1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 136
Текст из файла (страница 136)
й, гтр. 559); согласно упр. 5, сгр. 559, при этом А пг нзменящсн. По пп,та для того, чтобы точка г, лщкала пл той жс окружности, ч|о и поппе го г, и г„изобрлжсш1с точки:, должно лсжап на дсйстаит с:н,ноп осп, л это з|<впвалснтно )словию, ио Ь вЂ” т!сйствнгсщ нос число. 660 ответы и кклзлнии 3. Задача состоит в доказательстве тождества ! гз — гз ! ! гз гз ! + ! гз гз ! ' ! гз гз ! = ! гз — гз ! ' ! гз гз 1 или (г,— г, ! !»,— гз! !г,— «,! (г,—,! 1+ ! гз гз ! ' ! гз гз ! ! гз гз ! ' ! гз з ! ' Но обе дроби инвариантны относительно дробно-линейного преобразования (ср.
упр. 5 и 6, стр. 559). Если црн помощи подходящего дробно-линейного преобразования отобразить данную окружность на действительную осзч то придется доказать тождество АВ СО+ ВС АВ=АС ВО лля четырех точен действительной оси, а это уже элементарно просто. 4. Фу.икция 5=еж принилзает любое значение, кроме с=в, что нетрудно вывести из соотношения етз=е т(свах+!них). Нашей задачей является выбрать 5 таким образом, чтобы было 11 1~ созг= —, ! !+ — 1=с, но это приводится к квадратному уравнению, которое всегда имеет решение 1 = е .+- $/ аз — 1, и это решение не равно нулю, так что требуемое значение г существует. 5.
Ср. упр. 4. Если 1=а!а, то 1 1 - ° 1+ !с тнг= —. =с, откуда С= 11 ! 1 — !с' !+— Стало быть, конечное 1~0 получается лишь при см'-+-1. Следоватеаьно, уравнение 1нг=с имеет решение лишь в том случае, если с не равно ни +! ни — 1. 6. сова=сов (х+!у) = сов хсзм!у — ап х ип !у= сов х ей у — 1юп хзйу, азп г= 3!п (х+1у) = азп к соз!у+ свах яп 1у= ззп хе)з \з+ 1сшх Б)зу. Отсюда видно, что стиг имеет действитслшюе знзчепие, если х =ля или у=О, а мпг имеет действительное значение, солих= — +па или у=0 2 (где и — любое целое число).
7. а) г=) (при )г()1 общий член стремится к со, при !г! с! срав- нить с геометрическим рядом); б) г=О; в) г=!. 8, Ср. т. 1, стр. 204 — 205. егз 9. а) Интегрировать 1, вдоль верхней полуокружности. 1+ к' Оюз. ' е ' (мп —,+сеп —, г $/2 — — э1 )/2 Р2 '1 4 (, 2 2 г'е" б) Интегрировать — вдоль верхней полуокружностн. + гз — У2 , У2 ~ Опш. 4~22/' е ~сов — — ап —. Езз в) Интегрировать —, вдоль верхней полуокружности.
с'+ гз Оп!а. —, е з. ' йс 661 Отпиты и указания сительно полюсов т= — + 2лт, 2 в) Воспользоваться функциональным ураинением 1 Г (2) = + + р (3+ Й+ 1). 1)» Олтл. Вычет 2л( относительно полюсов з= — н. л! г) Вычет 2л( отиасительно полюсов г= ил(. 11. Полынгсгрзльную фтнкпию представим в виде с!Вяз с(йзт зсгц Г л — т +т(г а)т Сгп лт стп лт ограличсн на сторонах квалратоз С,„а интегралы от — по противоположным сторонам квадрата почти колгненсируют друг друга (уточнить!).
Поэтому Нш ~) —,— гтт= — 1цп ~у - гй=б. Г С16кт Г Зета»т ,у) « — л) сл Сл Прн светла агнии стммы всех вьшетов мы сначала сложим попарно вычеты в потюсзт, симметричных относительно начала", получится сходящийся бесконечный ряд, гумна когоро~о равнз ну.тю, а иэ этого рзвенствз вытекает 2»(! ! 1 к (,г- +з — ! + — 2»+"') (ср. т. 1, стр, 518). 1» 1 1 (-à — ---==! — т+1»вЂ” + ( !)л-г ел-3 ! ( !)л 1 + т Интегрируем о~ б ло г: 3 ли 3 ,- — ...
