1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Тогда Г(х, у) — Ь (х, у) в не- которой окрестности значенил у и Г (х, р) = О. Но у зависит от х как параметра: у =у (х). Тогла для функции у (х), близкой к у (х), имеем «1 «т ~ у«(х, у(х)) лГхгв ) у«(х, у(х)) ах, «т «т где у(х) удовлетворяет уравнению Ру(х, у(х)) =О. 9. а) У=О. б) Воспользоваться неравенством Буняковского — ))(варна лля интегралов (примечание ! на стр. 352), Для любой допустимой функции у(х) 1 г /! ! =у (!) — у (о) = ~ у ц ~/ ~ )т г(х 1 г ~ уя ц = Ь«у, о о о причем знак равенства имеет место для функции у=х. % 3, стр. 533.
! Вели о = †, то время т, в течение которого свет прохолит путь от =у(г)' тачки А до точки В, можно взять из упр. 2, стр. 520 (ответ на стр. 652), а наша полынтстрзльиая функция есть х'=У (г) )«(г'+ гтйт + г' ипф рт), Уравнение Эйлера дяя переменной в лзет вдоль луча света фУтг' з1п' Ь Р' = =С=сопл!. т Выберем нашу систему сферических координат так, чтобы меридианная плоскость у = О прохолита как через начальную, тзк и чеоез конечную точку.
Так как в обеих зтнх точках у = г4 то, по теореме о среднем 666 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ значении, в некоторой промежуточной точке производная ф = 0; отсюда и С = О. Но тогда ф=О для всего светового луча. Стало быть, весь луч должен лежать в плоскости Т=п. й 3, стр. 340. Соглзспо закону сохранения энергии, 1 Го(ЭЛ' ( т+и=т= — (--') =с щт=- С, ~кг) = о(з откуда — = С = сонэ! = начальной скорости. о(г Принцип Гамильтона устанавливае~ стационарность функционала о~ (т — и) о(Г= ~ то(т= — глСо ~ ат = — глС ~ йз. 2 О 2 го ы оо оо Таким образом, из стационарности интеграла Гамильтона вытекает стационарность длины траектории.
Смешанные упражнению к гл. )гП, стр. 542. 1. Выберем ось л параллельно образующим цилиндрической поверхности; тогда уравнение отой понсртности б)дет Со(х, у) =О и пе содержит з. Из уравнений геодезическик линий [стр. 540, конец пункта а)) вытекает, что о(з о(э — -=соим. Следовательно, геодезическая линия на цилиндрической повсркности обрззует постоюоный 1ТОл С оСьи л, т. е. ПЕрЕСЕКаЕт вес Образующие под одним й тем жс углом. 2.
а) а(х) — =О; у У ((+у ) бу" (у" + 4у' у'") 2у1ч 48у' у" ((+ул)' (1+уж)' ((+У ) в) у+у" +у с =О; г) (2 — у' ) у" = О. 3. а) аоу = (а„+ (оо) у„+ [(о „+ со) ут + ау„„+ 2(оу + су б) (уо)о у=О; в) (уо)о я=О 4. — — -- — = Л = сопэ1 . аи" + а'и' + и (Ь' — с) и б. а) Уравнение Эйлера булет У(х) +2Ли (х) =О, откуда и=— у(х) 2Л Подставив это выраженно в добавочное условие 1 уо ах=до, пол) чпм 1 Л= гй — ~то йх; 23 656 отввты и укАВАния слеловательно, йг (х) ~уч т(х б) для любой непрерывной допустимой Функции т(х) имеем ( у =~Д г(х ~~ту ~ Рйх ° ~уг ~утз(х а й ~уу ~утих, о причем знак равенства будет как раз, если у = и.
Глава Ч(1! 6 1, стр. 552. 1. Когда (те а=х= О, 2. Воспользоваться принципом сравнения рядов. 3. В разложении Функции соз'а+ ми'г в степенной рнд коэфФнпиент при гл в случае и ) О будет (см. т. 1, стр. 98, унр. 12 «) н а — а .=о .-о 4. Ряд сходится в том и только в том случзе, если ! г! (1. Лейсгвительно, если !г!=г(1, то г" г» 1 — г», 1 — а~1 — г»1 — г и сходнмость данного ряда вытекает нз сравнения ряда,составлсшзо~ о из молулей г» его членов, со сходящимся геометрическим рядом. Если ! г ! ~ 1, то — — — 1 ! — г» нри й — со, и ряд не помет сходиться, так как общий член «» схоцящегосн ряда стремится к нулю прн й — -оэ. Если же ! г(=1, то либо некоторые члены ряла вовсе не будут определены, либо по крайней мере его члены не будут ограничены, так как г» может подойти к 1 как угодно близко.
ф 2, стр. 557. (1усть у(г) =и+(о, и(г) = и, +(об тогда, например, уи=р+(4, где Р= ии, — ооо 4 = ио, + ои,. (!Рсдположнв, что и н о УдовлетвоРЯют Условиям Коши — Римана, доказать, что р и 4 тоже удовлетворяют зтнч условиям. 3 2, стр. 558. 1. Функции а), б), в) непрерывны на всей плоскости г; г) разрыв в точке г=О.
2. Ин одна. 3. Имеем аагг + 55 + (арт + а 5 г) агу + «а + (а(г + а 5 г) Отсюда видно, что если аа — 5((=1, то разносгь не>к((у чнслнзеаеы и зна- 557 Отпиты и укАВАния ненателем равна лд — 1, так что числитель больше знаменателя при (з( ) 1 л н евьшс его при ! з 1 ( 1. Если р𠆫* = 1, то будет наоборот.
