1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Но этого быть не мажет, так как мы имели раныпе (го'(9) = ив, а после Указанного измененин полУчили бы невозможное Равенство (го'(8) ( л Ф' Таким образом, из (го'(8) =ля следует, что 8(х) не имеет устранимых разрывов. Остаются те разрывы, в которых 9(1 — 0)~8(!+О). Если выбрать значение 8(1) сначала принадлежащим замкнутому промежутку ! с концами 8(1 — О), л (!+ О), а затем лежащим вне этого промежутка, то во втором случае )го'(д) будет очевидно больше, чем в первом. Таким образом, в неустранимых точках РазРыва из условна ]Гоо (У) = л следУет, что 8(":) пРинадлежит замкнутому промежутку т.
Положение числа 9(:-) в промежутке о' не влияет на полнУю ваРиацию (/ (8). Итак, пРи Условии )гоо(8) = ив единственным пРоизвоо лом является определение и(;-) в точках разрыва, но так, что 8 (!) принадлежит т. Обычно полагают 76] 59 динийнын опдРАТОРЫ в С Можно аналогично предыдущему рассматривать пространство С комплексных функций ч(х)+ лф(х), непрерывныл на промежутке [О, 1]. Элементы такого пространства можно умножать на комплексные числа и складывать.
Определение нормы и линейного функционала солраняются, но значения функционала могут быть и комплексными. Имеет место и теорема об общем виде линейного функционала, причем комплексные функции ограниченной вариации имеют вид Л (х) + (Р (х), где Л(х) и Р (х) — вещественные функции ограниченной вариации. 16. Линейные операторы н С. Перейдем к опредсленило оператора в про- странствеС.Оператором в С назовем всякий определенный закон, согласно которому любому элементу у(х) из С сопоставляется определенный элемент лл(х) тоже из С. Введем лля оператора обозначение Г[У(х)]. Для любой функции У(х) нз С символ Ь' [т'(х)[ определяет некоторую функцию у (х) также из С.
Дистрибутивность оператора определяется так же, как и днстрибутивность функционала, т. е. формулой, аналогичной формуле (87). Ограниченность определяется формулой, аналогичной формуле (88), но только вместо абсолютного значения в левой части надо писать норму, поскольку г"[у'(х)] есть не число, а элемент из С: [[Ь'[У(л)] [[ ул([[У(х) [[. (88л) л в (у) = у (х) луп (х, у), Для того чтобы написанная формула давала линейный оператор, необходимо и достаточно, чтобы функция п(х, у) кроме вышеупомянутых свойств, обладала еще и таким свойством, что функция у(н), определяемая указанной формулой, являлась бы непрерывной функцией на промежутке [О, 1] при любом выборе функции у (х), непрерывной на [О, 1]. Если у, есть какое-либо значение из промежутка [О, ]], и у„(п = 1, 2, 3, ...) — последовательность чисел из промежутка [О, 1[, имеющая у, своим йределом, то определение непрерывности эл(у) в точке у, приводит нас непосрелственно к следующему необкодимому условию, которому должна удовлетворять функции п(х, у): д л я любого уа из промежутка [О, 1] и для любой непрерывной функпии У(х) на этом промежутке должна быть справедлива формула 1пп ~ у (х) л(„д(х, у„) = ] т" (х) л(лд(х, у,), зч о (92) где у„— л лоба я по след ова тельп ос т ь чисел из промежутка [О, 1], имеющая ул своим пределом.
Функции д(х, у), обладающие Д и с т р н б у т и в н ы й и о г р а н и ч е н н ы й о п е р а т о р н а з ы в а е т с я л иней н ы и оп врат ор о лл. Такой оператор будет обязательно н си рер ы в н ы м, т. е, если ул (х) у'(х), то и г" [тл (х)] — Г [т (х)], причем в обоих случаях слодимость есть равномерная скодимость соответствующей последовательности функций в [а, Ь]. Привелем без доказательства, основной результат, касающийся общей формы линейного оператора в С. Пусть я(х, у) — функция, определенная на замкнутом двумерном промежутке 0(х~!, 0(у(1, ограниченной вариации по х на промежутке (О, 1], при любом значении у из промежутка [О, 1].
Подставляя эту функцию д(х, у) в правую часть формулы (96), мы получим в результате интегрирования уже не число, а некоторую функцию параметра у, определенную на промежутке [О, 1]: 60 117 интвгеьл стилтьвс» таким свойством, нззываются обычно с а а б о и е и р е р ы в н ы м и и о и а р ам е т р у у. Если я(х, у) — ограниченной вариации по х н слабо непрерывна по у, то формула (92) дает, очевидно, линейный оператор в С. Можно доказать и обратное предложение, т. е. всякий линейный оператор в С и р е д с т з в н м и о ф о р м у л е (92), г д е я (х, у) — о г р а н и ч е и и о й вариации по х и слабо непрерывна но у. Доказательство этой теоремы и выяснение понятия слабой непрерывности можно найти в книге В.
