1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Это число пв называется нормой фу н кц ион а па Ф(/). Его часто обозначают также через [[Ф [[. Имеем [ Ф (/) ! ( пв [[/[[, (8!) 15. Общая форма функционалов в С. Мы докажем сейчас важную теорему-Ф. Рисса о том,.что. всякий ли~ейный функционал Ф(/) в С может быть представлен формулой (78), где»(х) — функция ограниченной вариации, определяющая этот функпионал. Но, как мы видели выше, вснкий интеграл (78), где »(х) — фиксированная функция ограниченной варлации, — представляет собой линейный функционал в С.

Таким образом, после доказательства теоремы Рисса можно утверждать, что интеграл (78), где 8(х) — функция ограниченной вариации, — представляет собой общую форму линейного функционала в С. Теорема (Ф. Рисса) Всякий линейный функционал в пространстве С может быть представлен формулой (89), где»(х) есть пехот»оран функция ограниченной вариации. При доказательстве этой теореиы мы будем пользоваться полиномами специального вида, которые были впервые построены академиком С.

Н. Бернштейном и о которых уже говорили раньше. Напомним построение и основное свойство этих полиномов, Пусть /(х) — непрерывная функция на промежутке [О, 1[. Полинам Бернштейна, соответствующий этой функции, имеет вид ь р (х) = эт /[»~ ) С~хм(! х)л-т'(Ст п(п — !)... (и — т+1)Г (8») т! т=о Как мы показали раньше [П; 154[, при беспредельном возрастания п последовательность полиномов Р„(х) стремится равномерно на промежутке [О, 1[ к функции /(х).

Лля доказательства теоремы преобразуем промежуток [а, Ь[ в промежуток [О, ![ при помощи линейной замены независимой переменной у = (х — й): (Ь вЂ” и), При этом пространство функций, непрерывных на [а, Ь[, перейдет в пространство функций, непрерывных на [О, 1[, и при доказательстве мы буделг считать, что основной промежутон [а, Ь[ есть уже промежуток [О, 1[. Пусть Ф [/(х)[ — некоторый функпионал в пространстве С. Мы должны доказать, что его можно представить по формуле (78) — где 8(х) — некоторая функция ограниченной вариации на промежутке [О, 1[, Мы имеем очевидное равенство л Стхт (! — х)" =1. т о но (77) уже не может иметь место для всех /(х) из С, если взять гЧ) пв, Отметим еще, что ттв — О, и если пв — — О, то из(81) следует Ф(/) =0 для любого элемента /(х) из С, т.

е. функционал Ф(/) любому элементу /(х) сопоставляет число нуль. Из сказанного выше следует, что норма функционала, представимого формулой (78), не превышает И (и). Напомним, что в четвертом ь томе мы рассматривзли пространство В непрерывных функций, но с другим определением нормы элемента [!Ч, 35[. ощцля ооимл втнкшгонллов н С 15] 55 и все слагаелгые написанной суммы неотрицательны, если х принадлежит ]0,1]. Отсюда следует, что если а„— числа, равные +1 нли — 1, то имеет место неравенство а,дС~х (! — х)" )(1 (0(х(1).

! т=о (83) Л тмф ]Смхм (1 — х)" иг]~ (и м=о (84) Выберем теперь знаки а так, чтобы произведение т Ф(Смхм(1 — х)л-м] было неотрицательным при всяком вь При таком выборе а неравенство (84) может быть записано в виде Л Х (Ф]С„. "(1 — )"- ](-". м =-о (85) Разобьем промежуток ]О,!] на и равных частей и определим функцию д„(х) так, чтобы она сохраняла постоянное значение на каждом из частичныл промежутков, а именно определим эту функцию слелующим образом; 8„(0) =0 дл (х)=ф ]Сох (1 — х)" '] 1 при 0(х( —, л' дл (х) = Ф (Си„хт (! — х)"-']+ Ф (С„'х(1 — х)" '] 1 2 при — - х(— и и' л йл(х) = т Ф(С~х (1 — х)" ~] 2 3 при — (х ( —, л п' (86) п — ! и — 1 при — ( х (1, и дл(х) = ~~ г1т]С~мх (1 — х)" м] лг=о Л ил(1)= ~~~ Ф(С~~х (1 — х)" ~].

Полная вариация функции пл(х) равна, очевидно, сумме абсолютных значений скачков дл(х) в точках деления и на концах промежутка. В силу (85) мы будем иметь )г (лл) (ле. Точно так же из (85) и определения функции лл(х) непосредственно следуют неравенства (ил(х) , '(пе. Таким образом, к последовательности функций дл(х) применима теорема ! из ]!3], н мы можем утверждать, что существует такая последовательность возрастающих целык цоложительныа чисел и„, что во всех точкак (О, 1] дл (х) стремятся к некоторой Ла Применяя функционал ф (7" (х)] к папиному, стоящему в левой части неравенства (83), получим, в силу (77) и (83), 56 ннтигвлл стилтьйсд функции ограниченной вариации я(х).

Мы докажем сейчас, что эта функция я(х) и будет входить в правую часть формулы (78). Составим интеграл Стилтьеса от у(х) по ял(х). Он равен сумме произведений значений функции У'(х) в точках разрыва пл(х) на величину скачка в этик точках, т. е. [6]: В силу формул (76) и (82) правая часть представляет собой значение функционала Ф [г"(х)] для У'(х) = Р„(х), т. е. 1 У(х) Црл (х) = Ф [Р„(х)[. Применим эту формулу при и= па.

