1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ограничимся случаем плоскости. В остальных случаях построения будут совершенно аналогичными. Пусть на плоскости дан какой-то конечный промежуток д» и в нем определена равномерно непрерывная и тем самым ограниченная функция ~очки 7"(Р) и неотрицательная, аддитивная и нормальная функция промежутков 0 (а). Пусть 8 — некоторое разбиение б» на промежутки ан ам ..., а„ попарно без общих точек. Берем в каждом а» некоторую точку Р» и составляем сумму л ч, = ~.У(Р,) 0(б,). (! 16) »=1 Как и в [4[, можно показать, что эта сумма имеет определенный предел, когда наибольший из диаметров областей а» стремится к нулю.
Этот предел и называется интегралом от 7"(Р) по 0 (а): » ~ 7(Р) 0 (г!7») = !пп г' ) (Р») 0(а»). (117) »» »=! Если Дх, у) непрерывна в замкнутом промежутке а» (а, «- х ( «=.Ь;, а, у(Ь,) и а(х, у) обладает указанным выше свойством, то интеграл Стилтьеса можно определить как предел сумм я = ~,УУ(! !)[К(х У) — Ь'( У,) — К(, У )+ » = щ =! +»(х» н унл)), (118) где а, =х»(х~(...
(хр,(хр — — Ьг! ах=у,(у,(... ( (у,,(у,=Ь;, х, =а(»=х»!у, =-ъ,~у, (119) при беспредельном измельчании промежутков. Как и в [4[, можно показать, что интеграл Стилтьеса существует при предположении, что 7(Р) непрерывна внутри а» и ограничена, если 0 (д) удовлетворяет дополнительному условию, которое мы сейчас укажем. Пусть Д'"' — замкнутые промежутки, лежащие внутри а», которые расширяются и стремятся к Д, так, что любая внутренняя точка а» попадет в а!"! при достаточно больших л. Мы требуем, чтобы 0(бнп) — 0(а»). Это аналогично непрерывности » (х) на концах промежутка, которую мы оговаривали в [4[.
Интеграл Стилтьеса может бьыь определен и для всей плоскости — со(х(+со, — со(у(+со, которую обозначим через 1;!. Пусть 0(а) — неотрицательная, аддитивная и нормальная функция, определенная для всех промежутков как конечных, так и бесконечных, принадлежащих ф Пусть а'ю — последовательность промежутков, 78 [24 янтвгелл стилтьвсл беспредельно расширяющихся по всем направлениям, например, пусть Ь'"1 есть — п(х<п1 — п(у(п. Из нормальности О(Ь) следует, гто О (Ь'"1) — 0 Я) — О при п — со. Если Г (Р) непрерывна и ограничена в Г',1, то существует интеграл Стилтьеса (117). При этом последовательность подразделений должна быть такой, чтобы при любом фиксированном п наибольший диаметр промежутков, имеющих общие точки с Ь'"1, стремился к нулю.
Областью интегрировзния может быть и не промежуток Ья, а некоторая область Я, которая представляет собой сумму конечного числа промежутков. Мы можем совершать сколь угодно тонкие разбиения на частичные промежутки, составлять суммы (116) и переходить к пределу. Интеграл по Я сводится к конечной сумме интегралов по промежуткам, на которые можно разбить Я, и он, очевидно, не зависит от способа разбиения 5 на промежутки.
Свойства двукратного интеграла Стилтьеса совершенно аналогичны указанным нами раньше свойствам простого интеграла. 24. Функция ограниченной вариации на плоскости. Рассмотрение функций ограниченной вариации на плоскости во многом аналогично предыдущему. Формулировки будут несколько иными, так как мы будем вести изложение не в терминах функции точки, а в терминах функции промежутков. Пусть 0 (ц) — аддитивная и нормальная функция промежутков, определенная для всех промежутков (в общем смысле этого слова), принадлежащих некоторому основному промежутку Ь,. Эту функцию 0 (а) мы не предполагаем неотрицательной.
Пусть Ьн ...,а„ вЂ” некоторое разбиение 8 промежутка Ь, на частичные промежутки. Составляем суммы Гг — — ',~ [0(йл) [. (120) ь=! Определение. Если при всевозможных разбиениях Ь множество значений (г ограничено, то функция 0 (Ь) называется функцией ограниченной вариации на промежутке Ьм а точная верхняя граница этих сумм Гг называется полной вариацией ггли просто вариацией функцгш 0(Ь) на промежутке Ья. Мы ее будем обозначать символом 1гы(0). Свойства сумм г, и полной вариации совершенно аналогичны тем свойствам, о которых говорили в [8[, и большинство из этих свойств приведем без доказательства. Если 3' есть продолжение подразделения 3, то гг )1и Если О (ц) — ограниченной вариации на Ьм то она ограниченной вариации и на любом промежутке Ь', принадлежащем а„ причем (гь (О) ( ( (гь,(О). Любая неотрицательная или неположительная функция 0 (а) есть функция ограниченной вариации.
Если промежуток Ь' принадлежит Ьы то имеет место неравенство [О (й') [ ~ (г., (0), (121) 241 ФУНКЦИЯ ОГРАНИЧВННОй ВЛРИЛЦИИ НА ПЛОСКОСТИ 79 ~„~ 0 (Д ) ~ ~ !' (Дй) — й ° й=1 (122) Для любого !в из рядз чисел 1=1, 2, 3, ..., р произведение Д Д!"1(т=1, 2, ...) есть исчезающая последовательность.
