1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Применяя координатную запись формулы Гаусса в пространстве три раза и выбирая каждый рзз надлежащич образом функции Ь'„ Р; и см получим для проекций результирующей силы нз осн координат следующие формулы: И. гааза г(а'=О, ф гсазри8=0, ф г соя)сИ = — ~ ~ ~ г)хну ~(г=- — И. Для координат результирующего момента относительно начала О получим аналогичным путем, с помощью теоремы Гаусса: 642 Отвкты и укАВАния для всех точек (к, у, г), отличных от (а, Ь, с). Из формулы Гаусса лля пространства вытекает тогла, что сели Х есть замкнутая поверхность, то; а) О.=О, если точка Л (а, Ь, с) лежит вне Х и б) если же точка Л лежит внутри Х, то значение поверхностного интеграла не зависит от формы поверхности Х.
Выбрав в роли этой поверхности сферу с центром Л, нетрудно получить О = 4я. 13, Поверхностный интегрзл не ззвисит от выбора поверхности Х и зависит только от ее граничной кривой Г, ибо из тожлества, данного в решении упр. 12, вытекает, что дк'!да( у(' Д+ду'(да( )са )1+ дг(да( Р' )1 По теореме Стокса и в силу Дополнений к гл. Н, 5 2, поверхностный индп теграл в выражении лля — можно представить в внле криволинейного да интеграла ~ (яда+оду+в да) вдоль Г, Проверить, что функции и=О, г — с у — Ь и= —,, ш= — „удовлетворяют тождествам 14.
Установить следующие факты: 1) значение криволинейного интегрзаа О остается неизменным, если кривая Г деформируется таким образом, что она при своей деформации не проходит ни через точку ( — 1; 0), ни через точку (1; 0); 2) О = 2я, если Г есть мзлая окружность с пентром (1; 0), ориентировзнная против чзсоаой стрелки; 3) 0=2я, сели Г есть малан окружность с центром ( — 1; 0), ориентированная по часовой стрслке. 15. Представим себе С в виде жесткого проволочного кругового кольца, а Г в виде нити.
Деформируем нить Г в новое положение Г', лежащее целиком з плоскости у = О. В процессе втой деформации числа р и л не изменяются и первая формула получается сразу, если применить упр. 14 к отрезку — 1 ( к .ц 1, у =- О, г =- 0 плоскости у = 0 и кривой П, лежащей в этой плоскости. Множитель 4я (вместо участвующего в упр.
!4 множителя 2я) получается вследствие того, что телесный угол О возрастает на 4я вдоль замкнутого пути, для которого Р = 1, л = О. Упомянутую вьппе деформацию кривой Г в Г' можно, например, выполнить зналитнчески следующим образом. Предположим, что кривая Г не встречает оси г и задана параметрическими уравнениями г=1(С) сову(С), у=у(С) вшу(С), а=г(Г) (О=-С ~2я). Рассмотрим семейство кривых Г (с): к=у(() соз(ту(С)), у=-1(() зш (ту(С)), г= г(С), зависящее от параметра ч, который убывает от с= 1 до т =-О. Заметим, что Г (!) есть кривая Г, а Г (О) есть замкнутая кривая, лежащая в плоскости у=-О, и ее можно принять за Г'. Заметим также, что при фиксированном значении С каждая точка Р кривой Г(г), имея постоянный г, вращается вокруг осн г прн изменении Ю слсдоватсльно, телесный угол О с вершиной Р, ствнваемый кривой С, не изменяется прн этом изменении е. Отсюда выте- ОТВЕТЫ И УКАЭАИИЯ кает, что йг — В, имеет одинаковое значение для крива!х Г'=Г(0) и Г = — Г (1).
Лля доказательства второй формулы надо заметить, что (), — 0„= ~ т(0 = ~ Я!ад 0 г(Р= — ~ к(Р [РРт'ПР') 1РР'1т [' й~ [РРтг(Р') ~ [ РР' (г(Р лР') [РР [' ° ° [РР =-1~5 — =!)[) '=-. 16. Возьмем координатную систему Ок, Оу, Оз и обозначим радиусвектар переменной гочки кривой Г через г. Тогда вектор .=--, ' [гкг[ 1 Г обаздтст требуемым свойством, гак как 1 из = . — (В (х т(у — у к(х) 2 у г ест площадь проекции кривой Г на плоскость «Оу.
