1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В случае (9) мы имеем очевидную формулу 96 (Зо эгнкции множвств и интзгалл лввзга В последней формуле множества, входящие в качестве слагаемых в правую часть, не имеют попарно общих точек. В случае (1О) назовем пределом множеств В„множество В, элементами которого являются элементы, принадлежаш и е в с е м В„.
В данном случае мы имеем В= Еш В.=ДВ., и оэ и, кроме того, в случае (10) можем написать формулу (1З) В1=В+ „~„(Вд Вам). а-1 (14) В этой формуле слагаемые справа не имеют попарно общих элементов. Мы определили понятие предела последовательности множеств лишь для монотонных последовательностей. Можно было бы сделать это и в общем случае. Не будем на этом останавливаться, так как это нам не понадобится в дальнейшем.
Введем еще одно понятие специально для точечных множеств. Пусть В в множество точек на плоскости. Назовем множеством, дополнительным для В, множество всех точек плоскости, не принадлежащих к В. Это дополнительное множество обозначают обычно символом Св.
Отметим некоторые формулы, относящиеся к понятию дополнительного множества. Если дважды применить понятие дополнительного множества, то получим первонзчзльное множество, т. е. С(св) = В Если В~ с: В„то Св,:э Свм Отметим также следующие формулы: ДВ„=С~СВ„, (16) С~В„=ДСВ„, (16) ч л ,'(~ в.= с Д св., Л л СДВ„=')'св„, л л (16) СВ1 — СВа = Вя — В1 (19) (17) В1 — Ва — — В1 Свм (20) которые доказываются без всякого труда.
Понятие дополнительного множества можно ввести, очевидно, и по отношению к прямой, если основное множество расположено на прямой, и по отношению к любому многомерному пространству. Иногда вводят понятие дополнительного множества по отношению к некоторому множеству А, Если все точки множества В принадлежзт А, то множеством дополнительным для В по отношению к А называют равность А — В.
Мы будем пользовзться понятием дополнительного множества только по отношению ко всему пространству, т. е. по отношЕнию или к прямой, или к плоскости и т. д. 97 31! точвчныя множяства 31. Точечные множества. Приведем теперь некоторые понятия и результаты, касающиеся специально точечных множеств. Во П томе,, при изложении теории кратного интеграла Римана, мы привели некоторые сведения, касающиеся точечных множеств на плоскости или в любом л-мерном пространстве. Сейчас мы повторим сказанное во П томе с некоторыми существенными дополнениями. Для определенности будем говорить о точечных множествах на плоскости Х'г'.
Все сказанное легко можно распрострзнить на случай прямой или любого л-мерного пространства. Рассмотрим плоскость, отнесенную к прямолинейным осям Х); и точечные множества на такой плоскости. Множество называется о г р а н и ч е н н ы м, если расстояние входящих в него точек от начала меньше некоторого определенного положительного числа И, т.
е. для всех точек множества х'+у'(Л~. Нззовем а-окрестностью точки Р(а, Ь) замкнутый круг с центром Р и радиусом а, т. е. множества точек 1х, у), удовлетворяющих условию 1х — а)'+ 1у — Ь)' = а'. Точка Р называется предельной точкой 'й ли точкой сгуш е н и я м н о ж е с т в а $, если любой а-окрестности, точки Р принадлежит бесчисленное множество точек из Р. Сама точка Р может или принадлежать или не принадлежать ф. Е с л и в с е и р е д е л ь н ы е точки принадлежат 8, то множество 3 называется з а м к н у т.ы и. Точка Р, принадлежащая множеству 3, называется внутре иней т очко й 5, если 5 принадлежат все точки некоторой а окрестности точки Р. Множество 5 н аз ы в а ется открытым множеством, если все его точки суть внутренние точки. Замкнутые множества обычно обозначают буквой Р с различными значками (французское слово 1егше — замкнутый), а открытые множества — буквой О 1оцчег1 — открытый).
