1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Оно было впервые введено голландским математиком Стилтьесом в 1894 г. в его исследованиЯх о непРеРывных дРобЯх и полУчило затем широкое развитие и применение как в чисто математических вопросах, так н в вопросах естествознания. Пусть на конечном промежутке [а, Ь] заданы две функции у(х) и й (х), принимаю!цие в каждой точке этого промежутка конечные значения.
Вместо суммы (1) составим сумму и ' =,~, У(1й) [у (х,) — и (х„,)]. й ! (2) Эту сумму назовем суммой Римана — Стилтьеса. Если при беспредельном измельчании подразделений и любом выборе точек й написанная сумма стремится к определенному конечному пределу, то говорят, что функция у'(х) интегрируема по функции д(х) на промежутке [а, Ь], и пишут ~ у (х) г(д (х) = Игл йй' Д$„) [ д (х„) — я (х,,)]. а й=! ь р р ь Л(~)Ф(~)= ~~', ] Л(~)Ф( )! а й=! й ! а ь р ь у(х) а! ~Р айяй (х) = ~! ай ~ у(х) ь!д (х); а й-! й-! а ь с ь ~ У (х) г(д (х) = ~ у(х) сК~ (х) + '] у (х) !Ку (х).
а а а (ай — постоянные). (3) В интеграле Римана роль п(х) играет х. Введенный интеграл обладает, очевидно, многими свойствами, аналогичными свойствам интеграла Римана, и доказательства этих свойств проводятся совершенно так же, как н для интеграла Римана.
Приведем эти свойства, считая, что все интегралы, вкодяп!ие в нижеприведенные формулы, существуют! !6 [2 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА Кроме того, имеем очевидную формулу ь Р~(х) =~(Ь) — ~(п) а В первой и второй формулах (3) из существования интегралов, входящих в правую часть, следует существование интеграла, стоя- щего слева. Остановимся на выводе формулы интегрирования по частям. Поло- жим, что существует интеграл от функции д(х) по функции 7(х), и покажем, что при этом существует и интеграл от у(х) по д(х). Преобразуем сумму (2), собирая члены, содержащие значение функ- ции А (х) в совпадающих точках, л-! а= — ~д (х„) [7'(чл„) — у(( )[+ с (Ь)у(т„) — д(а)~Д).
М=! Прибавляя и вычитая разность [7'(х) д(х)[~ = 7'(Ь)у(Ь) — у(а) д(а), можем написать л †! в = [)'(х) д (х)1,' — ~д. (х,) [7 ((„!) — у (с„)[+ А=! + у(а) [у(1!) — 7(а)) + А (Ь) [у (Ь) — у($„)[ 1. (5) В фигурных скобках стоит сумма Римана — Стилтьеса (2) для интеграла от !Г(х) по 7(х). по условию существует интеграл от тт(х) по у(х), т. е.
при беспредельном измельчании деления фигурная скобка стремится к этому интегралу. Таким образом, в силу (5), сумма а имеет предел, т. е. существует интеграл от у(х) по д(х), и мы можем написать формулу интегрирования по час~ям: ~ 7'(х) с(у (х) = [7 (х) у (х)1~ — ~ у (х) т(~(х) (6) а а или '[у (х) Ыу(х)+ ~Ь'(х) ф(х) =[~(х)д(х)]а, (7) а а причем из существования одного из написанных интегралов следует существование другого интегрзла. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬВСА И ВГО ОСНОВНЫВ СВОЙСТВА 12 2] Отметим два частных случая интеграла Стилтьеса.
Положим, что промежуток [а, Ь] разбивается на конечное число частей а= с ( с, ( ... ( ср, ( ср — — Ь и внутри каждого из промежутков (сь-н сд) функция К (х) сохраняет постоянное значение »гд, Таким образом, в каждой точке сд, лежащей внутри промежутка [а, Ь], фУнкциЯ У(х) испытывает скачок гд = Агд»1 — »г». Возможны также скачки и на концах промежутка: скачок зд = А㻠— л'(а) на левом конце и ар †в'(Ь) — ур на правом конце. Положии далее, что функция у(х) непрерывна во всех точках разрыва сд и на концах промежутка. Пусть точки сд не являются точками деления промежутка на части, кроме с, и ср. В сумме (2) все слагаемые, у котовых хд, и хд лежат внутри одного и того же промежутка (с „сд), 6УдУт РавнынУлю, так как в этом слУчае Аг(хд 1)=Р(хд). Если пРомежуток [хд „ хд] содержит точку разрыва с, то при беспредельном измельчании у (дд) будет стремиться к у (с ) й д (хд) — р (хд 1) к л, и непосредственно ясно, что в предеие сумма (2) даст следующую конечную сумму: л л 1 ни ~ ~ ~ Я д ) [ Д ( х д ) ф х д 1 ) ] ~ У ( с д ) з д й-1 д-д (8) л л ~ у(!») [А (хд) — л (х,)] = ~> у(дд) д'(Гд) (хд — хд,), (9) »=1 д — 1 где д'„— значение, лежащее внутри [хд нх ].
