1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обозначая через й, элементарную фигуру, равную сумме сжатых промежутков, можем написать 0(й.))0(й) — а. (28) Каждый из промежутков Ьь входящих в покрытие й, подвергаем аь-расширению, причем положительные числа аь выбираем настолько малыми, чтобы иметь 0 (8~ЫМ) ( 0 (Зь) + -~. (29) Сжатые промежутки, сумма которых давала й„, делаем замкнутыми промежутками, т.
е. замыкаем каждый из этих промежутков. Сумма полученных замкнутых промежутков (их конечное число) есть некоторое замкнутое множество то, причем очевидно Рс: й. Если исключить из 8А!"ь! границу, т. е. две стороны и одну вершину, то останется открытый промежуток 8ь!"А1, Принииая во внимание расширение промежутков 3», можем утверждать, что открытые промежутки Зьцьь! покрывают упомянутые выше замкнутые промежутки, т. е.
покрывают ограниченное замкнутое множество Р. Пусть, например, число промежутков 3ь бесконечно. В силу теоремы 4 достаточно взять конечное число промежутков 8ь!'ь!(1ь = 1, 2, ...,!1) для того, чтобы покрыть то, а тем самым покрыть и й„. Сумма промежутков йьыь!(!а = 1, 2, ..., !у) есть некоторая элементарная фигура й', причем й„ ~ й', и, следовательно, 0 (й„) ( =.
0 (й'). В силу (26) и (29) имееи также я Ф я л1ыг (» ) йы ( ") + ~~и~ 2"' ь=! ь-! ь-! откуда непосредственно следует 0(й„) ( 0(й') ( ~! 0(ЗА)+ е, ь-! ь) 3 обозначает Еы, где т =со или конечно и ~!. а а ! 1Об Внешняя меРл и ее сВойстВА а потому и подавно 0(й„) ( ~ 0(йь)+е. Сравнивая с (28), получим 0(й) — а( ~) 0(йь)+а, т. е. ~Ь 0(йь))0(й) — 2а. 34. Внешняя мера и ее свойства.
Пользуясь функцией 0(д) мы поставим сейчас любому точечному множеству $ плоскости некоторое неотрицательное число, которое назовем внешней мерой этого множества. Определение. Пусть промежутки Ь„(п = 1„2, ...), число которых конечно или счетно, совершают покрытие множества р. Внешней мерой р, назовем точную нижнюю грань значений сумм: ~0(йь) л (30) при всевозможных покрытиях множества $ промежутками.
Будем обозначать внешнюю меру символом )$/о, причем значок внизу указывает на ту функцию 0(Ь), которая послужила основой при определении внешней меры. Таким образом, для любого покрытия можем написать ~~~ 0(йь)- ~В~о и !5!о=1п( ~ь 0(Ь„). (31) Если для любого покрытия суммы (30) равны (+со), то и внешнюю меру надо считать равной (+со). У ограниченного множества внешняя мера всегда конечная, ибо такое множество может быть покрыто одним промежутком йю и по условию 0(дь) конечно.
Отметим, что неограниченное множество р нельзя покрыть конечным числом Сумма, стоящая слева, не зависит от ь, и, вниду произвольности е, мы и получаем неравенство (27). Отметим, что слагаемые суммы, стоящей в левой части (27), неотрицательны и конечны, а сама сумма может равняться и (+со).
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с суммами бесконечного числа неотрицательных слагаемых. Если хотя бы одно из слагаемых такой суммы равно ((-со), то и вск) сумму надо считать равной (+ со). Но, как мы только что указали, может случиться и так, что все слагаемые конечны, а сумма равна (+ со), т. е. ряд расходится. !06 )34 вгнкции множеств и интвгглл ляввгл ~ в„1 ( ") ~ в„~,. а 1о л (32) В дальнейшем мы будем часто обозначать покрытие некоторого множества одной буквой Я. При этом сумму (30) для такого покрытия будем обозначать символом а(Я). Пусть задано положительное а.
В силу определения точной нижней границы существует такое покрытие Я„множества й„, что в(Я„)((9„(о+2и. Берем промежутки, входящие во все Я„(п = 1, 2, ...). Они совершают некоторое покрытие Я дла 1 $ю и длЯ этого покРытиЯ имеем очевидно л е=,'У (~.) ~~в.~.+,'У--.— ~~в„~.+ . В силу определения точной нижней границы 5' В. ! ( ,'!~ ( Р. ) .
+ в, л ~о и, ввиду произвольности в, мы и получаем неравенство (32). Отметим, что сумма, стоящая в правой части (32), или даже отдельные промеисутков, ибо каждый промежуток мы согласились брать конечным. Но все же внешняя мера неограниченно~о множества может оказаться и конечным числом. Докажем теперь ряд теореи относигельно внешней меры.
Теорема 1. Если В' с: 5", то ) В' (о ( ( 5" (о. Всякое покрытие 5Я есть тем самым и покрытие $', а потому нижняя грань сумм (30) для 5' может оказаться меньше чем для $", но во всяком случае не может быть больше, чем для $", что и требовалось доказать. Теорема 2. Для всякой элементарной фигуры й внешняя мера равна 0(й), гп. е. ! й)о=6(й). Если й разбить каким-нибудь образом на частичные промежутки сь„, то эти последние покрывают й н тем самыи, в силу (25) и определения внешней меры, как нижней границы сумм (30), при всевозможных покрытиях й, мы имеем (й(о 0(й).
