1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1 2як т — К Интегрируя обе части последней формулы по х, например от х = 0 до некоторого значения х, и производя в правой части интегрирование под знаком интеграла, получим, окончательно, следующую формулу обращения: -1- К 1 . Р 1 — еп» д(х) — д(0) = — !!ш 1 Р (г) .. тгг. 2я К й' -К 27. Формула обращения. Во втором томе мы доказали вторую теорему о среднем, разложимость функции в ряд Фурье и интегральную формулу Фурье в предположении, что исследуемая функция удовлетворяет условиям Дирихле. Просматривая все доказательства, нетрудно убедиться в том, что они сохраняют свою силу, если условие Дирнхле заменить требованием, чтобы функция была ограниченной вариации.
Для интеграла Фурье мы имеем таким образом следующий результат: если г"(х) есть функция ограниченной вариации на любом конечном промежутке и абсолютно интегрируема в смысле Римана по бесконечному промежутку, то из формулы + (О у (г) = = у(х) ен»гт'х ф"21т д (140) вытекает следующая формула обращенив: ИНТЯГРАЛ СТНЛТЬИСА В левую часть ее вошла значение л(х) в фиксированной точке х = О, так как функция л(х) определяется, очевидно, лишь с точностью до постоянного слагаемого. Мы должны теперь провести строгое доказательство формулы (144). фиксируя каким-нибудь образом значение переменной х, рассмотрим сле- дующую функцию переменной ул И(у) =л(у+ х) — д(у).
(145) Как разность двух возрастающихфункций она будет функцией ограничен- ной вариации на любом конечном промежутке. Докажем еще, что она абсо- лютно интегрируема по бесконечному промежутку. Для определенности будем считать х) О. При х (0 доказательство проводится совершенно так же. При- нимая во внимание, что функция д'(у) возрастает, можем написать 1 И (у) [ Ну = [л (у + х) — д (у)[ с!у = л (у + х) с!у — л (у) 4у, (146) Р Р Р Р (т) р) или, совершал в первом интеграле замену переменного интегрирования: у + +х=л, д-1-х д дс-х Ра-к [И(у) Г(Т = ~ Л(г) С(Л вЂ” ~ Л(Л) С(зоо ~ Л(Л) С!я — ~ Л(Л) Суг. р+к Р д Р принимая во внимание, что в промежутке [р, р+х] имеем л(р)(д(л), а в промежутке [д, 6+ х[ имеем л(с)+ х):~д (л), получим ! И (у) [ с!у ( [И ( ! + Х) — т (р)[ Х, Р Отсюда видно, что для достаточно больших значений р и любых 4) р интеграл (146) сколь угодно мал, что и доказывает абсолютную интегрируе- мость функции И (у) по бесконечному промежутку.
Таким образом, к функ- ции (145) применима формула Фурье -Ьх +со д(у+ х) — д(у) =; — !1ш ~ е 1гу ~ ~ [л(а+х) — и(л)[ лик с(а ~с(Г 1 2я т' со — Ас — со или, при у=О, у(х) — д(0) = — Вгп ~ Ц [д(а+ х) — л(л)[ еих с(л~ с(г. (147) 1 2я и Рассмотрим внутренний интеграл ( и применим к нему формулу интегрирования по частям: -,'- со +со ! с" ! ! = —, р! [Л(л+ х) — д(л)[ Иен' = — —. еи* с( [д (л+ х) — д(л)[, =су ~ Й откуда, пользуясь формулой (131), получим 1 1 7= —, Т (г) — —. ~ е!чл суп(л+ х), — !г .
87 28] ТЕОРЕМА СВЕРТЫВАНИЯ Совершая в последнем интеграле замену переменных интегрированию г + + х = и, придем, окончательно, к следующей формуле: +се е-ссг [8( +х) — 8(г)] еи'д = Т(Г) 1С (148) 28. Теорема свертывания. Формула обращения для обычного интесрала Фурье непосредственно рвязана, как мы знаем, с формулой'обращения для интеграла Лапласа [1Чт 44, 45], й для последнего интеграла мы имели теорему о свертывании. Аыалогичная теорема имеет место и для интегралв Фурье— Стилтьеса.
Пусть ес(х) и ас(х) — две функции с указанными выше для е(х) свойствами. Будет существовать следующий общий интеграл Стилтьеса: + ОЭ с 8 (1) = ] 8 (с — ) дд ( ) (149) Нетрудно показать, что ас(х) обладает упомянутыми выше свойствами и что если ес(х) и дс(х) непрерывны, то и яс (х) непрерывна. Составим для функции ас(х) преобразование Фурье — Стилтьеса + Ш фл(г) = ~ еи" дна(х) (150) Теорема свертывания заключается в утверждении того, что эти преобразованные функции удаелетеоряют следуюиселсу нростолсу равенству: фа(1) =фс(т) фа(Г).
(151) Применим к функции фа (С) формулу (148) 1 — е сис сс фс(1)= ~ [ас(г+и) — ев(гНессгдг. Заменяя еа (Г) его выраясением (149), получим + сч -1- со 1 — есс с'с фа (1) = ] ~ '] [8с (г + и — х) — да (г — х)] ддс (х) ~ е"' дг. — т [ — чч Подставляя это в формулу (147), получим формулу обращения (!44).
Напомним, что в формуле (143), которая дает обращение обычного преобразования Фурье, левую часть у (х) в точках разрыва этой функции надо считать, как мы знаем [П: 143], равной среднему арифметическому пределов слева и справа. Следовательно, то же замечание относится и к левой части формулы (143) и левой части формулы обращения (144).
