1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Эта формула и выражает тот факт, что логарифм является многозначной функцией, и для обозначения множества всех его значений мы будем пользоваться символом Ьпг (с прописной буквой Ь). Очевидно, функция г(г)=1лг, как и 1пг, удовлетворяет диффе- 1 ренциальному. уравнению /'(г) = †.
Пользуясь этим результатом легко вывеств формулу для логарифма произведения 1.п(аг)=1п я+ 1.п а. 1 ! Для этого заметим, что по правилу цепочки — (1л(аг)1= — а= —. а'е ае г Следовательно, функция 1л(аг) является решением двфференциональ- 1 ного уравнения ~'(г)= —, и поэтому (ср. стр. б64) 1.п (аг)=1п г+ С.
Постоянную 'С определяем, подставляя сюда значение г=1, так что 1пг=1п 1 =0, откуда цолучается 1 па=С, в окончательно: 1.п(аг)= =1пг+1ла, что и требовалось доказать, (Ясно, что можно также писать 1.п(аг)= 1.п г+ 1п а. Обе эти записи говорят, что все множество значений логарифма произведения можно получить, складывая главное значение логарифма одного из сомножителей с каждым значением логарифма другого сомножителя. Верно, очевидно, и равенство 1л (аг) = 1.п г + Ьп а, понимаемое в том смысле, что, складывая любое значение Ьп г с любым значением Ьп а, получим асе множество значений Ьп(аг). Однако нельзя утверждать, что 1п (аг) =1п г + 1п а; сумма в правой части равна, конечно, одному из значений Ьп(аг), но не обязательно главному.
Последняя формула верна лишь в том случае, если сумма агсг+агса удовлетворяет условию — яс а!се+ агса(ю В частности, если а есть положительное действительное число, то она верна при всяком комплексном г, отличном от нуля.) Эта многозначность логарифма приводйт к 'важному свойству показательной функции, выражаемому равенством еч'"'=1 (в частности, е' '=1). Дело в том, что одно и то же значение г соответствует всем различным значениям.с=Ьпг, которые разнятся друг от друга лишь слагаемым, равным целому кратному числа 2чй Поэтому функция, обратная логарифму, т, е.
показательная функция д(~)=К не. изменяется, когда ее аргумент увеличивается или уменьшается на 2вй д(~+2я~)=р(ч) или ес+ач =е'. При ь=О получается еч"= 1. Итак, з) а а интигриаованни аналитических еннкций 667 показательная функция комплексного аргумента является периодической с периодом 2н(, Введем теперь тригонометрические функции комплексной переменной, сонг и а1пг, с помощью рзвенств вт«+е ы ес«е-" соаг= . 2, а1пг= — ~ —. которые теперь служат определением этих функций. Из этого определения сразу следует, что тригонометрические функции являются периодическими и имеют период 2н. Таким образом, мы вывели периодичность тригонометрических функций, не опираясь на их элементарные геометрические' определении Кстати, ив этих формул вытекает тождество ес« = соз г + 1 а(п г.
Располагая определениями логарифмической и показательной функции, легко теперь ввести общую показательную функцию а* и общую степенную функцию г", где а и а — любые комплексные постоянные (ср. соответствующее построение для действительной области, в т. 1, гл. 1!1, $6, п«б). Функцию а' мы определим равенством а'= ееы', в котором берется главное значение логарифма постоянной а. Аналогичное определение мы дадим функции г": ««иве Между тем как функция а' определена однозначно, если в ее определении берется главное значение !па, функция г* является многозначно» функцией. В силу многозначности функции (.пг, ясно, что наряду с каким-либо одним значением функции г" мы получим все другие ее значения, умножая это исходное значение на ея« '", где ив любое ттоложительное нли отрицзтельное целое число.
Если постоянное число а рационально, скажем, а= †, где р и д — взаимно Р простые целые числа, то среди значений множителя ев""'" окажется лишь конечное число различных — это все значения корня л-й степени нз единицы. Вслн же и†число иррациональное, то количество различных значений этого множителя бесконечно. Многознзчиость функции г" будет исследована подробнее в $ 6. Пользуясь правилом цепочки, легко вывести формулы для производных от функций а* и г": л' (е«) — =а'1п а 1 Упраж пения «« 1 Гамме Функция. Йоказать, что интеграл г(е)=~ ге «е гас (с глав иым значением функции Г' '), распространенный на все положительные лейСтвятеяьные значения перемейной интегрирования Г, является вналитичечкой гл. шп.
