1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Тогда на этой плоскости У=' р ар и г=, и лнггпг~ пересечения плоскости ' с поверх)'1+ - )У]+ -" постыл 5 будет иметь в коордшннах р и х исялпос )рлвиспис Отигты и укАВАния х=, у=- и уравнения соответствующего нормального р «р хг1+««' х'1+«« сечения в координатах р, г будут р «р г =-у — г=О, У«1 + «« )/1 + ««) а его кривизнз в точке Р, где р = 0 и г = О, будет А=У«г(0 0) «+2Уу(0 0) «+Ууу(0,0) т. 1 Конечная точка.0 вектора длины —, отложенного р"Г имеет координаты 1 1 г Ь 1 +«т Ь'Й вдоль касательной й г = 0 Исключив из этих уравнений и из выражения для Ь параметр « и кривизну й, обнару>хин, что точка () лежит на кривой "У,.
+2 уУ.у+у'-У,,= 1. 6. а) Лиффсренцнруя оба уравнения оо параметру с кривой, получим хх+уу+гЬ=О, ахс+Ьуу+сга=О. (1) Следовательно, за касательный вектор в точке (г, у, г) кривой можно при(с — Ь и — с Ь вЂ” ат нять вектор —, —, — 1. Обозначив через Е, ть . "текущие коорх ' у ' г лпнаты на касательной, получим ее уравнения в следуютцсм вилен х (Š— х) у(т — у) г(Š— г) с — Ь а — с Ь вЂ” а б) Дифференцируя по с уравнения (!) из а), получим с помощью пропорций (2): хХ+уй+ гг= — (х'+у'+а«) =А —, +, + ((с — Ь)« (а — с)' (Ь вЂ” а)' 1 — .« у' г' 1а (с — Ь)" Ь (а — с)' с (Ь вЂ” а)" 1 а кх + Ьуу + с ай = А ( — — + —. +— ( ха уа г где А — коэффициент пропорционаю нтстп.
Исключив ), найдем )и(с — Ь!' Ь(а — с)' с(Ь вЂ” а)«~ = (ах.й+ Ьу)) + сгй) (1, +, + Это уравнение, линейное относительно х, р и г, остается верным, если ззменить в нем Е, у, г величинами х, тч Л. Следовательно, этому уравнению Решая эту систел~) олноролных уравнений щносительно неизвестных х, у, Ь, иахолим уг (с — Ь) гх (а — с) ху (Ь вЂ” и) ' (2) ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 625 удовлетворяют и любые линейные комбинаш>и «х+ Ьх, «у+ рр, «Ь+ ру, если их подставить вместо х, у, Ь соответственно.
Вместе с тем, если точка ($, Ш 1) лежит н соприкасающейся плоскости, то разности 1 — х, >) — у, ,'— г равны как раз таким линейным комбинациям. Отсюда и вытекает, что уравнение соприкасающейся плоскости имеет следующий вид> лха Ьут сг' (а — х) + — (>) — у) + — (". — г) = О. с — Ь а — с Ь вЂ” а ' 9 5, стр. 199. 1.
Пусть Р(х, у, г) есть точка трубчатой поверхности Т;, а 8 есть та >паровая поверхность семейства, которая имеет с р эту общую точку Р. Тогда 3 и В имеют в Р общую насательную плоскость, т. е, имеют в чтой точке одинаковые'значения х, у, ц г и г„. Поэтому достаточно доказать, что искомое соотношение справедливо дю> любой шаровой поверхности радиуса 1, центр которой лежит з плоскости хОу, т. е. дня поверхности г= н(.>ч у) =) 1 — (х — а)' — (у — Ь)'.
2. а) У»х + Ьгу + р»г = 1; б) х !'+ у П + г !" = 1. з. Можно ввести Г а качестве параметра на кривой и считать ее заланной уравневинл>и х=х(Г), у =у О), г=г(Г); тогда ее касательная в точке со значением параметра Г лея»нт на двух плоскостях, соогвстству>ощнх тому же значению Г. Это дает соотношения: их+ Ь > + гд = О, Ах + В)т + Сй = О. дифференцируя по т уравнения прячых линий семейства, мы, в силу этого, получаем ах +. Ьу + сг =. О, »(х + Ру + Сг = О. Присоединив к этим двум третье уравнение ах + Ьу+ гг = Лх + Ву + Сг, имеем систему трех однородных уравнений для неизвестных х, у, г; отсюда и вытекает, что определитель должен обрзтитьси в нуль.