ГЛАВА )г( ф 2, стр. 450. 1. Воспользоваться уравнением, выражающим закон сохранения энергии, и доказатть что г — са Ври à — са. 2. П! с!ь (В ч) — прямо)! ольныс координаты планеты относительно главных осси эллипса, а (х, у) — сс координаты опюсительно системы параллельных осей с началам в центре Солнца. Тогда параиетричсские уравнения эллипса б)дут 1 = х + ко = и соз ач т) =- у = Ь мц к Согласна 3'нгону цлощздсй, г(у г(«1 Л(Г--Г)= Гт ~х — — — у — -!г(м=-пЬ ~(1 — ксозч)им. .) ', Иы Й~) Й о 3, 4. Воспользоваться уравнением, выража!ощим закон сохранения энергии, и законом цлощадей.
6. В любом центральном силовом поле даик!ение происходит в одной 1 плоское!н ! и и" 3, стр. 445 — 446 это было доназано[. Имеем Х вЂ” — 'т', у= — — у у г ' г Отсюда ху — уд = д = — сапа!, хд+ у)! = — — ' — ' —.- т = — Гу. — ттк - у! Г Слсдава!ельца, и 2 Ит ' 1«[ Ьм) — — гг. 644 ОТВНТЫ И УКАЗАНИЯ расстояние от начала до касательной есть )хР— ух! )д) Ь'х'+ Р' Ьгх'+ Ьв 11озтому 1 в( Ьв свг — — — = — у— 2 в(С Ов в!С' откуда 1 в( Ью 2 в(г Ов нли Ьв пй у= —— = йвв(г вв Для кардионды 4 =— р йяг и 3, стр. 465.
1. а) Воспользоваться тем, что криволинейный интеграл ~(Зхв+ бху') втх+ (Ох'у+ 4У') в(у не зависит от пути. Выбрав в качестве пути интегрирования ломаную ОАР, где О(0, 0), в((х, О), Р(х, у), получим общее решение (х, у) (Зхв + 6хув) втх + (6ху + 4у') ((у = х'+ Зхву' + ув = с. (о, о> я ов в Гтт*'-~в'- вв — = .
У х 1 2. х'у — 2ху' — 2су — 2 =0; интегрирующий множитель ув ! 3. ху+ агс(их=с; интегрирующий множитель (в=— 1+х'' 4. Дифференциальное уравнение является линейным, если считать х искомой функцией; его общее решение есть (ху' + 1)' = су. Из тождества — — (2ув 'х+ (Зху' — !) в(у) Г(хув+ 1)в( ху'+ 1 У У' выясняется интегрирующий множитель данного уравнения. 5.
а) х*+ у'+ сх+ 1 = 0 ( — со С с < со) н прямая х =-О. б) ха + 2у" = с'. в) Дифференциальное уравнение этого семейства эллипсов и гипербол (ср. стр. 176, упр. 5) есть (у)*+ * — У* — +Ь'у 1=О; лу оно не изменяется при замене у' на ( — 1(у'). Семейство эллипсов ( — Ьв(с(со) ортогонально семейству гипербол ( — ав(с ( — Ь').
г) у= (п) тя (х(2) )+ с и вертикальные прямые х = Ья (д — целое), д) Семейство кривых (трактрнсс) п) х — с = .в- (р а' — у' — а асс(т — ( У) твмявгтяо. емт гямметончиое относительно оси х. ответы и кклзлиия 6. а) Семейство парабол у =- сх'.
б) Семейство гипербол ху = с. 7. а) у=х'1 б) у= — х+х1п( — х) ( — оо(л.(0). 8. у = хр + а ) 1-;- р- — ар ага(т р. 1 — 'а 9. х= ге "!" + — р, у= с(р+ а) е лса-)- — р(р+ а) — — (р+ а)". 4 Обратите внимание, что нри с=0 получается парабола в а' у=х 4 ' Каков геометрический смысл этого резулыата? 19. а) у= э!п (х+ с), особыс решейия у=-+- 1; ! б) х = ч- — (а! сзш у + у )/1 — у') + с; В) Х = чр ()~(2и — у)у — 2а ате1П аут — ) + С; Эта СЕМЕйСтВО цИКЛОпд, .у — у у-( у' 2а — у! которос может быть представлено в параметрическом виде: х=с+а(à — а!пт), у=а(1 — соэг).
