1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если а(х) непрерывна в точке с, то, в силу доказанного, функции у1(х) и «ч(х), определяемые формулами (44), также непрерывны в точке х= с. Утверждение это справедливо, очевидно, для непрерывности справа или слева. Теорема 7. Если а(х) — ограниченной вариации, и [8 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА нерзвенство по-прежнему имело бы место. Таким образом, для некоторого подразделения к=х, 'х, (...х„ , (х„ = р будем иметь л [~ „, ) .(.„„, ла) л(.)])„.()) „.(., ()д С другой стороны, можем, очевидно, написать л уф) — а(а)= ~ [д(ха) — а.(ха ))); А-1 л ил) (р) — Р", (а) = у [Рл((ха) — а', (ха,)), А-1 и, следовательно, неравенство (5!) может быть записано в виде — [[л(ха) — а (х„,) [+д'(ха) — а(ха 1)[) 1 А=) ) ~~ [Р,'(ХА) — Рл)(ХА 1)).
л=) По крайней мере одно из слагаемых левой части должно быть больше соответствуюн(его слагаемого правой части. Пусть это будет при 7г=р. Это приводит нас к следующему неравенству: 2 [[8( Р) 8'( Р-1)[+8'( Р) Р( Р-1))) 1 ) д1, (хр) — Р(,(хр,). (52) Если 8'(хр) — а'(хр 1)(0, то это неравенство нелепо, так как его левая часть равна нулю, а правая неотрицательна, ибо по условию ул)(х) возрастает.
Остается считать, что д(хр) — у(хр 1))0. При этом неравенство (52) может быть записано в виде и(х ) — д(хр 1))д(,(х ) — 8.л,(хр 1), или, в силу (47), оно приводит к неравенству — [~я (хР) — йя (хр 1) ) ) О, что нелепо, так как, по условию, л'"(х) возрастает. Таким образом, мы пришли к нелепости, и неравенство (49), а тем самым и вся тео- рема доказаны. Представление (45) в виде разности двух возрастающих функций Р)(х) и Р,(х), которые определяются по формулам (44), называется обычно каноническим представлением функции огра- ниченной вариации ввиде разности двух возрастаю- 9] интвггигтющйя эвикция огганичвнной вйгилции 4! шик фу нк ц и й.
В силу доказанной теоремы функции и! (х) и пй(х), входящие в каноническое представление, возрастают не интенсивнее, чем функции, входящие в какое-нибудь другое представление. Если добави~ь к !г!(х) и ея(х) одну и ту же постоянную с, то это не изменит, очевидно, ни их разности, ни их приращения на любой части [п, 'р] промежутка [а, Ь], и полученное представление п(х) в виде разности йг(х)+с и ай(х)+с также можно назвать каноническим.
Замечание. Каждую из возрастающих функций пг(х) и ий(х) можно разбить на функцию скачков и непрерывную часть: я'! (х) = кгл (х) + к!й (х)! к! (х) = кял (х) [ ~я~ (х). Это приведет нас к вполне определенному разбиению первоначальной функции я.(х) на функцию скачков и непрерывную часть я (х) = [л!а (х) — вял (х)]+ [л!, (х) — йя, (х)]. (53) 9. Интегрирующая функция ограниченной вариации. Если 1(х) — непрерывная функция на [а, Ь] и е.(х) — ограниченной вариации, то, пользуясь представлением п(х) в виде разности двух возрастающих функций, можем написать и и ~ у((й) [у(хй) — д(хй,)]= '5" у((й) [ !(х,) — й!(х„,)]— й-! й-! л —,т' у ($й) [ля (хй) — яя (хй,)].
(54) й-! Суммы, стоящие справз, имеют определенный предел при беспредельном измельчании промежутков, и, следовательно, то же можно утверждать и относительно суммы, стоящей слевз, т. е. не п реры зная функция интегрируема по функции ограниченной вариации. Предельный переход в формуле (54) дает: ~ У(х) в!А (х) = ~ у(х) с(а! (х) — ] у(х) г(д(х).
(55) Укажем на те изменения, которые надо внести в формулировку свойств интеграла Стилтьеса, если я(х) есть функция ограниченной вариации. Мы имеем ! л П ~~ УА)Ы(хй) — 9(х )] ~~,~ [а(хй) — К(х -!)[~~У,'(К) й=! й=! [9 интвгглл стилтьес если [ Г(х)[ =.Г.. Предельный переход дает ь [ У"(х) Ы8.(х) (ЕЛ~а(8). а (56) Эта формула заменяет формулу (21) из [4).