+ ( — !)"-' -' + Р , "'л л т ;1п 11 + а) = з —,, где л»-т г) Интегрировать 1 2 вдоль контура области, ограниченной достаточно большой окружностью с центром в начале координат и разрезанной вдоль положительной встцсствениой полуоси. г (2" ' — !) Отз. з!п х» 10. а) Вычет +2л1 относительно полюсов г=2лл, вычет — 2з( относительно пслюсоз з= (рл+ 1) л, ол б) Вычет +2л! относительно полюсов л= — +2лл, вычет — 2з( отно- 2 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ На окружности !»! = 1 положим э= »э и эа путь интегрирования примем отрезок прямой от начала до точки егэ; тогда 1 = эетэ, л! = етэ!уэ. При е!э ф — 1 имеем гл ! эл !))„!= 1 — й ~ ~ — !(э( — ~ э" л!э = 1 ! г ) ! !+э»!э! лт,) ю(л+1) ' о о о 1 1 !3. а)» (»)= э !» — — »1! модуль общего члена этого ряда .бм ~ (2Ф вЂ” 1) (2Ф) / ! л=! 1 1 ~ ( (' ! !» э! !»! !э! (2Ф вЂ” 1)» (2д)» ( ! Д Г»!ю ) (2Д вЂ” 1)~+' ! (2Ф вЂ” 1)'е» 2» — ! 1 а ряд 1) 1, „ слодится абсолютно при х ) О.
л=! 1 1 1 2 2 2 !+ †+ †+ 2» 3» 4» ''' 2» 4» бв 1 1 1 »2» З» '«+» 4»+'" б) (1 — 2т») ь (») = в) 1нп(» — 1)Т(»)=у(1) ° Ипт, =, =1, где е(») = ! — 2' '. » — ! У(1) » ! ! 1 — 2' а'(!) 14. а) Значение интеграла на четверти окружности радиуса е стремится к нулю при» О. На части контура, идущей вдоль оси х, имеем»=х, тт»=!(х; на единичной окружности 1»!=1 положим»=е!э, 4»=!е!э!)0; на оси у имеем»=!у, !у»=! Ыу. Тогда теорема Коши дает ! 2 1 тм о = $ ( -,.
— ) * — р —; — $ рР»,— ! ° »вЂ” х~ ! ! тм — ! ! ! !у + —,- ' (ту)" ' лу = М где ю обозначает наименьшее значение знаменателя )1+ вета, при 0==»~1. Отсюда видно, что если»=етая — 1, то г㻠— О. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Приравнивая мвшые части, получим 2ж спал>8 совий(Е = в1п ' я (и — т«1 2 1,+ ) ул-т,!у-- о л — «> — г (1 — д)~д о 1 я(п — ш) 2 = — а1п 1 и — «>1 = — йп — (я — ж) В ! ш+ 1, — ) (ср.
стр, 358)„ 2 где у>=та >ту= ь») 2)'>! б) Восиольмваться соотношением (и — ж)я /л — «>1 я аш ' Г ~ ) =, (ср, стр. 357). 2 ~ 2 ),~ и — «т' уУ(у) и! Г ГУ(г) с(у> (у + «)«е> 2я! ~$ (т + л)«1> (Г у)л >> Если подстаиит> в интеграл « =у=)>'.т, то получится и! ( т/ (() 2я( Д' (та т)л-и с а после за>н»ы нерслнчшой та = т, 2!с>! = в>т интеграл преобразуется к вилу п! ( / ()>те) 4!п ) (> — х)аы с где С гсп ион8>р, содержащий х, но не О. Этот интеграл равен 18. а) ! .1> 1>' ! (у) 1> !г(> 2л . с> 2у), (г1>2х — 1) =-Л (л). б) 11и>ш Пири>пь»у >1>ункцнж вдоль периметра квадрата со сторонаии х= » я («(, ! я У;= > я > и т-,-), гдс я — целое число, При «соиитеграл стремит си !> я) >по; следов псльно, сумма вычетов стремится к нул>о.
