1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 123
Текст из файла (страница 123)
на ь=е", и фьнкция возвращается к своему исхолномь' значению только после и оборотов. У функции )пг мы обнарульиаи (стр, беб) аналогичную многозяачностьс при непрерывном движении точки г вокруг начала в положьпельнои направлении значение функции )их ) зеличивается посте одного оборота на 2яь. Многозначна и фьнкпия г': после кажяого оборота вокруг начала она ужножаетгя на ег"ь".' Все эти функции, хотя и получили первоначально однозначное определение в некоторой области О, оказываьогся многозначными, когда их непрерывно продолжают (как аналитические функции), и возвращаются в исходную точку по какому-либо замкнутому пути, окружающему начало координат. Эго явление многозначности и связанную с ним общую теорию аналитического продолжения мы не можем исследовать подробно и рамках агой книги. Мы лишь отметим, что теоретически однозначность функции можно обеспечнть-проведением в плоскости г некоторых линий, которые путь, описываемый точкой г, ие имеет нрава пересекагь или, как принято говорить, с т! з а, панложеник к вычислшппо оплкдгпштных интиглллов о87 помощью рзнрезов вдоль надлежащих линий.
Эги рззрезы производятся таким образом, что замкнутые пути, вызывающие многозначность, становятся невозыожными в плоагостн г. Например, функция (па становится однозначной, если разрезать плоскость г влоль отрицательной действительной по.»уосн. Т»»коГ» жс р,»»рсз лелает однозначной функцию )~ г. Функ»гия 1' 1 — г» станет однозначной, гели сделать рззрсз вдоль отрезка действительной ося между точками — 1 и +1. Коль скоро в плоскости г произведен надлежащий разрез, делающий функцию У(г) олнозначной, к У(г) уже можно применять теорему Кошп. В качестве простого примера, »»оказывающего, как применять теорем» Коши в случае, когла возникает многозначная функция, мы локлжем формулу ! у=- (х — а) Р' 1 — л" )'а' — 1 — ! где а — постояяная, не лежащая на отрезке действительной оси от — 1 до+1.
Сначала замечаем, »по нодынте»ральная функция будет олнозначной в плоскости г, если сделать в ней разрез вдоль отрезка действительной оси от — 1 до +1. Когда точка г приблизится к этому разрезу сначала сверхч, а затеи снизу, то кз»дратный корень ) 1 — гч» причет значения, отличаю- т щисся только знаком, скажем, со знаком плюс саерхт и со знаком минус снизу. Возьмем теперь комплексный интеграл »»'г а ° , (г — а) )У 1 — :." х вдоль замкнутой кривой С, кзк показано й на рнс. 116. По теореме Коши эту крнвтю С можно деформировать, стягивая ее к разрезу, не изменяя при этом значения интегралз.
Поэтому это значение интеграла совпадает с его прслгльным знз»ением, которое, очевидно, рвано 26 С лрутой сторо- Рнс. 116. ны, если взять интеграл от той же нодынтегрзльной ф)нкцни вдоль окружности К ради) са»2 с центром в начале, то полученный интеграл стремится к нулю прн )г оз, что нетрудно доказать. Кстати, его знзчение равно нтлю, так как, но теореме Коши, оно не зависит от радиуса Д, коль скоро окружность К содержит внутри себя оол1ос а. Однако, по теореме вычетов, сумма интегралов вдоль кривых С и К, описываемых н одинаковом направлении относительно лежащей между ними области, притоы так, что область остается всегда по левую руку, равна вычету подынтегральной функции относительно полюса а, заключенного между обоими контурами, С и К, а этот вычет равен 1 2к 2к( 1ш (г — а) » а (г — а) )' 1 — г» )га~ — 1 Следовательно, 2»* равно этому же числу, что и доказывает наш» формулу.
7. Пример аналитического продолжения. Гамма-функция. В ззключение покажем на примере, как аналитическая функция, определенная первоначально лишь в некоторой части плоскости д, может 588 гл. Кнь Функции комплекснОЙ пе»еменнОЙ 1т быть продолжена за пределы первоначальной области ее озрзделения. Мы продолжим аналитически гамма-функцию, которая быта ранее определена для значений Кед=х)0 интегралом Ггг)=~ 1 'е 'г11, ч на все остальные значения г, для которых Кег=х(0 1ср,стр, 567, упр. 1).