Мы можем положить у(»д»)=г'(Е'д)+дд, причем, в силу равномерной непрерывности у (х) в [а, Ь], наибольшее из [лд [ стремится к нулю при беспредельном измельчании подразделений, т. е. при любом заданном положительном й существует такое положительное ть что ]ад](й, если 8(тр Сумму (9) мы можем переписать так: л ~~',И.) [К(х.) — 8'(х.
)]= й-1 л л =,У' У (('д) д' (Е'д) (хд — хд 1) + У лдд' (Е'д) (х» — хд,), (9,) й-1 й-1 Если точка с является точкой деления [а, Ь] на части, то надо рассмотреть оба промежутка, имеющие с концами, и результат будет таким же. Рассмотрим теперь второй частный случай. Положим, что у(х) и Аг(х) непрерывны в [а, Ь] и Аг(х) имеет внутри [а, Ь] производную л"(х), интегрируемую по Риману и, следовательно, ограниченную.
Применяя к разности Аг(хд) — »г(хд 1) формулу Лагранжа, можем записать сумму (2) в виде интегвлл стилтьесл Произведение двух функции, интегрируемых по Римзну, также интегрируемо [1; 117), и первое слагаемое правой части написанной формулы при беспредельном измельчании подразделений стремится к интегралу Римана от произведения ~(х) д (х).
Нетрудно показать, что второе слагаемое стремится к нулю. Действительно, функция д'(х), как упомянуго выше, ограничена, т. е. ) л'(х)[ ( М, где М вЂ” определенное положительное число. Как мы упоминали, если задано положительное ь, то существует такое положительное ть что )ь„) (ь при 3 (ть и мы имеем оценку: н и вью~ (1 ) (хь — х~ 1) (,) ьМ (хь хь ь) = ьМ (Ь а), ь=ч ь-1 из которой, в силу произвольности ь, и следует, что второе слагаемое правой части формулы (9,) стремится к нулю. Таким оброзом, в пределе получаем ь ь ~у(х) сь'ь (х) = ~ у(х)е'(х) с(х, (10) 3. Суммы Дврбу. При рассмотрении интеграла Римана мы вводили так называемые суммы Дарбу. Аналогичные суммы будут играть основную роль при всех обобщениях понятия интеграла, которые введем в дальнейшем.
В настоящем параграфе мы построим эти суммы и исследуем их свойства для случая интеграла Стилтьеса, определенного выше. Все понятия, которые введем в настоящем параграфе, и факты, которые мы при этом докажем, будут с некоторыми несущественными изменениями повторяться и при дальнейших обобщениях понятия интеграла, и мы часто будем ссылаться на результаты настоящего параграфа. т. е. при сделанных предположениях интеграл Стилтьеса сводится к обычному интегралу Римана. В предыдущем случае он вырождался в конечную сумму.
Нетрудно показать, что формула (1О) остается справедливой, если вместо непрерывности у(х) потребовать, чтобы она была интегрируемой по Риману. В дальнейшем мы рассмотрим вопрос о существовании интеграла Стилтьеса, определенного нами выше, и некоторых более общих интегралов, определение которых будет дано потом. Существенным при этом будет тот факт, что функция д(х) будет считаться неубывающей в [а, Ь). Неубывающую функцию мы будем часто называть в дальнейшелг возрастающей.
У такой функции в'(Ь) является ее наибольшим значением и ь (а) наименьшим значением. Следующий параграф носи г подготовительный характер. Он будет иметь основное значение не только при исследовании вопроса о существовании интеграла Стилтьеса, определенного изми выше, но и при исследовании того же вопроса для интегралов более общего типа, которые мы введем в дальнейшем. 19 СУММЫ ДАРВУ 3] Напомним прежде всего определение точных границ множества вещественных чисел [1; 39].
Пусть имеется некоторое множество 3 вещественных чисел, и положим, что оно ограничено сверху, т. е. существует такое число с, что все числа множества меньше г.. При этом существует одно определенное число М, обладающее следующим свойством: все числа множества $ не больше М, но при любом положительном 5 имеются числа множества 3, которые больше М вЂ” а. Это число М называется точной верхней границей м н о ж е с т в а 3. Совершенно аналогично, если множество ограничено снизу, т. е. если все числа множества больше некоторого определенного числа, то это множество имеет точную нижню:о границу ш, которая обладает следующим свойством: все числа множества 3 не меньше лг, но при любом положительном е имеются числа множества 3, которые меньше т+а. Если множество неограничено сверху, то говорят, что его точная верхняя граница равна (+ со), и, точно так же, если множество неограничено снизу, то говорят, что его точная нижняя граница равна ( — оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
