1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Бернштейна (П; 154!: Р,» „(х, у)= а у у! —, — ) СщСт„х«ут(1 — х)" «(1 — у)' '. (129) тй Г! «т «т -а да=о т=о Пользуясь равномерной непрерывностью у(х, у) в Дд, можно, как и в [11; 154), показать, что Рм „(х, у) г'(х, у) при беспредельном возрастании ш и и равномерно на дд. Положйм теперь, что имеется функция г"(х, у) — непрерывная на ограниченном замкнутом множестве Р (!Ч! 157). Используя, как и выше, линейное преобразование, можем считать, что Р принадлежит указанному выше промежутку Ье Далее мы можем распространить |(х, у) на весь промежуток Дд с сохранением непрерывности и наибольшего значенйя !у(х,у) ! )!Ч; 157).
Для таким образом распространенной г(х, у) мы можем построить последовательность полиномов Р ,„(х, у) так, что Рвь „(х, у) †у(х, у) равномерно на Д, и тем более равномерйо на Р. Рассмотрим теперь аналогично тому, как зто мы делали в (14), пространство С функций непрерывных в дд со следующим определением нормы: ))у!! = = шах! г" (х, у) ! на д,. Как и в (15), можно показать, что общая форма линейных функционалов в С есть интеграл Стилтьеса: Ф (У) = 1 Х (х, у) 0 (83), (!30) где 0 (д) — функция ограниченной вариации на д„ характеризующая функционал Ф(у). При определении функции ограниченной вариации можем пользоваться суммами (!28), а интеграл (130) определять как предел сумм (!18) при беспредельном измельчании промежутков.
Сведения о пространстве непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах можно найти в статье Радона „О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях" („ Успехи математических наук", вып. 1, !936 г.) и в книге Ф. Рисса и Б. Секефольви-Надя „Лекции по функциональному анализу". Пользуясь кзноническим представлением (145), можем определить интеграл по 0 (5) обычны м образом: 82 РВ интнгрлл стилтьиса 20.
Интеграл Фурье-Стилтьеса. рассмотрим функцию, представимую интегралом Фурье †Стилтье, +со у(Г) = ~ еп" осд(х) ( — со < с <+со), (13 П где д (х) — неубывающая ограниченная функция, непрерывная при х = -с- со, т. е. д( — со) =1!шд (х); д(+ со) =1нп д'(х). х — со к +ос Интеграл (131), очевидно, существует, поскольку функция еп" непрерывна и ограничена (ч). Выясним простейшие свойства функции у(г). Мы имеем +со -с- со ~ ср(Г) / ( ~ ! еп" ~ с(д(х) = ~ осд(х) =д(+со) — д( — со) =у(0), ИЛИ1су(Г)1(су(0), т.
Е. 2(Г) — ОГраЫИЧЕтСНая фуНКцИя. ИЗФОРМуЛЫ (13!) непосредственно следует также тождество у ( — Г) оо у т(Г). (132) Покажем еще, что функция у(г) равномерно непрерывна в промежутке ( — со, +со). Оценим абсолютное значение разности у(г+)с)— — у (г): + со + со ! у (г + и) — у (г) ! ( ~ ! е™ ( ( (е ха — 1 / суд (х) = 2 ~ ( а)п —, ) сгд (х). йх (133) Сперва фиксируем и настолько большим, чтобы иметь (д( и) д( сю)1 ( е (д(+со) — д(л)1 ( е Ьх 2 а1п — ((с прн ~ И1(д. При атом, в силу (133), получим / у (Г+ Д) — у (Г) 1( (2 + д(п) — д ( — и)) с ( (2 + д (+ оо) — д ( — оо)) с, отнуда, ввиду произвольности а и независимости 1 от С и следует равномерная непрерывность у(Г).
Выясним еще одно свойство функции у (Г). Возьмем какие-нибудь ш вещественных чисел Гь г„ ..., Г и составим форму Эрмита: у(г — гч) уруч р, ч=! переменных ср Принимая во внимание (131), можем написать К хс и х. У (гр — гч) срач = рт е Р сре ч сч с)д (х), Далее фиксируем такое ть не зависящее от С чтобы на промежутне — и( ж= х ( и имело место неравенство 83 261 интеграл Фурье — стилтьеса и для формы Эрмита (134) имеем следующее выражение: м +со ос т Х Т (Ä— Тл):-рТа = ~ ~~ е",.": с(д (х), ж т=! — со р-! откуда непосредственно следует, что п р и л ю б о м и и л ю б о и в ы б о р е значений Т форма Эрмита (134) неотрицательная, т.
е. Е (Гр — Рд) трба ) О. Х (! 35) ж 4=! Введем новое понятие. Функция Ф (т) называется положи т е л ь н о о яр вделл е н ной, если она непрерывна и ограничена в промежутке ( — со, +со), удовлетворяет тождеству (132) и если, кроме того, форма Эрчита (134) при любом гл и любом выборе точек Т, неотрицательна. Из предыдущих рассуждений следует, что если функция Т (г) представима интегралом Фурье †Стилтьеса (13!) с функцией Р(х) указанного типа, то она положительно определенна. Можно показать, что и наоборот: в с я к а н п о л о ж н те л ь н о определенная функция ш(г) представима интегралом(131) с функцией д(х) указанного типа. (Восйпег, Ног1езвпйеп йЬег ровс!егзсйе !птейга!е, стр. 74, или Майк Аппа!.
