1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 7
Текст из файла (страница 7)
интеграл (23) абсолютно сходится. Но при этом, как мы только что видели, ряд (29) абсолютно сходится при любом разбиении с конечным ш и любом выборе (н и имеет место формула (30). 3 а м е ч а н и е. Если у'(х) равномерно непрерывна внутри [ — со, +со], и д — наибольшая из разностей (х,— х;,), то условие 6-~.0 влечет за собой ш-ьО, и в формуле (30) вместо ш-ьО мы можем написать д — О. Это обстоятельство будет иметь, например, место, если у(х) = х. 6. Функция скачков. Проведем элементарный анализ свойств неубывающей функции а (х).
В силу того, что монотонная ограниченная переменная имеет предел, функция а (х) будет в каждой внутренней точке промежутка [а, Ь] иметь предел слева и справа: я(х — 0) и А (х+ 0). На левом конце будет иметься предел справа я(а + 0) и на правом конце предел слева и(Ь вЂ” 0). Если а(х — 0)= = я(х + 0), то точка х есть точка непрерывности я(х). Аналогичным образом непрерывность на концах обуславливается ревенствами я(а+0)=д.(а) и а (Ь вЂ” 0)= я(Ь). В точках разрыва ыы имеем я (х+ 0) ) я(х — 0), и положительная разность [6 интвгглл стилтьвсл 8„=у(х + 0) — д (х — 0) называется скачком а(х) в точке х. Аналогично определяются скачки на концах.
Функция а(х) может иметь бесконечное множество точек разрыва. Покажем, что в этом случае это множество точек разрыва а(х) обязательно счетно. Полное возрастание функции а(х) на промежутке [а, Ь] выражается положительным числом а(Ь) — д(а). Таким образом, число точек разрыва, в которых скачок больше единицы, не больше, чем целая часть числа а(Ь) — а(а), т. е. таких точек разрыва конечное число.
Точ>ю так же число то. ! чек разрыва, в которых скачок больше —, не больше, чем целая 2' часть числа 2[а(Ь) — д(а)] и т. д. Нетрудно теперь показать, что точки разрыва а(х) можно пронумеровать. Сначала нумеруем в каком-нибудь порядке конечное число точек разрыва, в которых скачок больше единицы. Дальше продолжаем нумерацию для тех точек, 1 в которых скачок больше —,, и т. д. 2 ' При интегрировании непрерывной функции мы можем не пользоваться при разбиении промежутка интегрирования точками прерывности а(х), лежащими внутри промежутка [а, Ь], и значения д(х) з этих точках, таким образом, не играют роли при образовании интеграла. Иначе обстоит дело в концах промежутка, которые обязательно входят в состав точек деления.
Можно, например, считать, что в точках разрыва ь (х) непрерывна справа, т. е. а(х) = а (х + 0). Пусть Ь (х) есть измененная таким образом функция а(х), т. е. Ь (х)= а(х) в точках непрерывности д(х) и на правом конце и Ь (х) = д (х+ 0) в точках разрыва. Может повлиять на величину интеграла лишь изменение а(х) на левом конце промежутка, и мы будем иметь очевидную формулу. ь ь ~ г (х) йг (х) = ~ >'(х) Йа(х) — ~(а)[а (а + 0) — а (а)]. а а Произведем теперь разбиение а(х) в случае ее прерывности на два слагаеиых, из которых одно а,(х) есть непрерывная неубывающая функция, а второе а„(х) дает сумму скачков а(х) на промежутке [а, х].
Это последнее слагаемое называется обычно ф у н кц и е й с к а ч к о в для д(х). Приведем точное построение этой функции. Пусть в промежутке [а, Ь] имеется конечное или счетное множество точек сь (Ь = 1, 2, 3, ...). Определим возрастая>щие функции >уь(х) и >]>ь(х) следующими формулами: 0 при х(сь, ~ 0 при х(сь, у (х)= фь(х) = 1 аь при х)сь, при х)сь.
31 Функция скАчкОВ „де м» и ~3» — неотрицательные постоянные такие, что ряды (31) сходятся. Если некоторая постоянная я» равна нулю, то соответст«ующая функция р»(х) равна тождественно нулю, и то же для ф (х), если р» = О. Мы удерживаем эти функции в дальнейших формулах для симметрии записи этих формул. Если с» = а, то будем считать, что соответствующее а» равно нулю, и если с»=Ь, го мы будем считать, что соответствующее р» равно нулю. Из сходимостей рядов (31) непосредственно следует, что ряды ф(х)= ~~1~ р»(х); ф(х)= эф»(х), (32) члены которых суть неотрицательные возрастающие функции, равномерно сходятся для всех х и, в частности, на 1а, Ь].
Если х о~лично от с», то все члены этих рядов непрерывны в точке х, а следовательно, в силу равномерной сходимости, функции э(х) и ф (х) непрерывны во всех точках х, отличных от с». В точке х = с» слагаемое ф (х) имеет скачок слева, равный я», слагаемое ф»(х) имеет скачок справа, равный р», а остальные слагаемые непрерывны. В силу равномерной сходимости и сумма остальных слагаемых непрерывна при х= г», Таким образом, в точке х = с» функция ф (х) имеет скачок слева, равный я», и непрерывна справа, а функция ф(х) имеет скачок справа, равный р», и непрерывна слева.
Все проведенное построение, очевидно, сохранит свою силу и в том случае, ко~да множество точек с» конечно. Положим теперь, что д (х) есть некоторая возрастающая функция и х= с» — ее точки разрыва непрерывности, а я» и 11» — ее скачки слева и справа в этих точках, т. е. я»=д(с») — л(с» — 0) и =д(с»+0) — д(с»). Разность д(Ь) — л(а) дает общее возрастание функции »т (х) в промежутке [а, Ь), и сумма ее полных скачков «»=я»+~» в первых л точках с„с, ..., с» ее разрыва непрерывности будет не больше, чем упомянутая разность при любом и. Такич образом, бесконечный ряд, составленный из полных скачков функции я'(х), обязательно сходится.