Б. Птя огибающей инеем два уравнения> /(х, у, г, !) ьвхсозг+уз>пг+г Г, уг (х, у, г, г) =.— — х ап г + у ссж г =! . Эти два уравнения определяют семейство нрнчых с параметроч Г. Если существует кривая, дзя которой эти прямые являются касательными, то она должна также удовлетворять уравнению У>гю — хсгм à — у нп Г= О. а) Ураннгиис о>пбающей >юверхности р зш(г+Ь э» — ! — З)+1=-О.
б) Уравнения иск>>чой кривой в цилиндрических координатах г=э — „.— р=!. 7, Примени ь иннгргпк>. Так кан сферы о„о„о> проходят через начало коорлинат, то онп ирсобра>тютсн а плоскости, >! Задача приводится к нахождению о>нбшопв й семейства шаровых поверхностей, касающихся трех плоскостей, т. е, некоторой конической поверхности, которую ыы подвергнсч обрл Оном> яр»образов,шшо инверсии. Ожа. !з" -! уз + г )'" — 2 (х'+ у' -(- г ) (х+ у+ г) — 3 (ха + уз+ г'— — 2 >у — 2»г — Зус1 = П.
8, о) т (! — и») +»," !1 — Ь>! — 2 >Ь ЬЗ+ Вас+ 2Ь» = 1; в) а»1»+Ь'»а = 1, 626 ОТВЕТЫ л! УКАЗАНИЯ Ч а'В а) х = и т. дс б) л = и т. д. аюл -(- Ь тл -(- сл' а ф и+ Ь+ с 1х. Вершины искомого параллелепипеда имеют координаты: а Ь х= ь у= -л-— Р3 Ьз РЗ -л- Ьа Р'и:+ Ьк -л- аа 13. Координаты вергппн: х= Р'а" +ба ' 14. х = 1, у = !. 15. Самая большая ось равна максимум дополнительном )славин, что точка (х, у, л) ! - ~-У' -,'-*' лежит на зллнпсонде, Лля иско- ф 6, стр.
219. 4+ )'г5 4 — У' 5 )2 ' У2 а а и ' 20' !О' !О' 3. Максимумы прн х=О, у=-л. 1; лгинимтм при х =у=О. 4. Этот максимум совпадает с максимумом функции ах'+ 2Ьху+ су', подчиненным дополнительному у словию ех" + 2уху + лул = !. 14 + 2 )г 67 5. Ср. упр. 4. а) —; б) функция имеет несобсшленный макси- 3 мум (гл. 51, 6 6, п' 1), равный 1,95, когда У =0,64. 7л !3» 6. Седловины: у= О, х=-,—, —. 3' 3' 3 5г !1я 17к Минимумы; у=О, .к=;.', —.—, —. 3' 3' 3 7.
Искомый эллипс, очевидно, касается окружности; г!оэтому после исключения у из обоих уравнений должно получиться уравнение, ииеюшее двойной корень х. Условие касания будет поэтому а'(Ьз — 1) =Ь'. О!ив, а= —, Ь= 1,~ — У-2 = 11 2 8, В качестве переменных ввести угол между сторонами а, Ь н угол между сторонами с, а. О!па. Четырехугольник, впнсываемый в окружность.
1 2 3 9. Точка ~ — =,— Ьг!4 У !4' Ьг!4) 1О. Ср, аналогичное ре!пенис лля трелголыека в и' 3, пример 4. Точка 0 с наименьшей суммой расстояний доюкна существовать. Сперва доказать, что если искомой точкой нс является одна из вершин, то его может быть лишь точка персссчения диагоналей.