И. Гливенко «Интеграл Стилтьесак Если К(х, у) есть функция, непрерывная на двумерном промежутке 0 ( х ( 1, 0(у (1), то формула ! т(у)= К(у, х)У(х) «(х дает, очевидно, линейный оператор в С. С такими операторами мы имели дело в теории интегральных уравнений. Но не всякий оператор в С может быть представлен такой формулой. 17. Функции промежутков.
При дальнейших обобщениях понятия интеграла нам будет удобнее пользоваться вместо функций точки функциями промежутков. Пусть на бесконечной оси ( — со, + со) дана неубывающая ограниченная функция д(х). Сопоставим любому полуоткрытому слева промежутку б=(а, р] неотрицательное число: 8 6+0) — д(а+0) (масса, содержащаяся на этом промежутке). Таким образом, мы получим функцию полуоткрытых промежутков, которую обозначим через 0 (б): ( ) — й"(р ) К( -т- ). (93) Для формулировки свойств этой функции введем одно новое понятие. Будем говорить, что последовательность а01,а«»1, ..., полуоткрытых промежутков есть исчезающая последовательность, если кзждый промежуток аг»ы1 принздлежит предыдущему а'~', н ни одна точкз не является общей точкой всех промежутков. Выясним структуру исчезающей последовательности промежутков.
Пусть а'~' есть (а», Ь»]. По условию, а» ~ а „, Ь» ) Ь» «и Ь вЂ” а» -«-0 при беспредельном возрастании А. Монотонные последовательности а„и Ь» имею~ общий предел с, причем для любого 1« мы имеем а» ( с (Ь». Поскольку ни одна точка, и в частное~и точка с, не является общей точкой всех промежутков ц'»», то для всех достаточно больших значений А точка с должна попасть на левый открытый конец промежутка, т. е.
а'») есть (с, Ь»] для всех достаточно больших 1« и Ь»-»с. При этом а(б" 1) = К(Ь»+ 0) — К(с+ 0) -+О, ибо д (Ь„+ 0)-«. а(с+0). Из определения (93) и только что приведенных рассуждений непосредственно вытекают следующие три основные свойства 0(а): 1) 0(а) неотрицагельна; 2) о н а а д д и т и в н а, т. е. если полуоткрытый промежуток а разбить на конечное число полуоткрытых 61 )7] Функции пэомажуткои промежутков бп Да ..., Д~, попарно без общих точек, что выражают обычно равенством (94) то (95)' 3) функция 0(й) стремится к нулю на исчезающей последовательности промежутков.
Это последнее свойство мы будем называть нормальностью функции 0(Ь). Оно имеет очевидный физический смысл. Будем рассматривать не только полуоткрытые слева, но любые промежутки: (а, р], [а, р), [а, р](а, р), и отдельную точку и будем рассматривать так же, как промежуток [а, а]. Исходя из неубывающей ограниченной функции точки л.(е), мы можем построить функцию 0(й) любых промежутков, причем эта функция будет обладать указанными выше тремя свойствами.
Для этого достаточно, кроме определения (93), ввести еще следующие определения: 0 ([а, р)) = 8 (~ — О) — л(а — О); 0([а, 'р]) =8'(Д,+ О) — у(а — О); 0((а, Р)) =8 (Р— О) — л(а+ О), (96) нли, если [а] — промежуток, состоящий из одной точки, то 0 ([а]) = л (и + О) — л(а — О).
(97) Если неубывающая функция л(х) определена только на конечном промежутке, например на промежутке (а, Ь], то можно распространить ее на всю ось, полагая л (х)=л(а+О) при х(пи л(х)=а (Ь) при х)Ь. Мы пришли к понятию функции промежутка 0 (и), исходя из неубывающей функции точки л.(х). Можно, наоборот, имея функцию промежутка 0(ц) с упомянутыми выше тремя свойствами, построить функцию точки 8.(х), которая приведет по указанной выше схеме к 0(й). Достаточно для этого положить (98) л (х) = 0 (( — со, х]).
Построенная таким образом функция л(х) будет, очевидно, непрерывной справа. Если О (й) определена только для промежутков, принадлежащих некоторому промежутку Ь„ то ее можно определить и для всех промежутков, полагая 0 (б) = 0 (д ° Ь,), где произведением промежутков й ° й, мы называем промежуток, составленный из точек, одновременно принадлежащих й и й,. Если таких точек нет, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