Можно это выполнить, нзпример, с помощью фунациональ- 1 ного уравнения Г 1г) = — Г1г+ 1), используя это уравнение тля определения Г 1д — 1) по известной Г 1г). С помощью этого уравнения можно аналитически продолжить Ггд) сначала на полосу — 1(х~ О, затем на следуюгцую параллельную полосу — 2(х( — 1, и т. д.
Для того чтобы аналитически продолжить гамма-функцию, можно, однако, воспользоваться другим методом, представляющим заачнтельно больший теорегнческня интерес, Рассмотрим путь интегрирования С д в плоскости комплексноа переменной Е, изображенный парис. 117. Рпс.
117. Этот путь охватывает положительную действительную попось плоскости 1 и приближается к этой полуоси асимптотическа сверху и снизу. С помощью теоремы Коши нетрудно убедиться, что юот интеграл ') ~ 1' 'е 'гУЕ с вдоль «петли» С не изменяет своего значения, когда петле С аефорлтируется, стягиваясь к положительной полуоси х. Но при этол подьцпегральиая функция 1'='е ' стремится к различным зиаченьдн, когда точки петли приближзются к одной и той же точке оси х сзгрху или снизу: эти значения отличаются множителеи еыы.
Таким образам получается формула 11 — ет«т ) Гг )= ~ т.-т е-',Уу, справедливая, когда Ке д=х) О. Еще раз подчеркнваея, что эта формула выведена при допущении, что действительная часгь аргумента д положительна. Однако саи интеграл вдоль пегла С имеет смысл при всех значениях комплексного числа д, так как путь ин- ') Это тоже несобственный интеграл, который получается нз интеграла вдоль конечной части петли С пттсм парохода к пределу.
Его стодимость можно доказать том жс методом, которым мы ужс нс раз пользомлись для атой полн. б89 са!еа!Анные упРАжнения к глАве чнт тегрирования обходит начало (=О. Поэтому шпеграл вдоль петли С представляет собой функцию, определенную па всей плоскости г. Так вот, мы определяем функцию 1'(«) последним ранснсгпом ("). Это равенство и дает аналитическое продолжение гамма-функции на всю плоскость «, за исключением тех точек отрицательной полуоси х, в которых множитель (1 — е'г") обрагцается в нуль, т, е.
за исключением точек «=О, «= — 1, г= — 2 и т. д. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ УН1 1. Составить условие, нри катарам три точки г„ге, г, лежат на алпой прямой. 2*. Составить условие, нри выполнении которого четыре точки г„ го г„г, лежат на одной окружности. 3«Четыре точки А(г,), В(ге), С(г,) и В(г,) лежат в этоы порядке на одной окружности плоскости г. Пользуясь комплексными координатами этих точек, лак аззть, что АВ. Сс) + ВС е)бт = АС В(з. 4.
Доказать, что уравнение созе=с имеет решения при всех значениях с. 5. Для каких значений с уравнение гег = с не имеет решенийу 6. Выяснить, при каких значениях г функпии а) сов г, б) мп г имеют действительные значения. 7. Найти радиус сходимости степенного ряда Е а г", если 1 а) лв = — тле з — комплексное числа с положительной лействитсльной ««1 частью; б) и„= ге«; в) и„=)п л. 8. Доказать формулу е" = 11ш 11+ — ~ для комплексных эначе«е«т гт! ний г. 9. С помощью комгшсксного интегрирования вычислить интегралы о т«-1 (х+ 1) (х+ 2) где « — действительное число (1 С «.С 2), 10. Найти полюсы н вычеты относительно этих полюсов функций а) — 1 б) —; в) Г (г); г) с1иг=— 1 1 соэ г пп г " созе ' з)п г' 11«.
Натпн ПрЕдЕЛ ИитЕГраЛа с„ при л ссэ, тле путь интьчрирования есть периметр квадрата С«, стороны 690 гл. вп!. Функнни кпз!пчекснпй нкнезггнной 1 которого параллельны осям и протоляг на расстоянии л чс — от начала ноординат. Затеи получи~ь отсюда с помощью теоремы вычетов разложение стКяг на элементарные лробн. 12"'. Пользуясь формулой 1п (1 + е) = ~ э показать, что степенной рял лля !п (1+ л) скопится на едиглщной окружности )л!=1, за исключением точки з= — 1. Приравнивая мним)ю чагзь этого ряда мнимой части фуннлии )п (1+ егз), )'стаиовить справсдливость следующего разложения в рял Фурье (ср.
