лорана.1 Если мы имеем дело с полюсом первого порядка, т. е. и 1, то коэффициент с л получается сразу из соотношения с ! = !пп (2 — го) 7(г).
о ер Ч я ь ннтнгг«льн«я зогмкл«коши и ни пгнложвння 675 Так как в этом случае ! г (е) у (2) — у (яр) (а ео) 9 (е) е с« а са то 1 с 1= —. ~'(Яр) ' Подобным же образом, если з(з)= —, а г(з) имеет нуль первого () У(е) ' порядка н точке зь между тем как г(з,) ~ О, то имеем г (8~) с г — — —. Г(~) Бели функция в(з) определена и является аналитической в некоторой окрестности точки зь но не в самой этой точке, то ее интеграл вдоль замкнутой кривой, содержащей эту точку внутри себя, вообще говоря, не будет равен нулю, Однако, по теореме Йоши, этот интеграл, не зависит от выбора кривой и значение его одинаково для всех замкнутых кривых достаточно малого поперечника, окружающих точку еь Значение интеграла от такой функции з(а) вдоль замкнутой кривой С, окружающей тачку гь взятого в положительном направлении [т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
