1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 124
Текст из файла (страница 124)
рэ г Якобааны. Если 1= 7 (х, у), я = 6 (х, у), то дх 6 д.т' х„ду ф, ду о„ д1 0 ' дч () ' д1 й ' д, Гэ ' где есть акобнаи или функциональный опредеаитель (стр.161 †1). сводка влткнийших твопим и еоплткл а) Свойсгпаа яхобиановт д(лт у) ! д (й н) д (й ч) д (х, у) б) Если иоои("„г), о=о(с„п) и Ь= —;(х, у), Х=в(х, у), то д(и, е) д(и, о) д(с, т) д (х, у) д (Е ъ)) д (х, у) — — — (стр. 166). 2.
Сходимость двойных последовательностей Крилгерий гходимости Коми для двойных последоватпелвногптей !стр. 12! — 12о). Последовательность и„сходится в том и только в том случае, если для любого с ) 0 можно нанти такое число т)т, что коль скоро и) Ф, лт ) Ф, и') У, и!' ) М. Тогда существует такое число а, что 1!щ асслс = и. л со Если при этою сущсствтет 1)пс а„пли 1пп алло то сн оо л со 11гп ( 1ии ал ) = 11~ !' 1'пп и- со и сот и со ) ы оо'си- со 3. Равномерная сходимость и изменение порядка предельных операций Теорелта Дини. Егли ряд, члены которо~о — положилсельные нспргрывные фунниии, сходится в нщппоров замкнутой области к непрерывной жс предельной Ф)пкпии, то эта слолимость рллноперна (стр.
126). Изменение порндла дифференс!иролания и инюегрсгроаания. (Дисрфсренпироваиие интеграла ио параметру.) — ~ ~У(х у) ду = ~ У (. у) ду а'х,) если г" (х, у) и у'„(.т, у) непрерывны на отрезке (а, Ь) (стр. 241). Изменение нарядна дифференипроаанин и инспегриролания л несобственных инспегралахт — У(х, у) с(у = ~ „Г (х, у) ду, дх о если у (л; у) непрерывна в рассматриваемом бесконечном промсгкуткс, а интегРалы ~ У(г, У) с!У и )тл (х, У) сгУ вЂ” РавномеРно сходящиеся (стР. 334). Ь 594 6ВОдкА ВАжнейших теОРем н ФОРмул Из,ченение порядка двух интегрирований. Если у(х, у) непрерывна н а, Ь, «, 9 — постоянные, то б з б $ «х ~ У (х, у) йу = $ «у $ У (х, у) йх (стр.
263). а « Порядок интегрирования можно переставить и в том случае, когда пределы не являются настоянными, при условии, что оба раза интегрирование производитсн по всей рассматриваемой области и в соответствии с зтим перо- ходят к новым пределам интегрирования (стр. 266). Изменение порядка доул. иктегрироаакай л несобственно.к интеграле (стр. 332). ~ йх )г у (х, у) йу = ~ ду ~ у(х, у) дх, «о о « если интегра.т ~ у(х, у) ду сходится равномерно в интервале «:-.с~3 4. Некоторые определенные интегралы е дх = (стр.
284, 583; см. также т. 1, стр. 592). „й 2 Интеграл Дирихле: 1 них й — йх= — (стр. 338, 577; см. также т. 1, стр, 292, 293, 486, 527). х Ингнегрилы френеля: -1- йа -1- са й в1п(тв) йт= ~ соз( е) дт«а т/ — (стр. 339; см. также т. 1, стр. 294). Интеграл фурье гетр. 34! — 34о). Если 1) у(х) есть кусочно гладкал + «О функция в любом конечном интервале, 2) ~ ~ у (х) ~ йх сходится и 3) У(х+О) +У(х — О) =2У(х), то где «« й(т)== ~ у(х)е нхйх (стр. 342).
1 'г 2 Гамма-функция (стр. 346 — 361). Нети х~о, зо гамма-функция Г (х) определяется равенством Г [Х) =~ Е тгй ' йг =.2 ~ Е Г гзй 'д(. СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 695 Она удовлетворяет ф)нкпиональному уравнению Г (х + 1) = хГ (х). Следовательно, при любом натуральном и Г(п) = (и — 1)! При всяком хфО, — 1, — 2, ...
(л — 1)! Г(х)= Пгп .— „л $ л ее л.(т+1)...(х+л — !) х Д х ч ч —.' — ='"лЦ(+-') л ~ Ет 1 где <= <пп у — — !и и есть постоянная Эйлера (т. 1, стр. 444, 548). -„,Л„д л=! При всяком целом ел ) 2 ( ])ле (л'+ л)ж (Ов — 1)! Ых~ — = — — — — 1п Г (х). л-о Формула дополнения: т.