Особое решение у=2а; У н)+ г) л = - ~ ~l а с1У+с, — 1айУ--11 особые РешениЯ У= с-!. о Доказать, что эти кривые не яваяются син)саидами. 11. МИ=у а 1+(у)', МС= — ., и дифференциальное урав— (1+ (У 1'!"'' ,.у* пенис искомых кривых булст (1+у')'у+ ду =О. Это — неполное дифферснпиалс нос ) равнение втссрос о порядка, нс содсрасащее явно независимой переменной. 1)о методу т. 1, стр. 60? — 609 (6 2, и' 2б) отсюла получается ( — '= Ну'са (с+ с — у" с(х) у" — с тле с — произвольная постоянная. Возможпса слглующнс различные случаи (все они имеют значение в дифференциальной сгомгтрни); 1) д = Л'('.
О), е = — 1"( -. О), та ~ Л'. Кривая — всюду гладкая, осциллирухзщая (г. е. имеет колебатеаьный карактер); попеременно касается прям ык Она напоминает синусоиду, но не является синусоидой. 2) в=)", с=О. Кривая является окружностью радиуса Л с центром на оси лл Е) й = Л", с =!а () 0). Кривая состоит из последовательности конгруэнтных дуг, соединенных между собой в точках возврата, лежащих на нрямык у=т; все эти л)чн каслютсн прямой у=у 1*+та.
Она нокоска па пнкжнслу, но не является циклоидой. 4) й=-. )у(:Н), с —.-1'- Л', Криван состоит из послслоиательности товшсстнгнных лус, сщрокннутых по сравнению со случаем 3), точки возврата на прямой у =-1; вес луги касаются прямой 646 ОТВИТЫ И УКАЗАНИЯ 5) й= — Л', с=т'=Л'. Кривая нвляется трактриссой. 6) й= — Л', с=та ( Л'. Кривая имеет бесконечное множество точек возврата, лежащих попеременно на прял1ых у=т и у= — 7; касательные з точках возврата перпенликулярны к этим прямым. 12. Уравнение семейства дифференцировать последовательно три раза; параметры с и а исключаются антоматически. После исключения Ь получится искомое дифференциальное уравнение (!+у*)у- — Зу (у ) =0. 13.
у=х яп ах; особые решения у=х и у= — х. И. Положим у(х) = ~ е»х». а=о Тогда с» с»~,= — (0+2), н са= 1, е,=О, откуда у (х) = х'». %'3 ( — 1)» ~~~а 2'» (й!)" »-о Возьмем выражение для /о(х) из упр. 4, стр. 245, подставим з не1о вместо соэхт его разложение в степенной ряд и переставим порядок суммирования и интегрирования (почему эта допустимо?). Тогда получится СО +1 1 к! х'» е га» '(х) = — Х вЂ” ( — 1)» 3 И. .. 2, (2й) — ' 3 р-(=т »=о — 1 Подстзновка !=э!пт преобразует интеграл в правой части в интеграл, вычисленный в т.
1, гл. !)Г, 6 4, и' 7, так что 1 -=) П» (20)! к )г 1 — тэ (й!)е 2г» ' — 1 и степенные ряды для у(х) и ./,(х) окззываются тождественными. 15. Кривая удовлетворяет дйфференцнальному уравнению и (х — — у) =г, где '= Ггха+у'. Это олнородное урзаиение первого порядка. Его общее решение есть х=а( — + 1гт 1+ —,) или (в полярных координатах) тя г сги 0 = а (12 В + соло~ откуда а ( ! + э!и 0)" сов»4' 0 647 ОТВВТЫ И УКЯЗАНИЯ Д р у г о й с и о с о б. Прсобрззовать диффсрснциальное уравнение к полярным коорлннатам: лг' дг сов 0 — - — г ип 0 г(0 или г»,ссз0 сов в)' откуда , .~"Я+4]' .
+- сов 0 соз«е 0 й 4, стр. 479. 1. Воспользоваться полной индукцисй. Сначала убелиться, что дле тзкие функции динсйно независимы, а ззтем локаззть, что из предположения линейной независимости А — 1 функций Тг вытекает линейнзя независимость д таких функций. Последнее доказывается от противного. Пусть существует тождество Сии+ тат, +... +Сава=О, (1) между тем как любые Д вЂ” 1 таких функций линейно независимы; тогда мола" жно считать, что все ге~О. Разделим тождество (1) на е а и затем пролиф- ферснпируем (па+1) раз, где лл сеть степень многочлена Ра(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
