1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Таким образом, вопрос о существовании общего интеграла Стилтьеса свелся к вопросу о существовании интеграла от у (х) по непрерывной неубывающей фуннции кс(х). Длн этой последней функции регулярной последовательностью будет любав последовательность с бесконечно измельчающимися частичными промежутками. Если у (х) — монотонная функция на промежутке Ь, то, в силу формулы интегрирования по частям ]2], она интегрируеча на Ь по а,(х). Таким образом, асякая монотонная функция интегрируема по любой возрастающей ограниченной фунт!ии. Укажем еще класс функций, интегрируемых по любой мозрастающей ограниченной функции д(х).

Назовем функцию у(х) кусочно-постоянной на Ь, если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков Ь'", Ь'", ..., Ь'т' попарно без общих точек так, что у(х) на каждом промежутке Ь'А'(й = 1, 2, ..., т) сохраняет постоянное значение. Обозначим его буквой Ьл. Нетрудно видет~, что кусочпо-постоянная функция иптегрируема по любой лозрастаюитей функции и(х).

Действительно, если З есть подразделение Ь на части Ь'А' (Ь = 1, 2, ..., т), то суммы аа и За одинаковы: л = 8 =,') Ьла(Ь'ю). А=! (НЗ) Повторяя это подразделение З, мы и убедимся в том, что интеграл от кусочно-постоянной функции у (х) по и(х) существует и выражается суммой (!13). Применяя свойство У из ]19], видим, что если фуннция у (х) на промежутке Ь есть предел равномерно сходящейся последовательности кусочно-постоянных функпий, то у (х) интегрируема по любой возрастающей ограниченной функции (х). 6 тметим еще, что необходимое и достаточное условие интегрируемости г (х) по дс(х) то же, что было указано в ]10].

На доказательстве этого мы не останавливаемся. 3 а м е ч а н и е 1. Мы определили выше ]8] функцию ограниченной вариации и(х) на замкнутом промежутке ]а, Ь]. Совершенно аналогично можно ввести это понятие и на промежутках другого типа. Возьмем, например, открытый промежуток (а, Ь). Назовем функцию к(х) — функцией ограниченной вариации на (а, Ь), если она ограниченной вариации на любом замкнутом промежутке ]с, х], лежащем внутри (а, Ь), и )е",(и) для любых таких промежутков не больше некоторого числа.

При уменыпении с величина Ъ',"(д) не убывает н, следовательно, при стремлении с к а имеет конечный предел, который мы обозначим Уа+о(Ас). При стремлении х к Ь эта величина будет также иметь конечный предел, который называется полной вариацией и(х) на (а, Ь). Формулы (44) определят функции ис(х) и ис(х), которые входят в каноническое представление е(х) в виде разности неубывающих ограниченных функций д (х) = д,(х) — дс(х). Общий интеграл Стилтьеса определится затем в виде 121 70 интегялл стилтьвси разности интегралов по неубывающим функпиям а,(х) и аэ(х); У(х) да(х) = ) У(х) дл, (х) — ) У(х) дк, (х), и существование интеграла от У(х) по а(х) обусловливается существованием интегралов от у (х) по й> (х) и кв(х). Принимая во внимание сказанное выше, мы можем утверждать, что а смысле общего интеграла Стилтьесв функция ограниченной вариации и функциц которая является пределом равномерно сходящейся последовательности кусочно-постоянных функций, интегрируемы ио любой функции ограниченной вариации.

3 в м е ч а н и е 2. При интегрировании по полуоткрытым промежуткам (а, Ь) иногда вводят еще одно понятие интеграла, которое отличается от общего интеграла Стилтьеса только тем, что основной промежуток (а, Ь] разбивается не на промежутки любого типа, но лишь на полуоткрытые промежутки типа (с, д) без общих точек. Поскольку при этом множества чисел вв и $в могут оказаться лишь частью множеств этих же чисел для общего интеграла, то число 1 может уменьшиться, в число 1 — увеличи~ ься. Это повелят к тому, что если для общего интеграла мы имели 1=1, то при новом построении интеграла можем получить 1.с(, т. е. функция, ийтегрируемвя а смысле общего интеграла, может оказаться неинтегрируемой при новом определении интеграла.

21. Функции промежутков на плоскости. Понятие аддитивной функции промежутков и построение интеграла Стилтьеса становятся более сложными на плоскости, в трехмерном пространстве и вообще в многомерном пространстве. Мы рассмотрим случай плоскости. Из приведенных рассуждений будет легко видно, как их надо видоизменить для пространств с большим числом измерений. Пусть имеется плоскость с осями Х и ); и положим, что на оси Х задан некоторый промежуток й„, а на оси У неко~орый промежуток о, причем понятие промежутка мы понимаем здесь в общем смысле, о котором говорили в [20).

Эти промежутки Ь и й определяют некоторый промежуток й на плоскости, а именно мы считаем, что точка (х, у) принадлежит й, если х принадлежит и„ и у принадлежит й . Эти промежутки на плоскости могут быть самого разнообразного типа. Это может быть, например, замкнутый промежуток, определяемый неравенствами а =.х(Ь, с(у(с(, или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами а(х ( Ь, с(у (г(, или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами а(х(Ь, с(у(с(, или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами а(х(Ь, с(у(с(, или отрезок прямой параллельной оси Х: а(х~Ь, у=с, или точка х=а, у=с и т. д.