15.!'.гли хий и если С' есть контур в той области, в которой г" (л) ре>улар>п>, кото>ый содержит у и не содержит начала координат, то, согласно у>!ражи«пик> на."тр. 572, 664 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 л — л'л (л — хл)" +(у — ул)' ' 1 У вЂ” У» ( х х л ) + ( л=! (Козффициент пропорпнональпости берем для простоты равным едннипс.) Введем комплексные величины я,=х,+1уь ..., г„=ля+(у„„л=х+(у, л =Х+)У. Тогда 1 )г (ю а — гл л-~ тле у(а) обозначает многочлеи (а — я,) (л — а ) ... (л — л„), а черта нал буквой или выражением обозначает комплексно-сопряженную неличнну.
1!оложсниа равновесия опрелеляются условием 2 =О, т. е. нулями много- члена У'(г), а таких нуаей может быть не более чси я — 1. В предложенном частном случае четырех точек трп положении равновесия: (О, 0), (ф' и" — К 0), ( — ]Ул' — Ь', О). 17. Пусть притягивающие точки будут (хь у,), ..., (х„, у ). Тогда равнолействующая сила притяжения в точке (х, у) поли имеет проекции нз коорлинатные оси: ПРЕДМЕТНЙЙ УКАЗАТЕЛЬ Азимут ГВ Аргумент 54 — комплексного гчисла 544 — функцтюнзльный 514 Аркус 544 Балка нагруженная 490 Бета-функция 358, 595 Вариация функции 519, 550 Вектор 17 — бикорчальный 1!5, 603 — единичный 18 — касательный 106, 602 — — единичный !06; 181, 602 — кргвизяы 106 — направляющий 25 — норьтажный главный 106, 603 — — единичный 603 —, — к поверхности 151, 181, 603 — равнопротивоположный 2! — свободный 17 — связанлый 17 Векторы линейно заввсимые 50 — — нсз1висимые 50 Ветвь фулкцни 58 Вихрь !12 Волна плоская 509 — сферическая 509 Вычет фуякции 575 Вычисление действительных определенных интегралов 577 †5 — об ьема 286 ' — ошибок 84 Гамма-фувкцня 346, 594 — — комплексной переменной 567, 587, 594 Геодсзнческан липни 516 Гинерботыьн лвупологтный 178 — однопожн;тный !78 Градиент скалярноьо полн !!О, 598 — функцан 1П) Граница области 119 Движение планет 444 Детерминант см.
Определитель Дзета-функция Римана 568 Диаметр множества 117 — области 247 Дивергенция векторного поля 112, 598 Дискпиминант квадратичной формы 222 Дифференциал дуги 105, 180 — сложной функции 90 фтнкции 77 — — полный 83 Дифференцирование вектор-функции 597 — интеграла по параметру 241, 593 -- кбтьатного интеграла по области — несобственных интегралов по параметру 333 — нецелого порядка 362 — неявной функции 136, 141 — обратной функции 163 — под знаком интеграла 264 — сложной функции 592 -- степенного ряда 549 Дифференцируемость функции 74 — 78 — — комплексной переменной 554 Длива вектора !8, 597 — дуги 604, 605 — — пространственной кривой 105 — физического маятника приведенная 303 Зависимость интеграла от параметра непрерывная 329, 33! — системы функций линейная 470 Задание плоской кривой неявное 144 — 149 — поверхности неявное 150 †1 — — параметрическое 177 Задача изопериметрическая 516 -- краевая 407, 488 — — для круга внетвняя 504 — — — окружности 502 ПРЕДМЕТ!!