т. 1, стр. 5!4). ! . 1 ., 1 2 2 ' 3 — 0 = мп Π— —, мп 20 — ' -,— зш ЗΠ— + ..., — в ( О ( я. 13". а) Доказать, что ряд у (з) = у (х + !у) = у„ ът ( — 1)» ' »-! скопится прн х - О. б) Доказать, и о этот рял лает возможность аналитического продолжения дзета-функпнн (опрелелснноп в упр. 2, стр. 566, при х ) 1) на танис значения з, для которык 0(х «-. 1, с помощью формулы У(з) =. (! — 2' ) О (з), справедливой при х ) !.
в) Доказать, ло дзета-функлия имеет полюс,"= 1 с выче~отп равным 1. 14, а) Применить теорему Коши к интеграл) 1 тт !з+ — ! г" ' т(з (тг) тя" 0), з,! .~т гз созм 0 соз ла т(0 -— в (и — и'~ в , lл — ю! ып — — — Г (ш + 1) Г ~ 2 2 2" б) Доказать, что если л=т, то посзеаннн интеграл равен —, ны 3 ДЛ 15. Докатщь, но если у (з) есть анзлнпшесная функния, то — — у (рх) т ж равно результату, который полу пнся после подстановки з зыраткение гт ч 2 —,-- —, вместо у и а, кагкдого в отдельности, г х. ((р+ Л)лы взятому вдоль контура, сосго пцего из четверти единичной окртжности ! з ! = 1, лежащей в первом квадранте, четверти мздой окружности ! г ' =- т, лежащей в первом кеатранте (дзя обкола начала координат), н двух отрезков осел х н у между обеими окружностями.
Вывести отсюда формулу 591 смеГНАнные ЕНРАжнення к Главе чн! 16. а) Показать, что при действительных х и у ! аЬ (ж -(- гу) ( ~ А (л.), где А (я) не зависит от у в стремится к со при л — -ь со. 1 б) Интегрированием бг)нкцни вдоль ползолжцей посаедо(а — ж) ай а вательпости когнрров показать, что зй иг ы + а ы» -~-;.~ня 1 ! + 2 к ( 1)» я == ! 17ь. На плоскости дана система н чатериальвых точек; каждая из них притягивает к себе с силой, обратно пропорциональной расстоянпкь Доказать, что частипа, помептенная в этом пояс, может иметь не более чеп л — 1 положений равновесия. Вычислить эж! положения равновесия дяя системы четырех при!~и иваэзшнх точек (а, (т), ( — а, Ь), ( — о, — Ь), (и, — З), где а )о) О.
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 1. Дифференцироаание, 2. Сходимость двойных последовательностей. 3. Равномерная сходимость и изменение порядка предельных операций. 4. Некоторые определенные интегралы. 5. Теоремы о среднем значении. Формула и ряд Тэйлора. 6. Векторы. 7. Преобразование кратных натегралоа. 6. Интегральные теоремы Гатсса — Остроградского, Грина н Стокса. 9. Максээмуьэы н минимумы. 1О. Кривые и поаерхности, 11.
Длина дуги, площадгь объея. !2. Вариационное исчигзение. 13. Аналээтэгээеские функции. 1. Дифференцирование Дифферендироаакие глозкной функции — пролило э!отчки для фуккг!аа лгноги.к яереэяеяных. Если ээ =у (Е Ч, С, ), где 1=-1(к, у), г =-г, (г, ун ..., ыэ а„=Л1,+г„чх+Л«1, „т=-Л(т+Лт, .г..г,+„.; + 2Лч1 'эх+ 2Лт1«-.-+ " +Л1, +У~ с«+Лй «+ " и соотаетстаухэщэте формулы для а«э, и игу (стр. 89). Неявные функяии. Если Р(х, у) =-О, то ду Рх д.к Г„' д'у Рх«РР— 2Р«ту«Рт+ РхтР» дхь — — «тр. 136).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
