1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Аналогичное рассуждение применимо и для суммы конечного числа счетных множеств, т. е. сумма конечного ч ясла счетных множеств есть счетное множество. Положим, что имеется счетное множество счетных множеств. Элементы всех этих множеств можно обозначить буквой с двумя целочисленными индексами ап', Верхний индекс указывает номер того множества, к которому принадлежит элемент, а нижний — тот номер, который указанный элемент имеет в том счетном множестве, к которому он принадлежит. Нетрудно пронумеровать все элементы айв Р В качестве первого элемента возьмем тот эл мент, у которого оба индекса равны единице: а1".

Возьмем затем те элементы, у которых сумма индексов есть три, и расположим в порядке возрастания верхнего индекса. Таким образом, мы получим второй и третий элементы суммы множестю а~", а',". Возьмем теперь те элементы, у которых сумма индексов равна четырем, и расположим их в порядке возрасгання верхнего индекса: аа", аг", а'~". Это даст нам четвертый, пятый и шестой элементы суммы множеств. Продолжая это построение, мы убеждаемся в том, что сумма счетного числа счетных множеств есть счетное множество. Это утверждение, очевидно, осталось бы в силе, если некоторые из слагаемых множеств были бы не счетными, а конечными множествами.

Пусть имеется некоторое бесконечное множество А. Выберем из него какой-нибудь элемент и припишем ему номер один. Оставшееся множество по-прежнему будет бесконечным. Выберем из него какой- нибудь элемент и припишем ему номер два. Продолжая так и дальше, мы видим, что из всякого бесконечного множества можно выделить счетное множество. Оставшееся после тзкого выделения множество может быть илн пустым, т. е. Ие содержащим ни одного элемента, нли конечным, или бесконечным. Покажем, что если это оставшееся множество бесконечно, то оно имеет ту же мощность, что первоначальное множество, т. е.

справедливо следующее утверждение: е с л н п о с л е в ы д е л е н и я и з бесконечного множества А счетного множества Р остается бесконечное множество В, то множества А н В имеют одинаковую мощность. Выделим из бесконечного множества В вновь некоторое счетное множество ьг, и пусть С— остзвшееся множество. При этом первоначальное множество А рззобьется на три множествз А=Р+9+ С, из которых множество С может быть и пустым, а может быть и бесконечным, а множества Р н г,' суть счетные множества.

Во второго выделения мы имели А = Р+ В. Нетрудно установить биоднозначное соответствие между элементами А и В. Действительно, мы имеем А =Р+Я+ С и В=Я+С. Сумма счетных множеств Р+Я есть счетное множество, и, следовательно, между элементами Р+Я и Сг' можно уста- множвствл и их мощность н вить биоднозначное соответствие.

Каждый элемент множества С »риведем в соответствие самому себе. Таким Образом и будет уста„овлено биоднозначное соответствие между элементами А и В. Из доказанного утвер>кдения непосредственно вытекает, что е с л и к бесконечному множеству добавить счетное множество, то вновь полученное множество будет иметь ту же мощность, что и первоначальное множество. г>ба утверждения о вычитании и добавлении счетного множества остаются в силе, если счетное множество заменить конечным. Доказательство приводится совершенно так же, как и выше, Мы показали раньше [1Ч; 15), что множество рациональных чисел, принадлежащих некоторому промежутку [а, Ь[, илн множество всех рациональных чисел есть счетное множество.

Это доказывается совершенно так же, как и утверждение о счетности суммы счетного числа счетных множеств. Роль верхнего индекса играет числитель дроби, а роль нижнего индекса — ее знаменатель, причем сначала надо рассмотреть положительные дроби, Приведем теперь пример несчетного множества. Рассмотрим все вещественные числа, принадлежащие промежутку [0,1[. Каждое из них, кроче нуля, мы можем представить бесконечной десятичной дробью с целой частью, рзвной нулю, и наоборо~ каждой такой десятичной дроби будет соответствовать некоторое вещественное число из указанного промежутка. Конечными дробями мы не пользуемся, так как конечная дробь дает то же число, что и бесконечная, имеющая в периоде 9, например 0,37 = 0,36999... Покажем, что множество упомянутых вещественных чисел несчетно.