Ый УКАЗАТЕЛЬ Задача о брахистохроне 5!4, 527 — — — в трехмерном пространстве 532 — Плато 537 Закон всемирного тяготения Ньютона 444 — площалей 447 — сложения векторов перемсстительный 19 — — — сочетзтельный 19 — сохранения энергии 437, 535 — умножения вектора на число псреместнтельный 21 — — — — — распределительный 21 Законы Кеплера 444 Замена переменных 92 — — в двойном интеграле 271 †2 — — у л-краююго интеграла 276 Значение логарифма главное 565 — несобственного интеграла 283 — стационарное 203 — функпии среднее 255 — экстремальное 202 Изменение порядка двух интегрирований 594 — — — в несобственном интеграле 594 — — дифференцирования 69 — — — и интегрирования 593 — — — — — в несобственных интегралах 593 — — интегрирования 263 Изображение 41 — функции геометрическое 59 Изоклина 453 Инвариантность полного дифференциала первого порлдка 91 Инверсия 155 Интеграл Гамильтона 533 — двойной 248 — Дирихле 594 — криволинейный 369 †3 — несобственный кратный 278 — от функции, ииеющий конечный разрыв 278 — — — комплексной переменной 560 — — —, обращающейся в бесконечность в изолированной точке 279 — — †, — — — вдоль линии 282 — — якобиана 391 — по бесконечной области 283 — — двумерной области несобственный 333 — — ориентированной области 399 Интеграл ло поверхности 405, 600 — повторный 240 — Пуассона 502, 594 — тройной 257 — Фурье 341, 594 Интегралы Френеля 339, 594 — Эйлера 346 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенного ряда 463 — интеграла по параметру 240 — несобственных интегралов по параметру 332 — нецелого порлдкз 364 — полного лнфферснциала 376 — степенно~о ряла 549 Источник 394 Канат нагрух<енньн1 488 Каустика 196 Квадрат векторл 22 — — скалярный 22 Колсбанпя около положения равновесия малые 441 Компонента вектора 20 Контур 119 Координаты вектора '18 — криволинейные 155, 158 — параболические 160 — полярные 18 — — пространственные 161 — нрямоу!ольныс 15 — сферические 16! — фокальные 176 — цилиндрические 162 Косинусы направляющие 17 — — нормали поверхности 151 Коэффициенты гауссовы 180, 604, 605 Кривая дискриминантная 188 — интегральная 451 — каустическая 196 — кусочно гладкая 56, 247 Кривизна 147, 603 — пространственной кривой 105 Кривые параметрические 182 Критерий интегрирусмости 599 — сходимости Коши 122, 545 — — — для двойных последовательностейй 593 Кручение !15, 603 Лзпласиан 114 Лемниската 138 Линейный элемент поверхности 180 пгвдмвтцый хклзлтпль 667 Линия геодезическая 540 — координатная 158 — уровня ПО Лист Декарта 139 — Мебиуса 403 Максимум 20! — несобственный 201 Масса 259 Маятник физический 392 — Шулера 304 Мера крутизны поверхности 66 — куска г-мерной поверхности 327 — области 3!О Метод вариации произвольных постоянных 483 — 486 — изоклин 453 — неопределенных коэффициентов решения дифференциальных уравнений 464 — — множвтелей 602 — последовзтсзьных прнблнтксний 460 Минимум 201 — несобственный 201 Многообразие векторное 100 Многочлены Эрмита 99 Множество замкнутое 1!7 — открытое 119 — связное !19 Множитель Дирнхлс разрывный 343 — интегрирующий 458 — Лагранжа 208, 607 — Эйлера 539 Модуль вектора 18, 597 — когппсщнгя о числа 544 Момент инерции относительно оси 301 — — — плоскостг| 309 — — полярный 300 — количества движения 445 — относительно начала координат 300 — скорости 445 — статический 297 Набла-опсршор 598 Направление !7 Независимость системы функций линейная 470 Непрерывность интеграла как функции параметра 240 — ф!нкцни 59, 61 Неравгпшна 1'С:и тп ра 2!7 — треугольника 544 — Шварца 350, 352 Нормаль к поверхности 111 Нуль-вектор 21 Нуль функции 574 Область замкнутая 57, !19 — изменения функции 55 — круговая 56 -- многосвязизя 55 †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