Вб. 108). Вернемся к интегралу (!31) и пРедставим фУнкцию л(х) в виде сУммы Р(х) = 84 х) +До (х), тле да (х) — функция скачков и Рс (х) — непрерывная часть функции д(х). Функция р(г) при этом представится в виде суммы Т(г)=ус(г)+ус(г), где -1- со 4 со р, (р) = ~ еплсрйа (х) р, (г) = ~ ест хгрй, (х).
(136) ср, (Г) = ~) а„ес"а', (137) Если число точек ха конечно, то и написанная сумма будет конечной. Введем так называемое среднее значение какой-либо непрерывной функции Г (Г), определенной на промежутке ( — со, + со), + М(Е(Г)) = 1пп —, ~ Е(Г)суг, 1 ш +со — ш (138) ЕСЛИ ПРЕДЕЛ, СтОЯЩИй СПРаВа, СУЩЕСтВУЕт. НЕТРУДНО ПОКаЗатЬ, Чта ДЛЯ Фа(Г), определенной формулой (!36) с непрерывной функцией рс (х), мы имеем (139) М(Т,«)) =О. Действительно, производя интегрирование под знаком интеграла, получим + -! со 1 !' с" з!п шх — суа (Г) сгр= ) — ' г)8с (х), шх Пусть хл (я = 1, 2,...) — абсциссы точек разрыва 8 (х) и аа = д (ха + 0)— — к(хл — 0), причем, очевидно, аа ) О, и ряд, составленный из аа, сходится, Мы имеем разложение шс (г) в равномерно сходящнисв ряд: [26 84 ннтвгнал стилтьесл Разобьем промежуток интегрирования [ — со, + со] на три части: [ — оо, — а[, [ — а, + а[, [а, + оо[.
Производя элементарную оценку интегралов, получим +Ш вЂ” ~ у.(т)йг(» 1 1 » †,„- [ас( — и) — И. ( — )1 + †,„ [йс ( ) — ас (п)1 + [ас (и) — а. ( — и)[ Пусть с — заданное положительное число. Мы можем, в силу непрерывности 3с (х), при х = О, выбрать а настолько малым, чтобы иметь: дс (а)— а — 3;( — а)» —. При фиксированном а первые два слагаемык правой части стремятся к нулю при и со, и, следовательно, при всех достаточно большик и мы будем иметь +ш — ус (Г) ис ~ » с, откуда, ввиду произвольности с, и следует (139).
Возможность интегрирования по г под знаком интеграла Стилтьеса может быть легко оправдана. Рассмотрим теперь функцию уа(Г)е '"', которую мы можем записать в виде +со у,(Г) е ам ~ еы -л тс13 (х) — со или, пользуясь заменой переменной интегрирования, +со ус (Г) Е От ~ ЕттсСГйс (Х+ Л), и, в силу непрерывности функций йс(х), при любом вещественном Л будем иметь М(у, (г) -п«)=О. Далее, пользуясь равномерной скодимостью ряда (137) в промежутке ( — оэ, +со), а также тем, что М (е™] =0 при Л ~'О, получим М (у, (Г) е 'ла!) = аа (Ла — ха), М(у,(Г)е тлг)=0, если Л не совпадает ни с одним из х„.
Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему общему результату; е с л и у (Г) п р е д с т а в и м а и н т егралом (!31) с неубывающей ограниченной функцией 3(х), то М(9(Г)е цт)=3(Л+0) — д(Л вЂ” 0), и правая часть равна нулю, если Л н е ест ь т оч к а р а эры за 3(х). Среднее значение произведения у (г) е цт представлнет собой обобщение понятия коэффициента Фурье для периодической функции.
Мы вернемся ен!е к обобщенным коэффициентам Фурье в связи с обобщением формулы замкнутости [29[. В следующем параграфе мы выведем формулу обращения интеграла (13!), т. е. формулу, выражающую и(х) через у (Г), 271 ФОРМУЛА ОБРАЩБНИЯ -1-о» у(х) — = ~ (Г) л-тг» ей (! 41) причем последний интеграл надо понимать в смысле главного значения 1 и в левой части г(х) в точке разрыва надо заменить на.
— (г"(х — О) + 2 + г" (х+ 0)). Этот результат записывают иногда в несколько иной форме, а именно из формулы Р (Г)= ~ у'(х) етг» ох (142) следует (1П; 130): + от +К у'(х) = — ч ° р ~ ч (!) е и» тй = — 1пп ! Ф(г) е-'т» ~уй (!43) 2к Л 2я,ч „,) Нашей задачей является построение формулы обращения для интеграла (131). Нетрудно предвидеть, какой вид должна иметь эта формула. Применим следующий эвристический прием, не имеющий, конечно, доказательной силы. Заменим в интеграле (131) сГ3 (х) на 3'(х) Зх, йричем будем считать, что 3'(х) есть производная от 3 (х). Таким образом, получим +00 Ф(Г) = ~ 3" (х) еа»Ых, и формула обращения для обмчного интеграла Фурье даст нам +К 3" (х) = — !!и! ~ у(т) е п«гй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