Докажем теперь противоположное неравенство. Если промежутки Ь„' совершают покрытие й, то, в силу леммы предыдущего параграфа, мы имеем Х 0 (Ь,) ) 6 (й), откуда и следует непосредственно, что ! й ~~о -- 6 (й). в Доказанные два неравенства и приводят нас к равенству ! й )о = 0(й). Теорема 3. Для конечного или счетного числа слагаемых внешняя мера суммы множеств ( суммы внешних мер слагаемых множеств, т. е. 107 34$ Внвшняя мевл и ив свойства слагаел»ые этой суммы могут быть равны (+со). Ввиду неотрица. тельности слагаемых порядок сла~аемых не играет роли. Определив внешнюю меру, мы распространили функцию 6(Д) на всевозможные точечные множества плоскости, но при этом потеряли, вообше говоря, свойство аддитивности этой функции. Лействительно, можно показать, что если множества „— попарно без об»цих точек, то все же в формуле (32) мы можем в некоторых случаях иметь знак (.
В дальнейшем выделим некоторый класс множеств, для которых внешняя мера сохранит свойство аддитивности. Предварительно докажем еше одну теорему, касаю»пуюся внешней меры. Теорема 4. Всякое множество 5 можно покрыть таким открытым множеством О, внешняя мера которого сколь угодно мало отличается от внешней меры $, т. е. если 5 — любое множество и ь — любое заданное положительное число, то существует такое открытое множество О, что В~ О и (»О~»»з~»»гя'д+ а Если»г»(о=+со, то неравенство ) О ~о() В»о+а выполняется при любом покрытии множества $ открытым множеством. Будем в дальнейп»ем считать, что (ф(о конечно. Пусть а —,заданное положительное число. Выбираем покрытие $ промежутками Д„так, чтобы имело место неравенство (33) Каждый из промежутков Д„подвергаем а„-расширению, и положительные числа а„выбираем так, чтобы О(Ды»») ( О (Д )+ — „ (34) Если исключим из Д"»' границу, т.
е. две стороны и одну вершину, то сумма полученных открытых промежутков Д„» даст некоторое открытое множество О, которое, очевидно, покрывается промежутками Д~„»~. В силу определения точной нижней границы имеем Пользуясь (34), можем далее написать ! О~о-- у'О(д»)+ — ',, » и, наконец, принимая во внимание (33), получаем окончательно !О~о~ ~й!о+ 2+ 2 =»м»а+' 108 (88 Функции множеств и интегглл лезегл 88.
Измеримые множества. Мы вылепим сейчас класс множеств, которые назовем измеримыми множествами и для которых в дальнейшем докажем аддитивность внешней меры. 1(ля этих измеримых множеств внешнюю меру назовем просто мерой. Определение. Лдножество 5 называется измеримым, если его можно покрыть открытым множеством О так, что внешняя мера разности Π— Р сколь угодно мала, т. е.
множество 5 называется измеримым, если для любого заданного положительного е существует такое открытое множество О, что $с: О и ~ Π— В~а~а. Внешнюю меру измеримого множества будем называть просто мерой этого множества, То требование, которое входит в определение измеримого множества, сильнее, чем то свойс~во, которое формулировано в теореме 4. Это последнее свойство справедливо для всех множеств, а существуют, при некотором выборе функции 0(Ь), такие множествз, которые неизмеримы, т. е. которые не подчиняются данному выше определению Для обозначения меры измеримого множества мы можем пользоваться символом ($(о, так как для измеримого множества мера по определению совпадает с внешней мерой.
Мы покажем сейчас, что любой промежуток а измерим. Его внешняя мера, в силу теоремы 1, равна 6 (а). В дальнейшем увидим, что и всякая элементарная фигура измерима. Мы имеем поэтому право меру любого измеримого множества 9 обозначать просто с и м волом 0 (Р). Согласимся еше внешнюю меру и просто меру пустого мноькества считать равной нулю. Это находится в согласии с данными выше определениями.
Введем еше одно определение: множество $ называется множеством меры нуль по отношению к 0(а) или просто множеством меры нуль (поскольку 0(а) считается фиксированным), если ( й )о = О. Из этого определения непосредственно следует, что всякая часть множества меры нуль есть также множество меры нуль.
)(окажем теперь ряд свойств измеримых множеств. Эти свойства будут служить основой во всем дзльнейшем изложении. Теорема 5. Открытое множество измеримо. Если 5 — открытое множество, то для проверки его измеримости достаточно взять О, совпадающим с (ю При этом )Π— 5(о=О.
Теорема б. Любой промежуток Ь есть нзмернмое множество, и его мера равна 0(а). Пусть а — некоторый промежуток. Подвергая его а-расширению, получим промежуток Ь~ 1. Разность Ь'ю — а есть элементарная фигура, и, в силу нормальности функции 0(а), мы имеем 0(а 1 — Ь)= = 0(йы>) 0 (Ь) — 0 при а — + О, т. е. для любого заданного положительного а существует такое и, что 0(йы1 — Ь) (а. Пусть 0 — открытый промежуток Ьы~, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
