1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 121
Текст из файла (страница 121)
е. против часовой стрелки[, называется зычеглом функции в точке зь т. е. в полюсе (говорят также: относительно полюса з«), [Здесь автор отступает от установившейся традиции: обычно вычетом функции р(з) относительно точки з«называют не само значение интеграла з(з) Ыз, а его значение, деленное на 2яЦ Пусть точка л«есть полюс л-го порядка функции 1(з).
Тогда разложение функции У'(е) по степеням з — г«будет иметь вид (А). Интеграл от функции у(з) вдоль замкнутой кривой С будет состоять из трех слагаемых: 1) интеграла от ряда вида ~', с«(з — е«)«, «=о 2) интеграла от члена с ~ (з — е,) ' и ' 3) интеграла от членов с „(г — за) "+... + с л(з — з«) ' с отрицательными показателями при (л — л«). Первое слагаемое равно нулю, так как подлежжций интегрированию степенной ряд представляет функцию аналитическую также и в точке г„Интеграл от члена с,(з — з«) ' равен, как известно, 2я(с,.
Третье же слагаемое есть сумма интегрвлов от чле- нов вида с «(з — г«)" при й„>1 и равно нулю по следующей при(з — е,) «н чине. Первообразная от (г — з«) есть 1 ', как и в действи- тельной области, так что при (г) 1 интеграл вдоль замкнутой кривой равен нулю. Итак, вычет функции е ее полюсе равен 2я1с ~, о76 гл. чщ.
огнкции компликсной пиримвнной 16 В следующем параграфе мы познакомимся с предложениямалоиятин вычета и убедимся в его плодотворности. Эти приложениаосновываются иа следукццей теореме: Теорема вычетов. Если функция у(г) является анаттической е области 0 и на ее границе С, ва исключением конечного числа полюсов, лежащих внутри области, то интеграл от этой функции вдоль граничной кривой С е положительном ее лалравлении равен сумме вычетов функции у(г) ео всех ее полисах, лежащих внутри области О. Упражнения 1'. Показать, что функция у(з) — — $. гур 2я1 $1 а СЯ где интеграл берется вдоль простого контура, окружающего точка 1=0 и «=с, есть многочлен й(з) степени и — 1, для которого йтл(0) =РЯ'(0) при т=О, 1, ..., и — 1.
2. пусть у(з) — аналитическая функция лри 1з1щр. Доказать что если М есть наибольшее значение модуля функции у(з) на окрувяости 1з) = р, то коэффициенты стеленного ряда для этой функции, у (з) ~ е«7 «-о М удовлетворяют неравенству 1е« , '~ « . р 3«. Доказать, что если область ограничена одной-едзнствсниой з1якяутой кривой С и если функция г(з) — аналитическая внутри С и на самой кривой С и не обращается в нуль на С, то выражение 1 ау (г) — — оз 2си ~ Р(а) равно числу нулей функции у(л) внутри С.
4. а) Два многочлена Р(з) н Я(з) таковь|, что во всякой точке лскоторой замкнутой кривой С ~ Ю (з) ~ с ( Р (з) 1. Доказать, что уравнения Р(з)=0 и Р(з)+Ц(з)=0 имеют одижовое число корней внутри кривой С. (Рассмотреть семейство функций р(а)+ + зс) (з), где параметр 9 изменяется от 0 до 1.) б) Доказать, что все корни уравнения з'+аз+1=0 1 лежит внутри окружности 1з) г, если 1а ) ( г' — —. 5.
Пусть уравнение у(е) =0 имеет простой корень а внутри закааутой кривой С. Доказать, что этот корень дается формулой 1 ь у(з) е = — —. 2 — Ез. 2«1 ~ у'(з) ц а ь. пяиложвнив к вычислению опявдвлвнных интвгвллов 577 9 Б. Приложение к вычислению действительных определенных интегралов Интегрзльная теорема Коши и теорема вычетов дают часто возможность применить комплексное интегрировзние по контуру (т. е. вдоль зал»кнутой кривой) к вычислению действительных определенных интегралов, Такой интеграл рассматривается при этом как интеграл от функции комплексного аргумента, взятый вдоль действительной осп.
'1'аким путем порою получают порази»ельно изюцпое вычисление сложных нз вид определенных интегралов, не нуждаясь в соответствующей перзообразной функции, которую в таких случаях обычно и найти-то не удается. Мы рзссмотрим здесь несколько типичных примеров. 1. Вывод формулы 1 — дх= — . Мы дадим здесь поучнтель- З1ПХ П д 2' ное доказательство этой важной формулы1 напомним, что этот интеграл мы уже исследовали в т. 1, стр. 292 и 483 — 486, и вычислили другими способами (т. 1, стр. 527; т. П, стр.
337 — 338). Будем интегриро- ,.ы вать функцию — в плоскости г ня комплексной переменной а вдоль зал»кнутого пути С, обходя по- Н следовательно (рис. 114) отрезок 11 оси х, полуокружпость Н, О радиуса г, отрезок 1, оси х и 1'ис. 11а по»!УокРУж»»ость Лл Радиуса Й в направлении, показанном на рисунке стрелками, Обе полуокру кности имеют своим центром начало координат. Соединяя вмес»е шпегралы вдоль отрезков 1, и !„имеел» по теореме Коши Заставим теперь Й стремиться к бесконечности, а г — к нулю.