Пустым множеством будем называть „множество', не содержащее ни одной точки. В дальнейших теоремах можем подразумевзть и пустое множество, причем его нздо считать и открытым и замкнутым. Границей открытого множества О называется множество 7 точек Р, обладающих следующим свойством: сама точка Р не принадлежит О, но в любой а-окрестности Р лежат точки, принадлежащие О. Поскольку О состоит из внутренних точек, можно утверждать, что в любой а-окрестности Р лежит бесчисленное множество точек О, и можно определить границу 7 открытого множества О кзк множество предельных точек О, не принадлежзших О. Нетрудно покззать, что граница открытого множества есть замкнутое множество [П1 89!. Пусть 5 — некоторое множество. Присоединим к нему все его предельные точки и полученное множество обозначим через 5.
Эта операция называется замыканием множества 5. Если р замкнутое множество, то 5 =5. Покажем, что 5 — ззмкнутое множество. Пусть Рв предельная точка для ф, т. е. имеется бесконечная последовательность различных точек Р„ тл = 1, 2, ...), принадлежащих 5,. причем 98 [32 Функции множвстя и иптвггьл лвввга Є— Р. Если среди Р„имеется бесчисленное множество точек, принздлежащих $, то Р являешься предельной точкой для ф, а потому, в силу процесса замыкания, входит в ф. Положим теперь, что все точки Р„ начиная с некоторого номера л, не принадлежат 5.
По условию, оии входят в ф и, следовательно, являются предельными точками для 5. В любой †окрестнос точки Р находится бесчис- 2 ленное множес~во точек Р, и в любой — окрестности каждой точн 2 ки Р„находится бесчисленное множество точек $. Отсюда непосредственно следует, что в любой г-окрестности точки Р находится бесчисленное множество точек 5, т. е. Р является предельной точкой для й, а потому, в силу процесса замыкания, должно входить в 3. Таким образом, мыпоказали, что множество 5, полученное в результате замыкания любого заданного множестваа 3, есть обязательно за мкну тое множество.
Отметим, что вся плоскость является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Бесконечно далекую точку мы не причисляем к плоскости. Вс якое конечное множество точек есть замкнутое множество. Оно вовсе не имеет предельных точек. Введем теперь понятие расстояния между множествами. Назовем расстоянием между множествами 5, и й, точную нижнюю границу расстояний от всевозможных точек, принадлежащих йэ до точек, принадлежащих 5,. Если множества имеют хотя бы одну общую точку, то расстояние между ними равно нулю.
Но расстояние между множествами может равняться нулю и в том случае, когда множества не имеют общих точек. Точки двух множеств, не имеющих общих точек, могут все же беспредельно сближаться. Этого не может быть, если дзнные два множества ограничены и замкнуты, и во 1! томе мы доказзли следующую теорему: если $, и ф,— ограниченные и замкнутые множества без общих точек, то расстоянием междуними положительно, и найдется по крзйней мере одна такая пара точек Р из ф, и Я из 5„что РО=Ы. Из д о к а з з т е ль с т в а этой теоремы непосредственно следует, что о н а справедлива и в том случае, когдз только одно из данных замкнутых множеств ограничено. В частности, расстояние любой заданной точки открытого множества до границы этого множества положительно. 32. Свойства замкнутых и открытых множеств.
Докажем теперь некоторые специальные свойства ззмкнутых и открытых множеств. Теорема 1. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Проивведенгге конечного числа открытых множеств есть открытое множество, 32[ 99 СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ Рассмотрим сумму конечного или счетного числа открытых иножес гв: в='~'о„. л Если Р Е 5, то Р принадлежиг по крайней мере одному из О„.
Пусть Р с О». Так как 0» — открытое множество, то некоторая »-окрестносп Р также принадлежи~ 0 . Эта же »-окрестность Р принадлежит и сумме $, откуда и следует, что ф есть опгрытое множество. Рассмотрим теперь конечное произведение м в=ив„, л =1 и пусть Р принадлежит $.
Докажем, как и выше, что и некоторая »-окрестность Р принадлежит 5. Раа Р принадлежи~ ф, то Р принадлежит всем 0» (1=1, 2... т). Так как О,— открытые множества, то для любого 0» существует некоторая»»-окрестность точки Р, принадлежащая О». Если число» Взять равным наименьшему из»» (Гг= 1, 2, ..., гп), число которых конечно, то»-окрестность точки Р будет принадлежать всем 0», а следовательно, и ф. Отметим, что нельзя утверждать, что произведение счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