Г <х) Г (1 — х) = —,' —. ал1 ях Производная от логарифча гамма-ф)нкции: Г'(х) е< ! Ъ~ < — = — <п Г <л) = — — — 7 — ~~~~ — — — ! (стр. 356). Г (х) г<х х л~а(х+ )е )е) а-~ Прн любоч комплексном г (за исключением точек г=О, — 1, — 2, „.) ганча-фу'наина определнстся равенством <1 — е"'") Г (г) = ~ те ' г е т<Г, где путь пнтс~ рировання С по комплексной переменной т окружает действительную положительную полуось и приближается к ней асимптоти ~ески сверху и снизу (см. рис. 117, стр.
588). Бгяеа-фунлдин В (х, у) (стр. 358 — 361) определяется при х~ О и у ) О Равенством ! .1- е<а <1 т» !<! АУ вЂ” ! В(Х у)-- т тл-е(! <)У еЕ<т '1 Г + < е<е — 'птах 'Егозю'-етеуу. о 596 СВОПКА ВАЖНЕИПИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ Связь между функциями беж а гамма: Г (х) Г (у) Г (х+у) * Функциональное уравнение бета-функции: В (х+ 1, у) =- В (л; у).
х+у 6. Теоремы о среднем значении. Формула н ряд Тэйлора Теоуема о среднем значении д>я функции двуг переменныл (стр. 92)> У (х + И, у + И) — Г (х, у) = ИУп(а+ ОИ, у + ОИ) + ИУ (х + ОИ, у + ОИ), 0<0 "1. фар>гула Тэйлора е осгпаточнмк членом для г (л, у) (стр. 98): у (х + И у + Ь) — У (х, у) = И|п + И) + —, (ИтУпх + 2»И! > + И У») + где остаточный член )гп (в симвоттзской записи стр. 97) имеет следующий вид: >г„= (» — ~-И вЂ” 1 у(т+ОИ, у) ОИ), О -О 1 ! д д11пФО (и+1)1~ дл ду,) Еслн )тп О прн и оз, то фмкцпя рашагзется в бесконечный уяд Тэйлора: У (х+ И, у+ Ь) = 1 =У (х, У) + —, (ИУе+ ИЯ +,—, (ИУхп+ 2»ИУп» + ИУ») +...
1 ИпУ .( ( ) Ип — ~ЬУ ( ( ИпУ Теорелгы о ереднелг значении для двойного инвзегуала (стр. 2об — 2об): ЦУ(х,у. дб = РЗ, 'а где 8 есть площадь области О, а а есть некоторое число, промежуточное между наиботьшим н наименьшим значениями фчнкцип у(х, у) в области О. Аналогично, если непрерывнзя рункция р (х, у> не изменяет своего знака в области О, то )) ф(х, у) р (х, у) ау= и)) р (л. у) дб. О 'О Оиодкд ВАжнейших теОРем и ФОРмул 597 В. Векторы Определение вектора см. на стр. 17. Пусть пространственный вектор задан своими координатами: =(а а.
и.). Модуль (длина) вектора: а= ! а ] =-рва(+ а, "+ и„-"° При поворовпе координатных осей координаты вектора преобраауютсн по тем же формулам, что и координаты точки. Сунма векторов а=- !ао пе, а„) и Ь = (Ьь Ьм Ьв), Вектор с = а+ Ь = (а, + Ьп а„+»е, а, + Ь,). Произведение вектора на число (стр. 2!): Ла = аЛ = (Лоь Лаь Лав). Скалярное произведение (стр. 2!): а»=]а! 1»!.сова =а Ь, +а Ь,+а Ьи где Ь есть угол между векторами а и Ь. Векторное произведение (стр.
28): с =]а»] есть вектор с = (си с„св) с координатачи св — ] Ь Ь ~ св — ]» Смешанное произведение трех векторов (стр. 31, 51): и, пе ав ! а»с= а ]Ьс] =]аЬ] с= Ь, Ьа Ь„~, е, се с, , а»с = Ьса =- саЬ, Ьас = — а»с. Двойное вектпрное произведение (стр, 5!): ВаЬ] с]=Ь(аг! — а(Ьс), ]а(ЬсЦ =Ь(ас) — с(пЬ), Лифференцирование вектор-функции скалярного аргумента и= и (Г) (стр. 103). Определение производной: и (г + й!) — и (с) ди й= — = 1!т дв ав з д (ио) ди да дв дв ав = — а+и —; д ди да — (и о) =- — 1- —; аг — ис — дг д ср ди дг дг ' дв ' — (ти) = — 'и+е —; д) (и~] =~ дг о]+ (и дс 1 ° дт' !.
