1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 132
Текст из файла (страница 132)
! !+а' Ота. — 1п 635 ОГВЕГЫ И УКАЗАНИЯ а в) Интеграл для /'(а) преобразовать подстановкой х = ., а ) О. По/ лучин дифференциальное уравнение / = — 2/, откуда l = Се з", где С= !нц /(а) = —. у'. а е 2 Опте. / (а) = — Ь/яе г) Подставить интегральное выражение для /, н переставить поряд к интегрирования Воспользоваться формулой 2 ыо ах созЬ /х = Вн (а -1 Ь/! л (- + мо (а — Ь/) х.
и а Г з1н лу Оггтл. — ири а) Ь, агсз!и — ири а (Ь; ср. выражение для ! г/у 2 Ь У о в гл. 1АС 6 4, н' 1. 6, Существует такое число г)0, что мри всяком А найдшсн неко~орое число А')А, для которого ! сс !./(х, Ьйау~тв=- дая какого-либо зна ~синя х. $ 6, стр. 361. 1, Сделать замел) огргмгнных л'" = ам;', ум = Ьмй. 3. Начать с цнтс(рированнл но у и л. Огне. 8= — а 3 Г (2п) Г (Згт 4 Г(п) Г (4гг) ,-у, 1 ! 1 ! (2п)1)/й 6. Показа ~ь, что (!т„(2л) =- г-2т" О„(х) Оп (х+ - — ~ —., -' —, (оврсдста ° = 2 п л( 2) 2тп(п!) ление функции Оп(х) см.
оа стр. 353), а затем устремить п — со и нрнмс- нить формулу Взллиса (т. 1, отр. 26й- 266), Смешанные уиражнення к гл. !'т', стр. 366. 1 /'(.г) = '-- ! (! —,, ~ г/8, а так как х ) ( 1 — х'соз'8 1 ! (' 12 в г/8 = — - аггг ! — х' сова 8 )/! — л' ( )/! — х' ! то 1 /'(.г) =- — ~1— л ~ )~! — хт откуда /г(х) = а!п(1+ )/! — хт) — а!на 636 ОТВИТЫ И УКАЗАНИЯ 2. Согласно стр. 295, г ~в! ~ = ( ~ )ГЫ вЂ” Рт бг ай = ~ Л ~ 'тг гз + у"' Нг = 1, з, = ()' 2 + 1п (1 + )~г2 ) ) ~ -„- р"а л З, з, а зто значит, что В равна произведению плошади проекции, т.
е. фигуры Е,~О«ем О«г«у(В), на число (уг2 +!п(1+ уг2)1 3. Так как А — ВДа=2,5 и А — — ел=5,5, то А=!О н В=2 —., На- 3, 15 5 ' ' 2Д-' пряженность силы тяжести во внутренней точке на расстоянии г от цеитрз равна силе притяжения массы концентрического шара радиуса г, сосредоточенной в его центре. 4. С помогцью параллельного переноса можно добиться того, что треугольнин будет лежать в верхней полуплоскости.
Тогда его момент инерции будет а (х, Ун х, У,) + 9 (х„Ум х,У,) + Т (х,.Уа х, У,), где р (х,уп х,ул) обозначает момент инерции четырехугольника с вершинами (хо О), (х„У,), (хм УВ и (хт, О), помноженный на зйп(х,— х,). Затем надо показать, что 1 а (ХтУН ХвУа) — !2 (Хт — Хл) (.У) +У;Ут + У~УЗ +Уа). 6. 2 — —. 2 7. Ввести полярные координаты с полюсом (началом) в полюсе сфероида.
3 ОУ 3. )=~(у — 4) ау ) бхаа12 — !6!п2. зу — ю т-4 з а 9. а) К= ба г1п(г')Кг=а Р(1па — — !. 1( 2)' а т1л) б) К= ~дх ~ 1п(х'+у)т!у, где 7(х)=хтяр при 0«х«асозй и 7(х) =)/лл — х' при а совр «х «а. 3 а 1О. У= — агут!ива. Пользуясь цилиндрическими координатамн (г, з, л), 72 ' имеем у=~~ тВ=~~ ~д — —,' )бз по области интегрирования й! ~ а (! — у миг! соз' З) «г «Ь!и а.