У( ) 'а „( ) = Ф [Р; (~Н. о (87) При беспредельном возрастании пл Р„„ (х) — У'(х) равномерно на [О, 1], и, в силу непрерывности функционала Ф [У(х)], формула (87) дает ф[у'(х)]= Вгп ~ у(х) йя„„(х). л сои ! Ф [У(х)] = У'(х) г(д(х). (88) Покажем, что по — )г„(я). Из формулы (88) непосредственно следует, как мы видели в [14[, что и ( ~",(д). С другой стороны из указанного выше неравенства )г[(я„л)(пе вытекает, что и у[(я) (и .

указанные два неравенства и приводят к равенству и = )г[(л). Рассмотрим вопрос об единственности представления функционала Ф (У) формулой (88). Пусть И (х) — функция ограниченной вариации, значения которой отличны от значений я(х) на некотором множестве 8 точек промежутка [а, Ь] причем у есть конечное или счетное множество. Нетрудно видеть, что интеграл ~ у(х) гуй (х) и (89) при любом выборе непрерывной функции у(х) равен интегралу (88). Действительно, поскольку множество точек любого промежутка содержащегося в [О,!], имеет мощность континуума, точки, не принадлежащие 8, образуют множество К правой части применима теорема 1 из [12], и мы приходим, таким образом, к формуле 57 ОвшАя ФОРИА Функципналон и С плотное на [О, 1[. Таким образом, при составлении сумм Римана — Стилтьеса для интеграла (88) а у (:"л) [й (хл) — й(хл,)[ а-! и при беспредельном измевьчании частичных промежутков мы можем брать точки деление, не входящие в $, откуда и следует совпадение интегралов (88) и (89).

Итак, изменяя функцию й(х) в конечном или счетном множестве точек, но так, чтобы и новая функция Ь (х) была функцией ограниченной вариации, получим интеграл (89), дающий тот же функционал в С, что и интеграл (88). В силу сказанного в [14[, мы можем утверждать, что пФ ( 1с„'(Ь), причем может иметь место и знак (. При построении е(х) указанным при доказательстве теоремы образом мы имели и = !с~~(Р). Поставим теперь следующий общий вопрос: для каких функций ограниченной вариации й (х) интеграл (89) определяет тот же линейный функционал в С, что и интеграл (88)? Вводя новую функцию ограниченной вариации и (хУ= И (х) †я(х), приходим к следующему вопросу: для каких функций ограниченной вариации и (х) мы имеем у(х) йм(х) 0 1 при О =х~х„ п)=~ 1 — пх+(1+их) при х, <х<х,-[- —, 1 0 при х, + — (х -1.

1 На среднем промежутке [х„ хс + — ! у (х) есть линейная функция, убы- и вающая от единицы до нуля, Равенство (90) при таком выборе л" (х) дает ! то+— св а йм(х) + ~ [ — их+ (1+ахр)[ йы (х) = О кв для любой непрерывной на [О,![ функции у(х)? Ответом на этот вопрос является следующая теорема: Теорема. Для того, ~тобы при любом выборе непрерывной функции у(х) имела место формула (90), необходимо и доссяаточно, чтобы функция ограниченной вариации ы (х) удовлетворяла следующим условиям: 1) во всякой точке непрерывности х= л, функции ы(х), лежащей внутри [О, 1[, имеет место равенство и(х,) = и (0)! 2) м(!) = и (0).

1 Н е о 6 ходи мое т ь. Выберем настольно большое и, чтобы хв) — и точка и ! х, + — находилась внутри [О, 1[, и определим непрерывную функцию у(х) следующим образом: 58 интвгглл стилтьвсл или о к +— м(х,) — м (О) + ~ ] — их+ (1+ их,)] сооо (х) =О. ко (9! ) Но мы имеем ]9] ! «о+— я ! ко+ — „ ] — их+ (1+лхо)] оооо(х)~ ( ! )г (оо). .оа а 6 — 0) + 8 (1 + 0) 2 или д(1) = и 6+ 0) — непрерывность справа, или 8(1) = и(! — О) — непрерыв- ность слева.

Поскольку я (х) по предположению непрерывна в точке х = х„можно ! ко+ — „ утверждать, что 1' "(оо) 0 при беспредельном возрастании л, и формула -оо (91) в пределе дает оо(хо)=оо(0). Второе условие м(1)=оо(0) получается из (90), если положить т'(х) =!. Д о с т а т о ч н о с т ь. Поскольку точки непрерывности функции ограниченной вариации расположены пяотно на промежутке ]О, 1], мы можем при построении суммы Римана — Стнлгьеса пользоваться только этими точками. Но при этом, в силу условий оо(х) = оо (О) = оо(!), все разности м (хо) — ы(хо о) будут равны нулю и, следовательно, будет иметь место (90) при любом выборе непрерывной функции у (х).

Теорема доказана. Тем самым мы доказали, что двя того, чтобы интеграл (89) лазал тот же линейный функционал в С, что и интеграл (88), необходимо и достаточно, чтобы разность й (х) — д (х) равнялась Ь (О) — д (О) во всех точках, где она непрерывка, а также при х = 1. Вернемся к формуле (88). Как известно, при любом представлении ф(У) интегралом (88) должно быть л, ()г„'(й). Мы имеем в формуле(88) лв — — !го'(и). Далее к 9(х) можем, конечно, добавить любое постоянное слагаемое.

Чтобы исключить эту многозна шость, будем считать в формуле (88) п(0) = О, У функции 8(х) может быть лишь конечное или счетное число точек разрыва, Рассмотрим такую точку разрыва о, что д(1 — 0)=8(1+О), но к(т) у28(1 — О) (устранимый разрыв). Если мы изменим 8(х) в одной точке х= 4, положив 8("-,) = 8(1 — О), то устраним этот разрыв, не изменив интеграла (88), но уменьшив Роо (д).

Характеристики

Список файлов книги