Формула обращения (144) для интеграла (131) справедлива и в том случае, когда д(х) есть функция ограниченной вариации. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно представить е(х) в виде разности двух возрастающих функций, разбить интеграл (131) на два интеграла и к каждому из них применить доказанную выше форму.чу обращения. [28 интигвлл стилтьвоа Переменим порядок интегрирования. На доказзтельстве возможности этого не останавливаемся.
Это будет следовать из одной общей теоремы о перемене порядка интегрирования, которая будет доказана в дальнейшем, Таким образом, мы получим +со +со 1 — е '"', С Н= [ [ [ СОС'Π— С вЂ” с С вЂ” С~ в*о~ос С.С. — СО (— Во внутреннем интеграле введем вместо л новую переменную интегрирования у по формуле л — х =у. При этом предыдущая формула может быть написана в виде +со +со 1 е-сит ЬСС- [ [ [ ~с.Сс»О — ООЗ " сс) н*О,СО, — со ( — со Внутренний интеграл может быть выражен через ф, (Г) по формуле (165), и мы приходим к формуле + СО Л-тот 1 — е сот фс(Г)= фсс(Г) ~ есплс(ус(х), »2 ' И + СО + СО у(Г)= ~ е тт" ссд;(х)= ~ ест»с)3с(х), где 3с(х)= — 3»( — х).
таннм образом, 1ф(г)1» будет принадлежать Р и будет определяться функцией + СО л(х) = ~ Ро(х — Г) оскс (Г). Если йо(х) непрерывна, то и Ь (х) будет непрерывной, и, в силу доказанного в [26[, будем иметь М ( ! ф (г) /»] = О. Вернемся к функции сз(Г), определяемой формулой (131), и пусть, как и выше, ໠— обобщенные коэффициенты Фурье, соответствующие Л =Л». Принимая во внимание, что положительные числа а, образуют сходящийся ряд и формулу (137), получим ,У ~ о» ~' = 5( [ ус (Г) !' ) (152) которая и совпадает с формулой (151) в силу (150). Йз теоремы свертывания непосредственно следует, что если ф,(Г) и ф,(Г) представимы интегралом типа (131), т. е.
принадлежат классу Р положительно определенных функций, тогда то же можно утверждать и об ил произведении. непосредственно очевидно, что и линейная комбинация ссфс(г) + с»(сс(г) с положительными коэффициентами принадлежит тому же классу. Далее, если ф (Г) принадлежит Р, то и ч (г) принадлежит Р, а именно, если по(х) определяет ф(г), то для фс(Г) будем иметь 89 291 интвгвлл кОши — стилтьвса С другой стороны, в силу доказанного выше, М([т,(г)[ ) =О.
(153) Далее имеем [ т (г) Р =[та (8+ тл (г) Р =! т1 (г) 1'+ ~ тл (г) Р + та (г) тл (г) + т (г) тл (1). По неравенству Буняковского — Шварца -1- ж л +ш +ш 1 à — 1 т,(г)т,«)кг ~- 1 ~т,(г), гг — 1 ~т,(г)[ кг, и, принимая во внимание (152) и (153), можно утверждать, что правая часть стремится к нулю прв беспредельном возрастании ь. Таким образом, М (т,(Г) тл(Г) ) =О, и, совершенно тал же, М ( т,(Г) т,(Г) ) =О. Из формул (152) и (153) получаем, таким образом, для любой функции из класса Р следующую теорему замкнутости: '~~ .„=М([т[). (154) 29.
Интеграл Коши — Стилтьеса. Рассмотрим интеграл Коши, взятый по всей вещественной оси, (155) При некоторых предположениях относительно ф(х) этот интеграл существует, и функция ю(л) комплексного переменного з будет регулярной функцией как в верхней, так и в нижней полуплоскости. В этих полуплоскостях упомянутые регулярные функции суть рззличные аналитические функции, и мы знаем, что ф (х) можно выразить через скачок ю (г) на вещественной оси, а именно имеет место формула [И) 85[: ф(х) = 1!ш —. [ю(х+ т)) ю(х т))).
1 +о 2в( + со ю(г) = [ — Н8 (х). (156) Интегрируемая функция 1: (х — л) непрерывна на всей вещественной оси и стремится к нулю при х-ь-+.со. Таким образом, интеграл Положим, что а (х) есть функция ограниченной вариации на бесконечном промежутке [ — со, +со[, и составим для комплексных значений з интеграл Коши — Стилтьеса: [29 90 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА (156) можем понимать как интеграл Стилтьеса [4]. Мы докажем для интеграла (156) следующую формулу обращения: я(х) — 8'(0) = !нп . ~ [ш(ч+ тй) — м (о — гг)] г1 а, (157) 1 +о г"' о причем для точек разрыва функции я(х) в левой части надо брать полусумму предельных значений слева и справа. Мы могли бы предугадать эту формулу обращения совершенно так же, как это делали выше при обращении интегралов Фурье — Стилтьеса.
Прежде чем доказывать формулу (167) рассмотрим интеграл Пузссона для случая полуплоскости. Положим «=о+т1 и отделим в ядре Коши вещественную и мнимую частгк х — ь + т 1 Х вЂ” «(Х вЂ” ь) +т (Х вЂ” ь)ь+ть Отделяя в интеграле (155) мнимую часть и добавляя множитель 1:к, мы и прид м к интегралу Пуассона для полуплоскости: + СО р (а, т) = — ],, ф (х) ах. (158) Он представляет собой, очевидно, гармоническую функцию как в верхней, так и нижней полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