Отпиты и укАВАния 637 Стало быть, 2. атл» Р=~ДО ~ (И вЂ” —," )гмг= О » тн а Л !а» (! — у' »гв» З»оы 5) 2» 2» =И 12~в з — )г а1п О сов»О ВΠ— И" 1я»а 2 О »/2 =И'ги»а»2 рг юп'О сов'Ос(О— » 2И» 1 О = И" 12" . В (:О, — ) В последней строке мы воспользовались формулой 7(злее, '16 ' 6) Г(3) 72 )62 (,6,) ! 3 — Мп» Оспа»ОКО = 2 ащ» О соа» О с(О = — — И тя ° В! —, — ). (4), стр. 359.
~-)" — =- = 3-' 5 г!т г 1) 5 я 5 72 Г,б) '! 6/ 72, »» 36 6 75 3! Аналогично вычисляется В !— '(2 ' 2) ' 11. Прямолинейными образующими нашего гиперболического параболоида являются прямые, по которым ои пересекается плоскостямн л =соп51 или у=сопай Поэтом), так клк 5(а= )Г!+а„"+за гтх2(у, то 1 О у» т)у»» ~ (!+ "+у )' .) (!+у») (!+О'+у')И' о о О = — ага!Я Оч (!+О'+ч*)"*' 12. — К(а) = о' 1' гт 71п(! + Осоах) ') (' лх г. л'х = с(о 2 2ти '1 соах ) ~ !+ассах у'~ ю ( дьг .О) 1 Р 77 ,) 52(и, о) 5 »» » следовательно, К(а)= .
згсаш я+ С; постоянная С определяется из тсловия К(0) =О. !3. Ввести новые переменные и и О с помощью преобразования и =- —, о= —. Искомая площадь х» у' У Х 638 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВА У й 1, стр. 384. 1. ес з)п «). е" е" 2. П>сть г«г=, „(ха(пу — усову), рз= — „- — —. (хсозу+ у ми у). х'+уз х" +уе Эти функции имеют неустранимый разрыв в начаае координат, во всех же остальных точках пзоскостн х, у они непрерывны и имеют непрерывные дг"«дг; частные производные, причем — '==. Позтол1у можно вишь утверждать, ду дх ' Чтп ИСКОМЫИ ИНтЕГраЛ Г~ (Г", дХ+ Ге ду) Инеет ОднпаКОВОЕ ЗиаЧЕИКЕ ВдааЬ любой замкнутой кривой С, обходящей олин раз начало координат (см.
стр. 383, конец п' 8). Положим г«=и —, — —,, Ря=о+ — — — хе+уз. Функции и и о л~ожно доопрсдезить в начале координат таким образом, что они станут непрерывными и буд>т гтъ«сть непрерывные частные производные во всей пзоскостн х, у (вкаючая начало). Тогда кривозинейный нитеграз ~ (и дх+ о ду) =0 вдоаь любого замкнутого пути С.
Искомый интеграл л« -««ч ю=)ь«««««~~ —,— ' —; . «, . ПХе+У" А'+ Уз с с г у — -их+ —, . ду~ хе+ух ' хе+уз А' (где А' есть окружность .с=созе, у=з1пт), а этот посзедний интеграз равен 2я, согласно стр. 383, и' 8. ф 5, стр. 416.
1. а) Ср. упр. 9, стр. 33. в) Пусть 0 — произвольная область, а ив произвольная функция, обращающаяся в нтаь на границе области б, Тогда по первой форм>зе Грина $ (их,о„+ их„о„„+ и „о„) дх, дхз дх„= = — '11) о«'и дх, дхя дх„= — ))) орви)«е,е,е, дР, дРя дР,. 0 ст Но др,, дре дг«т аи аы а;« и ., и — +и — +и "=и +ив +ив Ут дхт Язд.г; и'дх; У«е, -' ез «ез ап а;з аы "х~ = "У + "Г ° = + ОУ « е, а е, « е, Ответы и оказания 639 Следовательно Я (их,"х, + их»о.»» + "х,охз) дхз дтз дсз = 11 1, 1 = ~ Ц ( — и, ол + — ир ол + — ир ол дл, дл»сух» = (,ес с с е» » е„ а ° /-е»е» .у.:, ° Сг »се = ~ ~ ~ ~ ас — ' ил,ол, + атс — ир ол, + тс — ил ол, ~ дузс д1»» дР» = = '1'11 (О он, + (7»ол„+ (»зол,) ссР с(Р» дР», где (сс = ' ' ил приз»снял теорему Гаусса к век~ору Р= [бс,о, У»о, (с,о), ес ' 1д(сз д(7» д(/з( полУчим — ~ ~ ~ !.— + — + — ' одР» дР» дР», Таким обРазом, имеем !тдрс др, дрз 1' для произвольной ф)як!с!си о, обращающейся в нуль на граннце области О! Г Г Г 1д(7» д(7» д(7»'с ~ ~ от»и )се,е»е, дрз ирз др„= ~ тд ~ о ! — — с + — '+ — ' ! др, др, дрм ,др, ' др, др,с откуда (ср.