Напомним еще формулу [2) ь Р и Ь ~ У"(х)в! 1! аьа„(х)= ~ аь ~ У(х)!(8,(х). ч ь=! ь=! а Р (х) = [ у (г) в!5 (1). ч (58) Покажем, что функция Е(х) есть функция ограниченной вариации. Составим для [а, х[ сумму 1,! ~ ~(() ~к(() !е =,~ ь=! ч ь †! Применяя формулу (56), получим л М) = 5 к „(л') ь-! 'а — ! откуда и следует наше утверждение. В тех точках, где д(х) непрерывна, н функция У" (д) непрерывна, и из неравенства А+А ~ Дх) с(д(х) ~ Е1/':+" (а) непосредственно вытекает, что в этих точках и Г'(х) непрерывна. Докажем еще следующее утверждение: если Г(х) и !у(х) н е п р ер ы в н ы н а [а, Ь[ и я. (х) — о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и, т о имеет место ф ормула ь Г ." ь ~ ~(х)(~~И)(8 И)~= ~ у(х)1(х)г1а(х) а а а (59) Если ь„(х) — ограниченной вариации, то и их линейная комбинация а!у!(х) + ...
+ ард',(х) есть также функция ограниченной вариации. Рассмотрим интеграл Стилтьеса с переменным верхним пределом для того случая, когда Г(х) непрерывна и и (х) — ограниченной вариации: 43 сугциствонлнив интвгРАЛА стнлтьвсл Лостаточпо доказать эту формулу для случая возрастающей р(х). Составим для интеграла, стоящего в левой части формулы (59), сумму аь.
аь = у ~ь (сь) ] ((Ь) с(а (г), пли, согласно теореме о среднем [4]: а, = ~~ ср(]ь)((]ь) [и(хь) — р(хь,)]. ь=~ (60) Точки с» и сь принадлежат одному и тому же промежутку, и, рассуждая совершенно так же, как это мы делали для формулы (9) из [2], убедимся, что сумма, стоящая в правой части, формулы (60), в пределе дает интеграл, стоящий в правой части (59), и этим самым эта последняя формула доказана. ]й(Ьл) — лс (ал)] ( ь.
(61) Положим теперь, что л(х) — функция ограниченной вариации. Пусть имеется канониче кое разбиение этой функции (45) и какое-либо другое 1О. Существование йнтеграла Стилтьеса. До сих пор мы рассматривали интеграл Стилтьеса от непрерывной функции з'(х) по функции ограниченной вариации а(х). Из формулы интегрирования по частям следует ]2], что функция ограниченной вариации в(х) интегрируема по непрерывной функции у(х). Ниже мы укажем некоторые простые условия, касающиеся существования интеграла Стнлтьеса в других случаях.
Будем предпоаагать, что У(х) и е(х) ограничены на конечном промежутке ]а, Ь] и е(х) — неубывающая функция. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться интегралом Стилтьеса лишь в случае непрерывности У(х), приведем указанные ниже результаты без доказательства. !. Для существования интеграла Стилтьеси необходимо, чтобы У(х) была непрерывна во всех тонких разрыви л (х), и, если зто условие выполнено, то з (х) интегрируема по функции скачков йв (х) и интеграл от у (х) по еа(х) ьыражаел~ся формулой (35).
Если вьцюлнено указанное необходимое условие интегрируемости, то вопрос об ннтегрируемости У(х) по д(х) сводится к вопросу об интегрнруемости У(х) по непрерывной неубывающей функции вс(х). Если, например, У(х) — функция ограниченной вариации, то, как указано выше, интегрируемость имеет место. Приведем необходимое и достаточное условие интегрируемости У(х) по ас(х). П. Для интегрируемости У(х) по лс (х) необходилсо и достаточно выполнение следующего условик при люболс заданном положительнолс ь лсожно покрыть точки разрыва непрерывносспи У(х) конечным или счетнылс множеством промежутков (иь, Ьл] (которые могут и перекрываться) так, что имеет лсесто неравенство 44 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЪЕСА разбиение (47).
Составим разность За — эа для я((х) и й"(х)) бз — эз — — 11 (Мь — ть) [й((хь) — й((хь ()], ь=! л (62) Бь — ль= ~ (̄— тл) [яь(хл) — й';((хь,)]. ь=! Мы видели выше, что К( (хь) — К((хь () (К~ (х ) — К, (хь (), и, следовательно, если при беспредельном измельчании промежутков 5 — э" — О, то и подавно бь — вь О, т.
е. если у (х) интегрируема по яч((х), то она интсгрируема и по е((х). Совершенно аналогично, если у (х) интегрируема по еь, (х), то она ннтегрируема и по яе(х). Нб из интегрируемости по яь (х) не следует интегрируемость под„"(х) (й = 1,2). Таким образом, для испытания интегрируемости 1(х) по д(х) надо испытать интегрируемость Т'(х) по я((х) и ее(х). Если у (х) интегрируема по е( (х) и ее (х), то будет существовать интеграл от г"(х) по я(х), и он будет выражаться формулой (55).
П1. Онтегрируелсость т'(х) по рл (х) и яь(х) равносильна интегрируел(ости у(х) по полной вариации 1«(А) =я((х)+йе(х). Это утверждение, как и утверждение 1, доказывается просто. Значительно более сложным является доказательство утверждения П. 11. Предельный переход в интеграле Стилтьеса. Мы укажем в этом и следующих параграфах некоторые теоремы, касающиеся предельного перехода под знаком интеграла Стилтьеса. Одйу из таких теорем мы имели и раньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