В силу нормальности 0(Д) можно фиксировать такое значение я! =и„что !0(Д Д'й!)( =.— при т) тй У" (~ = 1, 2, ..., р). (123) Фиксируем любое т)тй. Каждый промежуток Дгй! подвергаем дальнейшему раздроблению так, чтобы Д Д!й' было частичным промежутком. Пусть Д,! (з = 1, 2, ..., и„) остальные частичные промеки жутки при этом раздроблении Д'"'. Таким образом, получится некоторое разбиение Д„ которое является продолжением разбиения 6, а, следовательно, для него и подавно справедливо неравенство (122), т. е.
'У (а(Д Д! !)1+ ~~~Р ~~)' ~0(Д!"!)~~ )г(Д,) й=!й-! В силу аддитивности (г(Д) и неравенства )0(Д~ !) ! = 11(Д~ !) последнее неравенство дает нам лй Р й '~10(д.д!!)(»- ~,'» ) (д!")~) (д.)+ ~ '~ р(д!"!)- й й-1 й=1й 1 й=!й=! или Р )г(д,„)(~~) )0(д„,д!й!)(+й при т)лгй. и функция 0 (Д), ограниченной вариации в ДФ будет ограниченной (по абсолютной величине) для всех Д, принадлежащих Д,.
Всякая линейная комбинация функций ограниченной вариации есть функция ограниченной вариации. Справедлива теорема 3 из 18) о произведении и частном. Полная вариация Р'й(0) есть некоторая неотрицательная функция, определенная в ДФ Повторяя доказательство теоремы 4 из [81, мы покажем, что 1г(д)= Рй(0) аддитивна. Докажем, что функция Г(Д) есть нормальная функция на Д,. Пусть Д (т=1, 2, 3, ...) есть исчезающая последовательность промежутков. Нам надо доказать, что 1У (Д ) — О.
Пусть й — заданное положительное число. Берем такое подразделение 3; Д"1, Д'", ... Д'Р! промежутк а Д„для которого во интвгвлл стилтьвса Принимая во внимание (123), получим У(Ь )( У вЂ” +а=2а при лг)глм р Ф=! откуда, ввиду произвольности е, и следует, что У (Ь ) -ь О. Таким образом, (г(Ь) есть неотрицательная, а дд ит и зная и и ормальная функция промежутков на Ьа. Определяем далее неотрицательные, аддитивные и нормальные функции по формулам О, (д) = 1 [и (д) + 0 (д)); О, (д) = 1 ((г (д) — О (д)] (124) и получаем таким образом каноническое представление функции ограниченной вариации 0 (Ь) в виде разности двух неотрицательных, аддитивных и нормальных функциИ: О (Д) = О, (Д) — О, (Д). (125) Если имеется какое-либо другое аналогичное представление: (126) о(д)=0,*(д) — О, (д), то для любого Ь, принадлежащего Ьа, имеем 0,(Ь)(0, (ц) и 0,(ц)(О,~(Ь).
Наоборот, если 0 (Ь) есть разность двух неотрицательных, аддитивных и нормальных функций, то 0 (Ь) — функция ограниченноИ вариации. Если промежуток Ь есть точка Р, то У (Р) совпадает с 0 (Р). Если 0 (Р)= О, то и 1г(Р)= О, т. е. непрерывность О (Ь) в некоторой точке влечет за собой и непрерывность У (Ь) в той же точке. Для отрезков, параллельных осям, дело обстоит несколько сложнее.
Истолкуем 0 (Ь) как количество зарядов, расположенных на промежутке Ь. Если на некотором отрезке 2 прямой, параллельной одной из осей, расположены, например, с определенной линейной плотностью электрические заряды, общая сумма которых равна нулю, то 0 (2)= О. С другой стороны, мы будем иметь ьг(г') ) О, так как (г(Е) дает общую сумму зарядов, причем все заряды берутся со знаком плюс. Можно было бы определить аддитивную и нормальную функцию О (Ь) только на полуоткрытых промежутках и пользоваться разбиениями только на полуоткрытые промежутки. При этом мы смогли бы провести все приведенные выше рассуждения и пришли бы к формуле (125).
Неотрицательные, аддитивные и нормальные функции 0,(Ь) и О,(Ь) полуоткрьпых промежутков можно было бы распространить на всевозможные промежутки, и тем самым формула (126) дала бы нам распространение и заданной функции 0 (Ь) на всевозможные промежутки, и эта функция оказалась бы аддитивной, нормальной и ограниченной вариации для всевозможных промежутков.
25) пгостяднство нипвипывных егнкций многих пвгкмвнных 81 $У(Р) 0()5) = $ У(Р) а, (Уи) — ~ У(Р) 0,((и). (127) д!01 д<д~ н> Если имеется замкнутый промежуток Д"' (а, ( х ( ЬБ а, ~у ~ Ьд), то пользуясь выражением (115), можем определить функцию ограниченной вариации д(х, у) и полную вариацию так же, как и в (8), исходя из сумм а у ! д(хт„ут) — 8(х« „ут) — а(х«, ут,) +8(х«ь ут Д !.(128) аы «=.! т=! 25.
Пространство непрерывных функций многих переменных. Положим, что на некотором конечном замкнутом промежутке Дд (а, (х(ЬБ а, ( (у(Ь,) задана непрерывная функция у(х, у). При помощи линейного преобразования х'= ах+ Ь, у' = ау+ а(а и с фО) мы можем снести дд к промежутку 0(х'(1; 0 у'(1, и непрерывная функция останется непрерывной и после преобразования. Будем считать, что уже первоначальный промежуток дд был промежутком 0(х(1, 0(у(1, Построим для г(х, у) полиномы С. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