Тогда интеграл по полуокружности Нл стремится к нулю. В самом деле, положим на этой полуокружности а=Йег =Й(соз9+гяп 9); тогда еле = елл' 'ае-л"" и г(г = 1Йе" Л. Интеграл вдоль Нл обратится в определенный интеграл 1 ~ елл*"'е — л""а в»9. Модуль множителя а егл"" равен единице, а модуль множителя е — лм"л меньше единицы во всяком интервале а -.9 =я — а (а)О); более того, прп таких значениях 9 ) е л»1" 11 стремится равномерно к нулю при Й вЂ” л оо, Отсюда сразу видно, что интеграл вдоль Нл стремится к пулю при Й-» со. Интеграл вдоль другой полуокружносю» Н, имеет своим 19 1'. кш" 578 гл.
шп. авиации компликсной пвгимвнной !в гределом — и! при г-ь О, что читатель сам легко докажет. Третни интеграл в последнем равенстве, при Я-ьсо и г-ьО, имеет своим Г мпх пределом 2! лт — — ох. Стало быть, получаем в пределе равенство ь аа оа . Г в!и х Г в!и х и — и!+ 2! ~ —, г(х=О, откуда ~ — — вх= —,'.
2' «а 1 г — — — а-" 2. Доказательство формулы ~ е- *соэахв(х=- 1, пв 2 Ъ Проинтегрируем комплексную фуш,ппю е —" по периметру прямо- угольпикз АВВ'А' (рис. 11о) Ь ) (--~ с верпшнамв А( — Ь, О), В(Ь, 0), В' Ь, — ), А'! — Ь, — ~, гвк что Ь 0 вертикальные сторон!в АА'= Рис. 115. а =ВВ'=;, а горизонтальные стороны АВ= А'В'= 2Ь. Р!о теореме Коши этот интеграл равен нулю. На вертикзльных сторонах имеем !Е «'1=!Е !х+"'"(=)Е '"" Лис в"'~=е — '-'ехв(е — ые' а последнее выражение стремится равномерно к нулю при Ь-ь счэ.
Поэтому ! е-"в(з — «О и ~ е-х" в(х-э.О. Остаются интегралы вв лл лл и ~ . Если выполнить переход к пределу Ь вЂ” оо, то ~ синг! — » в'л' лз -ь ~ е — х" 4х, а интеграл вдоль В'А', поскольку на этой стороне — ь ( 1, — (х+ —,!а ! -(х+;1а1 а=х+ — га и г(х=г!х, будет ~ е ~ ' ! Фх — ь ~ е ~ ' г йх. 2 Поэтому результат применения теоремы Коши можно ззписвть та!с аа е — х" г)х+ ~ е ! ' ) Их=О или аа ~ е ! ' Г а!х= ~ е-х'г!х. Это значит, что путь интегрирования (ось х) можно сиестить параллельно самому себе, не изменяя этим результата, Но ~ е "'~(х )л и а~ а 3. Пгнложиггие к вы ичслзнию онзглвленных интвгаллов 579 (см. гл.
!'1!, й б, и' 4 н т. !, стр. б92). С другой стороны, е ( а г г(х=е' е — аа(совах — (а!пах)г(х =— „~о а." = 2е ' ~ е- "" соз ах г(х О (в силу того, что соз ах — четная функция, а з(пах — нечетная функция). Равенство этих двух результагов и доказывает требуемую формулу. (Ср. стр. 340, упр. 4а.) 3, Приложение теоремы вычетов к интегрированию рациональных функций. Пусть дана несокрзтимая дробно-рациональная функция а„+ ам+... + а,аа~ а,+ь, +, +ь„з знаменатель которой не имеет действительных корней, а его степень превосходит степень числителя не менее чем на две единицы, т.
е. л.) гл+ 2. Тогда интеграл )= ~ ()(х)г(х можно вычислигь следу|ишим путем. Начнем с того, что возьмем интеграл ог функции С!(з) ио контуру, состоящему из полуокружности !'-! с параметрическим уравнсииеи г= — Яе'~, 0(0(я, и ее диаметра, лежапгего на деиствительной оси от х= — Й до х=)с. Радиус Й выберем столь болыиим, что ни один нз пожосов дроби Я(г) ие лежит ни на окружности, ни вне ее.
Тогда наш ингеграл по контуру равен ~ Я(х) ( + ) Я(з) ', ио, с другой стороны, он должен быть равен сумме вычетов функции Я(з) относительно всех ее полюсов, лежащих внутри контура. Легко получить оценку для модуля интеграла вдоль полуокружно. сти Н, Из свойств функции Я(г) следует, что Я(х)= —,, где при е (а) з-ьоо р(з)-ь0, если п,ьт+2, и ср(з)-ь,—, если п=аг+2. Отсюдз вытекает, что существует такое постоянное положительное число М, что 580 гд.
щп. езикции коладексиой неизменной !з Ллсена полуокружности ст' равнс ксс Лоэтону, в силу формулы оценки интеграла (% 3, в конце г.' !), сз (г) с(г ~ г кй п, следовательно, стремится к нусю при )с-+со, Стало быть, при Й-ь со интеграл по нашему коне)ру имеет своим пределом искомьсй интеграл != ~ (с(х)ет'х, и втопс ссгколсый интеграл до глен быть равен сумме вычетов функции ()(г) относительно всм ее полюсов, лежащих в верхней полуплоскостгк Этот результат мы применин а нескольким интересным частным случаям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