лемму 1, стр. 52!) 1д(с',, д(сз д(с',') 1 :,дуз, д1»,, д,ч,, 1' у г) Восссссссьзоваться упр. бв), стр. 176; 1 — д [' дат — (1» — Сс) (1» — гс) (1. — 1 ) Т»и =- (1 — 1) )гу (11);„- [ Р . (1») д —,- [+ + (1» — 1 ! à — Я (С) —, ', )' —; (1») —, ! + (1» — 1 ! Р ь (1 ) —,— ', ) 7 (1») —, 1, где р (х) = (а — л) (» — х) (с —.г). ф 7, стр. 424.
[[л, 11 1 2) Г 1. с[[! - ссд=,—, + —, + — „~ дт ~ [~ здх дуде, где тройной ннтгграл ч,у р 'ти» Ь» с»1 д, . берется по обьслсной обсщсип ос рассичс)»зной всрлней половиной зллипсоида. и плоскостью лу. 1!овсрхностснси шпсс рал слева берется но всей замкнутой ссоверкностй, ограничивазощей упомянутую объемн) ю обласпч но интеграл по плоскому основанию полузллипсоида равен нулю. 1 2) Оюе.
— — „-[- — „+ — „-) иаэс". Нлш интеграл есть Д Рп' дЗ, где 4 ~и» 1сз ск ! Хс !сл г») (а» ' )сз' се) ' 2. Так как Н есть однородная фтнкция четвертой степени, то с»л дИ 4 сф П дЛ = сЦ~(л11 +у11у + »Л») до = ~ ~ — дл— [11 Г »11 ил с(у с1» = 6 11) [х' (2а, + и, + и) + уз (2и, + а, + а,) + + л" (2и„+ из+ а„)) дх ду де. 1». Оюе. -- (и,) из-[и,-[ и,+и„+и„), 641 ОТВИТЫ И УКАЗАНИЯ подстзвилл Рл = 1, Р» = Р»=0, а затем Ел =О, гч» = — г, Р„=у, то получим соз и и5 = 0 М и ф (усов) — гсозй) иб=О.
(Уг соа1 — г» сов Р) г)3 = — ~ ~ ~ У г)х «(У»)г = — (Ум И И'-- (г' соз ч — хг саз 1) а)8 = ~ ~ ~ х йх йу г)г =- Их„ М (лг соя р — узссмз) »В=О, где х„у„, г, — коарлинаты центра массы С объемной области, занимаемой телом. Заметим теперь, что результирующая сила г = (О, О, — И), а се момент относительна начала координат есть [ггт[= ( — )»Уь )»хм О).
8. Из параметрических» равнений эллипсоида «=лсоэисочо, у=дяписоза, г=сяпо Оси с2я, — — сос —,) вытекают следующие формулы; «Б )1«ии ио )» ~И яЬ« соз о ии ио, р оЬс соя о ' где Е)» = Ь»с» ссм' и соэ' о + ис' зю' и соз' о + л*Ь' яп" о соз» тс 1О.
Этот интеграл представляет «расправленный» телесный усат, под которым вся плоскость а=О видал из точки М(0, О, 1). Лля прямого вычислсни»г интеграла ввести полярные кипра»платы на плоскости лу. 12. Установить тожлсстяо д (и — л') <) (Ь вЂ” а) «) /г — гл д„-[ — ), [ ) ( )...' ~ [ о ~ у«-~=О, У(»=(. — )"-[ (у — Ь)'ф( — с); 2! Р. Ктдаят [Это проекции доказываемых векторных равенств на ось х. Лналогг»чно получаются проекции этих векторных равенств на оси у и г.) 7. Поместим начало О системы координат (х, у, г) на свободной горизонтальной поверхности жидкости и направим ось Ог вертикально вниз, так что на свободной поверхности г = О. Давление жидкости на щнпцздку йЗ поверхности тела с единичным норлгзльным нектаром и, направленным внутрь тела, равно иг Ю, где г — глубина погружения площадки; момент этой элементарной силы относительно начала равен [сп) гол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