Воспользоваться тем, что четыре единичных вснгора, сумма которых равна нулю, образуют ромб. Загса! доказать, что сумма расстояний от вершян четырехугольника меньше для точки пересечения диагоналей, ем для любой из вершин. 11. А = †, В = †, С = . †, Из условия †„ + -; + †„ = ! пол)чнть х' у' л' а" Ь' сл уравнение связи для А, В, С. 627 ОТВГТЫ И УКАЗАНИЙ мых коорлинат х, у, л и нсопрелеленпого множителя 1 получаются следую- щие три уравнения: ='-=).(Д. +У)у+Се), р Х'+ уз + Лл — = У = Л (Т)х+ Ву+ 6»), У угла+у'+ а- 1 = — =), (1,"х+ 0у+ Сл). ~Гх»+у»+ лл Помножив первое уравнение на х, второе на у, третье па = и сложив полученные уравнения, получим А=]г ха+у» — , 'з' =1, с другой сптроны, эти три уравнения можно рассматривать как систему линейных одпоролпых уравнений с неизвестными х, у, г; следовательно, определитель сптчсмы должен равняться нулю.' тле Вгп а =О т,пг а 9 2, стр.
229. 1. Воспользоваться тем фактом, что касательные в к обеим ветвям ланы ур»внепиями у=й и их+йу=О. л= 2 (атд — иха( + айте — Ь "с) а (аа+ Ьх)'1» 2. а) Двойная точка. б) Две ветви, касающиеся друг точка. г) Тгжка заострения, д) Точка заострения. Я. Уравнение 1'=О лпффсрсипировать лва раза по х лл+ ут начале координат ое Крнвизна д=:. и ' друга. В) Ум»паля и воспользоваться Смешанные упражнения к гл. И1, стр. 235.
Л- "ут 1. Точке О н(щпсм за пл щло координат, и пусть —. О-, =-1 сс ь а ил уравнение за ганной кривой вторы о порядка. Тогда т равнспщ огибающей будет (х-"+ у )'- — 1(ийтт й плут). интересно зачстпть что гг и з»гт»на равнобочи»я ~ ппсрбо ы, ~о о~ пбщощсй будет лемнискатл (ха+ у»)" = 4ах (хт — ух). Дополнения к главе П! ф 1, стр. 226. Указание.
у(х) +у (у) +у (г) =37 (а) + ](х — а) +(у — а)+ (г — а)] Х 1 Х у'(а)+ 2 ра[у" (а)+т], где рт=(г — а)а+(у — а)л+(л — а) С лр)»ой стороны, дополнительное условие лащ е" (и] (х — а) + (у — а) + (л — а) = р ( — — ' + е ]— ",.'1а) — — ](х — а) (у — и) + (л — и) (. — и) + (у — а) (а — а)] = т' (и) Т (и) 2" (а) е' (а) 21' (и) 21 (и) + 628 Отввты и Указании 3. Пусть точка Р описывает подэру Г' кривой Г; построить на отрезке ОР, как дизметре, окружность в плоскости, перпендикулярной к плоскости кривой Г. Огибающей булет поверхность, описываемая этой переменной окружностью. 5.
Эллипс. 6:. Плоскость, касающаяся обеих парабол, имеет уравнение вида — с х+су+ са=1 нли — е х+ау — ел=!. Соответствующие огибающие будут (у+л]'=4х н (у — г)'=4х. 7. Доказательство ана.логично частному - случаю и = 2. (Дополнения к гл. 1!1, б 1, п' 1). Положительно определенную кзалратичную форму ~а ах!ха можно привести с помощью надлелтащего преобразования х; = » = ~ с;ауа (1= 1, 2, ..., и), с не равным нулю определителем, к виду а-! ~ атх;хл = у"; + у': + ...
+ у,"; ~ т (х; "+ х„'+ ... + х,';), где т — подходящая поаожительная постоянная. Для приложений важно помнить, что необходимое и достаточное условие положительной определенности формы Ф = Е агахьга состоит в том, чтобы ее главные минорм порядков 1, 2, ..., и, отмсчейные в напечатанной здесь схеме: а„' аир ам!»г» а„а„' а,; ам а»т ам а»~ "»» были все положительны. Форма Ф вЂ” отрицательно определенная, если ( — Ф) является положительно определенной. 3. Построить кривую у (х, у) =О и исследовать распределение знаков функции У на плоскости. 9. !'!усть вершины треугольника Р, (хну;) и г;=РР~, 'тогда з з дт/=~',и"гт= У, г;-' ((у — у;] т(х — (х — хт) ау)', ! 1=-! а эта квадратичная форма — положительно определенная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