Тем более сходятся ряды, составленные из скачков слева а» и из скачков справа р». Построим функции ф(х) и ф(х) и положим аа(х)=э(х)+ф(х). Величина К»(х) равна, очевидно, сумме скачков » (х) во всех точках прерывности, которые лежат левее х, и скачка слева в самой точке х, если он существует, а равность да(3) — п„(а) равна сумме скачков в точках прерывности, лежащих между я и р, скачка справа в точке я и скачка слева в точке р. Разность Ь ф) — » (я) дает общее возРастание функции » (х) при изменении х от а до р, а разность 32 !е интвгвлл стилтьвса й'а(~) — са(а) дает возрастание д (х), которое получается лишь за счет скачков в ее точках прерывности. Мы имеем, таким образом, следующее очевидное неравенство: дф) — д(а)) ~а(р) — а„(а) при ~)а.
Положим аг, (х) = д(х) — л'„(х). Если х — точка непрерывности и(х), то она является и точкой непрерывности аа(х), а тем самым и точкой непрерывности д,(х). Положим теперь, что х равно одному са. В этой точке функция е„(х) имеет слева и справа те же скачки, что и а (х), а потому л,(х) непрерывна и при х=сгг Таким образом, мы можем утверждать, что а;(х) непрерывна и возрастает.
Мы имеем, таким образом, искомое разложение д (х) = л „(х) + д; (х). Это разложение можно провести для любого промежутка, замкнутого нли нет, конечного или бесконечного. Для любой непрерывной функции можем написать ~ у (х) г(у (х) = ~,у(х) ду„(х) + ~ У(х) с(Кс ( «). (34) Покажем, что первый из написанных интегралов может быть представлен в виде суммы а ~ У(х) Ыйа (х) = 1 Яса) Ть, а а (35) где с„— точки РазРыва д(х) и Та — полные скачки е'(х) в этих точ- ках.
Будем считать, что число точек разрыва бесконечно. Полагая ма(х)=2„(х) + фа(х), можем написать а;, (х) = а (х) + г (х), где и СО а (х)= '~Р ма(х); г„(х)= '~Р ма(х). а-1 а и+1 Далее, в силу непрерывности г"(х), имеем [2] а У(х) (ма (х) =Х(са) Та, Имеем неравенство О(г„(х)«=Т„на+Т „т+..., и, в силу сходимости ряда, составленного из Т», можем при любом заданном положительном а фиксировать такое М, что для любого х О~г (х)~а при т)М. (ЗБ) 33 Фнзнчнскля ннтегпгетлция 71 и, следовательно, (37) Функция у(х) ограничена, т.
е. )у(х) ) ( С, и для слагаемых последней суммы имеем оценку /у(са) уа ( ( С уа, откуда видно, что ряд, составленный из чисел г"(са)уы абсолютно сходится. Для интеграла по неубывающей функции г (х) имеем, в силу (36), оценку ь 1У(х)г(г (х) ~(.. (т)Л), О откуда, в силу произвольности а, следует, что разность а а ь ~Л )(а.( ) — ~У( )( ( )=~А )( ( ) стремится к нулю при возрастании ~п, т.
е. ) 1'(х) г(8л (х) 1!щ ~ у'(х) г(а,„(х), откуда, в силу (37), и следует формула ~3 У(х) г(8а (х) = ~~~~Яса) О й=! (38) 7. Физическая интерпретация. Дадим физическую интерпретацию функции п(х) и интеграла Стилтьеса. Положим, что на промежутке [а, Ь1 распределена материя, и пусть тг(х) — масса, находящаяся на промежутке (а, х), и п(а) — масса, находящаяся в точке х=а, если такая сосредоточенная масса существует.
В противном случае полагаем а (а)=0. Разность д(г() — п(с) дает массу, содержащуюся на промежутке (с, Ы). При стремлении положительного числа Ь к нулю промежуток (х, х+ й) сжимается, и любая точка выйдет из промежутка (х, х+Ь) при достаточно малом Ь, так как левый конец не принадлежит этому промежутку. Функция а (х) является возрастающей функцией (масса — положительна), и, в силу сказанного выше, естественно подчинить функцию а (х), характеризующую распределение масс, условию п(х+ Ь) — а (х) — ь 0 или д(х) = п(х+ О), т.
е. функция п(х) должна быть непрерывна справа во всех точках разРыва непрерывности, кроме х= Ь. Не имеет смысла говорить о непрерывности на правом конце промежутка, ибо при х ) Ь функция !8 интвгвлл стилт! Гол не определенз. Внутри промежугка сосредоточенные массы имеются в точках разрыва непрерывности и (х), и величина сосредоточенной массы определяется разностью »г(х) — д(х — 0). То же и для праного конца промежугка.
Общее количество материи на промежутке [а, Ь] равно и (Ь). Все сказанное годится как для конечного, так и для бесконечного промежутка. Характерным в предыдуших рассуждениях был тог факт, что мы не пользовались понятием плотности распределения. Центр тяжести распределенной материи будет определяться формулой хс =,(Ь) ~ х йй (х). а 8. Функции ограниченной вариации. До спя пор мы предполагали, что интегрирующая функция и(х) возрастает. Лля гого, чгобы перейти к интегралам с более общими функциями и(х), мы введем некоторый класс функций, который и будет служить для нас основным классом функций, к которому должны будут принадлежать все интегрирующие функции и(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