Числа а, Ь, с и ьс, входящие в указанные выше неравенства, могут быть как конечными, так и бесконечными. В дальнейшем большое значение будут иметь для нас полуоткрытые промежутки, определяемые неравенствзми вида а(х--Ь; с(у(с(, и для краткости речи только такие промежутки мы и будем называть в дальнейшем полуоткрытыми. 7! 21[ ью~кции пгомвжхтков нл плоскосги Положим, что для любого промежутка Л, принадлежащего к некогорому основночу промежутку Ь, на плоскости, определена неотрицательная функция 0 (Ь), которая обладает свойством аддитивности и нормальности, Иначе говоря, если Ь представляет собой сумму проиежутков Ь'" + Ь'" + ...

+ Ь'м' без общих точек, то н если Ьь Лн... есть исчезающая последовательносгь промежутков, то 0(Ь„)-ь О. Выясним некоторые свойства таких функций. Из неотрицательности и зддитивности функции 0 (ц) непосредственно следует, что 0 (Ь,) будет наибольшим значением 0 (Ь) для Ь, принадлежащих цм Значение 0 (и) в тех случаях, когда промежуток ц есть отдельная точка Р, мы будем обозначать просто символом 0 (Р), причем в силу неотрицательности 0 (Ь) функция 0 (Р) =.= О. Может случиться. что во всех точках Р, принадлежащих ц„ мы имеем 0 (Р) = О.

В таком случае функция 0(Ь) называется непрерывной в Ьм Если же 0(Р))0, то точка Р называется точкой разрыва 0(ц). Нетрудно показать, что множество точек разрыва конечно или сч4т но [ср. 6[. Возьмем те точки разрыва, в которых 0 (Р) ) 1. В силу аддитивности и неотрицательности 0 (ц) число таких точек не больше, чем целая часть числа 0 (Ь,). 1 Точно так же число точек Р, в которых 0(Р))-2, не больше, чем целая часть 20(Ь,) и т. д. Отсюда совершенно так же, как в [6), мы и заключаем, что множество точек разрыва конечно или счетно. Если оно счетно, и Ро Р,,...

— последовательность точек разрыва, то ряд, составленный из положительных чисел 0 (Ря), сходится и имеет место неравенство (114) Совершенно так же, если г есть входящая в состав Ь, часть прямой, параллельной одной из осей координат, то она называется линией разрыва, если 0(7))О. Всякая прямая, параллельная оси и проходящая через точку разрыва, дает линию разрыва. Но могут быгь и такие линии разрыва, которые не содержат ни одной точки разрыва. Совергпенно так же, как и выше, можно показать, что если линии разрыва существуют, то их множество или конечно, или счетно.

При этом мы берем полный отрезок прямой, параллельной оси и входящей в Ь„не разбивая его на части, Пусть имеется последовательность промежутков Ь„(п = 1, 2,...) таких, что Ь„содержит Ь„д, и точка Р или все точки линии ( 121 интвггал стилтьвсв являются единственными точками, общими всем промежуткам Ь„. В этом случае говорят, что Ь„есть система вложенных промежутков, стремящихся к Р или 1(1 — отрезок прямой, параллельной одной из осей). Пользуясь нормальностью функции 0(Ь), можно показать, что если Ья есть система вложенн ы х п р о м е ж у т к о в, с т р е м я щ и х с я к Р и л и г', т о 0( Ь„) -ь 0 (Р) или 0(Е).

Проведем доказательство для случая точки Р и будем считать, что эта точка находится внутри всех промежутков Ь„, которые открыты. Проведем через Р прямые, параллельные осям, и разобьем каждое из Ь„на следующие части: точку Р, четыре отрезка проведенных прямых, которые заключаются в Ьа, и оставшиеся четыре промежутка. При беспредельном сжимании Ь„к точке Р все построенные элементы подразделения, кроме точки Р, будут представлять собою исчезающую последовательность промежутков, и для каждой из этих последовательностей 0 (Ь) будет стремиться к нулю в силу нормальности 0 (Ь). Принимая во внимание аддитивность функции 0 (Ь), мы легко видим, что 0 (Ь„) -ь 0 (Р).

Совершенно аналогично можно разобрать другие случаи для точки Р, а также случай линии У *). Данные выше определения становятся совершенно ясными, если толковать 0 (Ь) как массу, которая находится на промежутке Ь при распределении материи на основном промежутке Ьч. Если, например, 0 (Р)) О, то в точке Р мы имеем сконцентрированную массу 0 (Р). Аналогичным образом, если 0(1))О, то масса 0(1) распределена каким-то образом вдоль линии А Положим, например, что имеется полуоткрытый промежуток Ьа (О (х - 2; О (у ( 2), и в нем на прямой та (х=1, 0(у(1) распределена масса с линейной плотностью, равной единице.

Характеристики

Список файлов книги