4. Потагая а=ге'г, 5=$+ц, имеем 1! !1 1( 11 $= — (г+ — ! сову, э)= — (г — — ) ап 7. Если г=с= солж, то (+ ) 4( ) шли же 7=с=сонэ), то Ет э)т — 1 соа" с соз' с — ! + (ср. упр. 7, стр. !76). 5. Задзнный (произвольный) круг отобразить сперва па единичный круг с немощью функции вида 5=ил+Ь, а затем выполнить преобразование 1+5 1 — ~' 7. Уравнсщге окружности или прямой в плоскости 5 имеет следующий вгы: «чь + 3~ +Ьс + 7 = 0, гхе «и 7 — действнтсльныс числа (для прямой « =О). Если в зто уравнение подставить выршкгипс 5 через л, то длл з получится уравнение такого же вида. Неподвижные точки ь=я определятся из квадратного уравнении сл'+(Н вЂ” л) — Ь=О; если корпи этого квадратного уравнения различны, то преобразование имеет хве нсподвнжпыс точки, Как мы только что видели, окружность, проходящая через эгя пснодвпжпыс точки, преобразуется в окружность,, которая тсжг должна проходить ~срез неподвижные точки; семейство ортогоиальяых окруж~осп й тпжг преобразуется само в себя, ~!отому что окруягпостн переходят в окружноспг, а наше преобразование является конформным.
5 3, стр. 567. 2. Согласно т. 1, стр. 443, ряд сходится абсолютно. $4, стр. 572. В формуле Коши дифференцировать последовательно под знаком иитсгргаа и доказать правомерность этого процесса. $ 4, стр. 573. Тшс как функция л (х, у) задана, то условия Коши — Римана вполщ ларгггслшог частные производные о„в о, функции п(ж, у). функция о, алеющая такие производные, действительно существует, ибо условие интегрируслгосги выполнено, в силу того, что л удовлетворяет уравнению л«„+иву=-О (СР.
стР. 375). Искомая функция о определяется одиозна ы во, если ис очи гщь шшптнвпой постоянной с, и дается криволинейным отпиты и ткдздиий интегралом !х ут о(х, у)= ~ (о„ну+о лх)+с. (хн уй Из условий Коши — Римана вытекает, что о также удоваетворяет уравнению Лапласа. $4, стр. 576. 1. Нетрудно убедитьсн, что 1 Р У(~) является аналитической функцией от г. Лнфференцируя под знаком интегра- ла и пользуясь правилом Лейбница (т. 1, стр.
229), находим, что д'ч" (г) =;.— ~у( — -) т1 п(л — 1) ... (и — Н+' -(-1) ~,, Ж= у (г) гл-н+ 2я1 ~х~~1ч ) (т г) ы гл =а 2я(~~Ы~ (Н вЂ” ч) ) (~ — г) тт ~л Отличны от нуля только те члены, для которых и — т~я, ибо в противном и случае 1 обращается в нуль. С другой стороны, член, для которого тр — ч/ и — т ( и, обращается в нуль при г = О; если Н ( л, то других членов не будет, так что ищ' (О) = О. если жс н) и, то остается лишь член, длн которого Н вЂ” т=п, так что У (1) 2. ,'ал~ = 2 — 1 — (аь —,Ж ~2 -„— „,2яр, где интеграл берется по окружности С: ) г) = Р.
3. — лг равен сумме вычетов функции — относительно всек полю- с у" (г) У' ' ~У(г) У сов, лежащих внутри С. Если у (г) имеет нуль и-го порядка в точке гн то у (г) = (г — г,)" т (г), причем т (г,) ф О. Позтому у"(г) нт (г) + (г — г~) т' (г) у (г) (г — гт) т (г) так что вычет функции — в ее полюсе г, равен 2г(н. у'(г) у(г) 659 Ответы и укАзАния 4.
а) Согласно упр. 3, число корней уравнснил Р (г) + ОС) (г) =О внутри С равно -- — нг 2т),) Р(г) + О!',)(г) Знаменатель не обращается в нуль ни в какой точке кривой С при всяком значении О, удовлетворяющем неравенству О(0 ( 1; поэтому наш интеграл являетсн непрерывной функцией от О, а так как ои всегда равен целому числу, то он имеет постоянное значение, а стало быть, одно и то жс значение при 0=0 и при 0=1. б) Если ( а ! ( г' — —, 1 Г' то г)1; поэтому уравнение гл+! =О имеет пять корней внутри окружности ~ г ! =г. Полагая Р (г) = г'+ 1, 0 (г) = аг, имеем на окртжности ! г, = г )() (г) != ! а(г (та — 1 ц ! га+ 11=! Р (г) !, т.
с. ! () (г): ц' ! Р (г) !. 5. Ср, доказательство упр. 3. 9 О, стр. 532. г1л 2. Левал часть формулы сеть сумма вычетов функции —, деленная у (г) ' 1 Г гм на 2яй полому опа р,щпа —: ~ — аг, где интегрэл берется по окруж2л) 3 Г(г) ности с псптром в начале координат, содержащей внутри себи все лоринга. По это~ ипттч рал стремится к нулю, когда радиус окружности стремится к бесконечности (прпчсы центр се остается неизменным).
Смешанные упражнения к гл. Ч!!1, стр. 589. гл — г, 1. — '- — должно быть действительным числом. г,—..г,,— г, 2. А= — '-: — ' — - полжно быть денствительным числом. В самом деле, окрузсаостто протоляпф ю через то !кн гп г, и г,, можно отобразить на действитсль~ро ось с помощью лине!щого преобразования вила аг+!Ч тг+ О (ср. т пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