Ведем доказзтельство от обратного. Положим, что все указанные десятичные дроби совместно с дробью 0,00..., дающей левый конец промежутка, можно пронумеровать. Составим новую десятичную дробь с целой частью, равной нулю, следующим образом. В качестве первого десятичного знака возьмем какую-нибудь цифру, отличную от первого десятичного знака первой из пронумерованных десятичных г дробей, в качестве второго десятичного знака возьмем какую-нибудь цифру, отличную от второго десятичного знака второй из пронумерованных дробей, и т. д.

Получится бесконечная десятичная дробь (цифрой 0 при составлении десятичных знаков новой десятичной дроби мы пользоваться не будем), которая отлична от всех пронумерованных десятичных дробей. Таким образом, соответствующее ей вещественное число не пронумеровано, а это противоречит тому, что все вещественные числа из промежутка [0,1[ пронумерованы. Таким образом, мы показали, что множество всех вещественных чисел, принадлежащих промежутку [0,1~, несчетно. Говорят, что это множество имеет м о щ н о с т ь к о н т и н у у м а.

Нетрудно видеть, что множество вещественных чисел, принадлежащих любому конечному промежутку [а, Ь[, имеет ту же мощность, что и множество вещественных чисел, принадлежа>цих промежутку [О, 1). Биоднозначное соответствие между элементами этих множеств уста- [2 интзгвлл стилтьзс» х — а навливается формулой у = а .

Когда х пробегает пролежу гок [а, Ь], переменное у пробегает промежуток [О, 1]. Если использовать формулу у = !я!ях — — 11, то при изменении х внутри промежутка [О,1] 2(' переменнзя у пробегает множество всех вещественных чисел, т. е. множество всех вещественных чисел также имеет мощность конти ну умз. Если канны промежутка мы не будем причислять к множеству, то это не изменит его мощности, тзк кзк добавление или вычитание из бесконечного множества конечного множества не меняет его мощности. В дальнейшем замкнутый промежуток мы будем обозначать символом [а, Ь], а открытый промежуток, т. е.

промежуток, к которому не присоединяются копны, символом (а, Ь). Если левый конец не присоединяется, а правый присоединяется, то будем пользоваться символом (а, Ь], аналогичное значение имеет [а, Ь). Числа а и Ь могут принимать и бесконечные значения: а = — оо и Ь= + со, т. е. рассмзтривземые промежутки могут быть бесконечными ивлево и напрзво. Нзпример, замкнутый промежуток [ — со, + со] содержит оба бесконечно далеких элемента. В соответствии с этим и функпияг"(х) может быть определена при х = — со, и х = + оо, и мы можем, например, писать г"( — со).

Непрерывность при х = — со равносильна условию 1!ш г"(х)=Д вЂ” со). Аналогично и для х -ь + оо. х — со Кроме того, можно пользоваться и обычными обозначениями 1!ш у (х) =Г"( — со + О) и !!ш у (х) = Г"(+ со — О). л к +оэ Нетрудно показать [1; 43], что функпия г"(х), конечнзя и непрерывная в замкнутом промежутке [ — со, + со], равномерно непрерывна в этом промежутке. 2. Интеграл Стилтьеса и его основные свойства. Нзпомним определение интеграла Римана, которым мы обычно пользовались в предыдуших томах.

Пусть [а, Ь] — конечный промежуток и у(х)— ограниченная функпия, заданная в этом промежутке. Подрззделяем промежуток на части а =х, ( х, (... (х, , ( х„ = Ь, на каждом из частичных промежутков [х» о х»] берем некоторую точку 1» и составляем сумму произведений: а= г г"(1»)(х — х,,). Если при беспредельном измельчании подразделений и любом выборе точек 5» написанная сумма имеет определенный предел А, то этот предел и называют интегралом отг"(х) по промежутку [а, Ь[. Пусть 3— наибольшая из разностей х„ — х„ ,. Беспредельное измельчание промежутка [а, Ь] на части равносильно тому, что 3 -+ О, и существо- интяграл стнлтьвсл я аго основныв свойства 1б определенного предела А у суммы (1) равносильно следующему: при рн лк)бом ззданнон положительном й сУществУет такое положительное ть что а й,',й Убй) (хй — хй ) й=! при ь =,т! Совершенно аналогично можно построить более общее понятие интеграла.

Характеристики

Список файлов книги