окнкции комплексной пеовменной функцией параметра г=х+ту, если х)0. (Показать прямо, что функцию Г (з) можно дифференцировать по л.) Доказать, что гамма-функция, определенная таким образбм для комплексного аргумента л, удовлетворяет функциональному уравнению Г (з + 1) =лГ (л).
2». Дзето-функция Римана. Составить бесконечный ряд беря главное значение функции и». Доказать, что зтот ряд сходится, если ко а =х ~ 1, н представляет собой дифференцйруемую функцию, (Эта функция ((л) называется дзета-фуяхчисй Римана). Доказательство можно выполнить прямым путем, наподобие доказательства для степенного ряда (ср. т. 1, стр. 443).) ф 4. Интегральная формула Коши и ее приложения 1. Формула Коши.
Теорема Коши для многосвязной области приводит к замечательной формуле, тоже принадлежашей Коши, Эта формула выражзет значение аналитической функции у (з) в любой точке га, лежагцей внутри замкнутой области О, в которой эта функция является аналитической, через значения, принимаемые функцией на границе области. Пусть функция г"(г) является аналитической в односвязной области О и на ее границе С. Тогда функция й(з) = является аналитической во всех точках области 0 и ее гранины С, за исключением точки я=ать Вырежем из области 0 круг малого радиуса р с центром в точке г =хм лежаший полностью внутри 0 (рнс.
113), а затем применим к функции л(з) теорему Коши в той ее формулировке для многосвязной области, которая дана в конце п' 2: а" (г) г(з = н(л) Ыг, а Риг. 113. причем оба интеграла будем брать, обходя границу С области 0 и окружность К выреззнного круга против часовой стрелки. На окружности К имеем з = га + ре , где угол 6 определяет положение переменной та точки на окружности. Поэтому на окружности пз=1речттб, откуда д(з) йя =1 ~ У(ха+ рея) йб, н 9 Ц а а интеГРАльнАя ФОРмулА коши и вв пРилОжения 569 Так как функция г'(») непрерывна в точке «„то при достаточно малом радиусе р г(» +р м)=у( Ь)+ъ где )21! Меньше любого наперед заданного положительного числа а. Стало быть, ай 2 2а яа $ у(«2-~рега)2(Е=~ у(«,) (В+$ 1(В=2ву(«,)+$ 12(В.
Но ! 2к 1 2я ~ 21~И~ -~ 2Ы9=2аа. 2 а Поэтому ) 2(«2+рем)Ы0=2вУ(»2)+а, где ~а) =2ив, о Таким образом, если радиус р достаточно мал, то ц(») Й» = 2к(г (»2)+ а1, где ) а1 ! = 2аа. Заставим теперь а стремиться к нулю, безгранично уменыпая р; тогда правая часть последнего равенства стремится к пределу 2а(У(«„), между тем как левая часть, а именно ~й(«)ы», Остается неизменной: д(«) Й» = ф ~ Ы» = 2а(г" («2). с Следовательно, Так как «2 есть жобая внутренняя точка области О, то мы индекс О опустим и будем писать» вместо «ь а переменную интегрирования обозначим вместо» через с; тогда формула Коши примет следующий вид: Это и есть интегральная формула Коши, имеющая фундаментальное значение.
Эта формула выражает значения функции внутри замкнутой области, в которой эта функция является аналитической, через значения, принимаемые ею на границе области. 070 гл. шп. экнкцни комплексной пииамзнной [г Если, в частности, граничная кривая С есть окружность с=в+ген с центром в точке г, то ич=ггеСВ да, и мы получим ж Г(г) = с- $ Г" (г+ гесс) да.
'1 в Стало быть, если функция является аналитической в некотором круге и на его границе, то вначение функцЬи в центре круга равно среднему значению функций на его окружности. и. Разложение нннлитнческой функции в степенной ряд. Интегральная формула Коши имеет много важных теоретических приложений. Главным из этих приложений является доказательство теоремы, что всякая ансиштическая функция мигнет быть разложена в степенной ряд; эта теорема устанавливает связь между излагаемой нами теперь теорией и материалом.
данным в 5 1. Точная формулировка теоремы такова: Если фУнкЦиЯ Х(2) ЯвлЯетсЯ аналитической на кРУге ~ 2 — гв ! ч=. = Й (включая его границу), тц она 'может быть разложена в степенной ряд по степеням 2 — я„схадящийся внУтри эцсого круга. При доказательстве мо'кно, не теряя общности, положить 2,=0, таК КаК ОбЩИй СЛУЧай ПРИВОДИТСЯ ПОДСтаИОВКОй 2 — ге=а К СЛУ- чаю Ее=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