У (е+ зс') — У (г) 3 = !Ип т (х+ 5 созе У+ 3 сгм(т, е+ в сов !) гт (л Р е,| в в а Производная от скалярной функции точвси г (Р) =т'(г) =г (х, у, г) по направлению вектора с, Определение: сводка влжнвйших твопнм и ооедгл 588 где с' — единичный вектор направденна дифференоровзния (вгкторз с), а», Э, ) — углы, образуемые вектором с с осанн каьудинат.
Очтсюда д д д д )) = — =сщ» — + сов з — + сот)— дс дх ' ду дг' д1 )У,1= д1 У) 1= — —, ду ' ).~е/ Д > д1 с) д1 дх <) „1= — —. ду где ео е„е,— орты осей коордннзт. Ла плоекоста ху д д д 0 = — =со⻠— + фп» вЂ”, де дх ду' где а — )гол от оси х до вектора с. Дифференг<гта тьные онеепции а еьалярнот и аеезюрнолг ноле.
Скалярной функции точки 1(Р)=1(е)=1(х, у, г) относят вектор, называемый ее градиента.м стаду= —, —, — '1(стр. 109). (ду ду д1т (дх' ду' дг) Производная от функции 1 <Р) по направлению не»тара с равна проскпии градиевта этой ф)нкции на направление с: 0„1=- — =- с' ага б 1. д1 дс и векторную функцию точки, рп»лпр поля: <диь ди» ди, ди„ди, ди,1 гот и = ~ — -' — — —, —,'- — — ", —.' — — 'у <стр. 112). ! ду д.
д. дх дх ду) <д д д1 Пользуясь символическим вектором нобла 7 =1 —, —., — т, имеем 1»»' ду' дг)' йгаб1=71, йт а» ри, го1 и=(ти) (с»р. 1!3), Дифференциальные операции лтпрогп порядка; да1 У1 д'1 го1 агаб1=0, бгв агаб1=7»1= — + — + —, дх' ' ау» дг' ' йч гот и = О, гот го1 и = нгас$ йч и — 7'и. 7. Преобразование кратных интегралов Исаи ориентировзннан область Сг плоскости ху атэбражзется на соответствующим образом ориентированную область Сг' па»скости ио с полющью д <х, у) взаимно однозначного преобразования, якобиан ко»ориа ег =- †' — ни~де д(и,.о) Векторному полю и (Р) = и (г) = и (х, у, г) отмгят скалярную ф) нкцию тачки, называемую оиеергет<иеи поля: ди, даь ди» б!ч и = --'1 + — '. + - — ' <стр, 1!!1, дх ду ' дг 599 ОВОЛВА ВАжнейших теорем и ФОРмул з! не обращается в нуль, то ))/ (х у) их ду=ДУ(х у)/У г/иди (стр 275, 40!) О Аналогичнаа формула для любого числа измерений дана на стр, 27!!.
В частности, преобразование к полярным коордикишам иа плоскости х=гсоаз, у=-г а(п 0 приводит к формуле ~~У(х, у) дх ду = Ц Р(г поз 0, г яп 0) г дг 30 ( т ч/б) Гн Преобразование к гферичегким координаюаи (полярным коордннэтач в пространстве): х=гяп 0сгнт, у=гни 0 япт, л=-гсщй, фу(х, у, л) их дуда= = )))ф(г яп 0 сов Р, г з!и 0 яп Ю г соа 0) г" яп 0 дг г/0 дт (щр. 277).
8. Интегральные теоремы Гаусса — Остроградского, Грина и Стокса Определение криволинейного интеграла см. стр. 368 и след. А. На плоскости Если область С односвяэна, то криволинейный интеграл ') (Р, йх+ Р'„г/у) = ~ Рдг Ав Ав не зависит от пути, соединяющего в области 6 мобые дяе точки А и В этой облзсти, в том и только в том случае, если крин|арий ипяегрируемисши дР, др', ду дх выполняется но всех точках области С.
Г!ри этом условии, если фиксиронать начальи) ю точку пути, то криволинейный интеграл является функцией !/!Е 0) конечной точки и вектор Р= (Ро Рт) есть градиент этой фуннции; Р'= 8/ай !/ (стр. 37? — 378). Теоргми Раугса (тпеорема Оглтрогрпдгкого па плоскости). Пусть 0 есть односвязная область, а С вЂ” ее контур. Тогда ~ ~ (У„(х, У)+ау (х У!) с/хе/У= ~ (/(х У) дУ вЂ” 8(х У) дх) (стР. 384) 0 иэи, в векторной ззписи, яеа= тя т — ~г„и, у р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
