1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть на замкнугом конечном или бесконечном промежутке [а, Ь] имеется функция и (х), принимающая в каждой точке этого промежутка конечное значение. Пусть 3 — некоторое разбиение [а, Ь] на части а=х,(х,(...( (х„,(х„=Ь. Составляем сумму: л ~» = ~~~„] л' (х») в' (х» - ) [. »-1 (39) Определение. Если лри всевозможных разбиениях ь множество значений этой суммы есть ограниченное множество, то функции Эга формула годи~ся для конечного промежутка.
В случае бесконечного промежутка интегрируемая функция У(х) = х перестает быть ограниченной, и надо использовать определение' несобственного интеграла. В теории вероятностей функция и(х) выражает обычно вероятность распределения некоторой случайной величины, а именно и(х) равно вероятности того, что случайная величина принадлежит промежутку ( — со, х]. При этом, как и выше, и(х) непрерывна справа. Понягие интеграла Стнлтьеса от непрерывной функции непосредственно распространяется, как мы увидим, на тот случай, когда и(х) есть разность двух неубывающих функций: д(х) = иг (х) — ия(х).
У!егко дать физическую интерпретацию и(х) в этом случае. Положим, ч го на промежутке ( — со, + со) распределены положительные и отрицательные заряды. При этом и, (х) определяет общий положительный заряд на промежутке ( — со, х], а е, (х) — общий отрицательный заряд на этом промежутке. Зб Функции ОГРлничвнной ВВРиацин 81 п(х) называется функцпез с ограниченным из.печением илп функцссей ограниченной вариации на промежутке [а, Ь], а точная верхняя гранила сумм (39) называется полной вариацией или просто вариацией функции е(х) на промежутгсе [а, Ь]. Мы ее будем обозначать символом Р' (д), О гметим некоторые простые свойства сумм бг и полной вариации. Если между точками х„и ха ввести новую точку деления с, то из формулы п(хг) — п(ха,) = [п(ха) — п(с)]+ [п(с) — п(х„,)] непосредственно следует ! д(х„) — п(ха,) (] п(хг) — п(с) [+ ] ц(с) — е(х„,) [, т.
е. п ри добавлении новых точек деления сумма не у бы в а ет. Лалее, если суммы Г„состоящие из неотрицательных слагаемых, остаются ограниченными для промежутка [а, Ь], то они тем более остаюгся ограниченными и для любого промежутка [и, р], составляющего часть [а, Ь], т. е. если п(х) — ограниченной вариации на [а, Ь], то она будет ограниченной вариации и на любой час~и [я, р] промежутка [а, Ь] н )га М) ~ )'"' (у).
Если взять промежуток [а", Ь] целиком, то это есть одно из возможных разбиений Ь, и так как мы имеем, очевидно, для любого разбиения неравенство 1г ( Ъ'",(й), то, в частности, мы будем иметь (40) !п(Ь) — п(а)~ ( 'у'в (э). Если п(х) — монотонная функция на промежутке [а, Ь], то все разности е(ха) — д(ха,) имеют один и тот же знак, и сумма г, при любом Ь равна п(Ь) — п(а) для возрастающей функции и е(а) — п(Ь) для убывающей функции, т.
е. люба я монотонная функция есть функция ограниченной вариации. Формулируем теперь в виде отдельных теорем ряд свойств функций ограниченной вариации. Теорема 1. Если е (х) — ограниченной варпацпи на [а, Ь], то она ограничена на этом промежутке. Лля любого х, принадлежащего [а, Ь], можем написать п(х)= =я(а) + [е(х) — п(а)] и, следовательно, ]д(х) ) ( ( я(а) ]+]й(х)— — п(а)[, или, в силу (40), [д(х)[ -д(а)+ $г" (е)(й(а)+ )гь(д), что и доказывает ограниченность п(х).
Теорема 2. Если п(х) и Ь (х) — функции ограниченной вариации на [а, Ь], то сп(х) (с — постоянная) и п(х) -[- Ь(х) — также ограниченной вариации 36 интзгглл стилтьзсл Проведем доказательство для суммы. Составим ~! для й (х) ]- Ь (х): л !ь= !! [[я(х,)+Ь(хд)] — [й(хд 1)+Ь(х,,)]!» й=! ь л ]й(хд) й(хд- )]+ ~д' !" (кд) Ь(хд-!)!. »=1 й=1 р 1ь = ~~' ! я (хд) Ь (хд) — я (хд,) У! (хд,) !. й=1 (4! ) Принимая во внимание ограниченность я(х) и Ь (х), можем написать ! я(х)[(Е и !Ь(х) !-= 1., где Ь вЂ” некоторое положительное число. Имеем очевидную формулу й(хд)Ь(хд) — Ы(х -!)Ь(х»- )=К(хд)[Ь(хд) — Ь(хд )]+ + Ь (х.
!) [а(хд) — а(хд )] которая совместно с (41) дает нам » й тд( !! [й(хд)]]Ь(хд) — Ь(хд,) ]+ ~ ]Ь(хд,)[[й(х) — д(хд 1)! й-1 й-1 или л » ~ь -= У. '5' ! Ь (хд) — Ь (хд !) !+ Е ~~)' ! Я(хд) — й(хд,) !. й=1 Д-1 Но написанные суммы ограничены, так как, по предположению, я(х) и Ь(х) — ограниченной вариации, а потону и суммы !ь ограничены, что и доказывает теорему. Теорема 4. Если а(с(Ь и я(х) — ограниченной вариации на [а, Ь], то она — ограниченной вариации на [а, с] и [с, Ь] и на- Последние две суммы огрзничены, так как, по предположению, я(х) и Ь (х) — ограниченной вариации. Следовательно, 1! и подавно ограничена, т.
е. я(х) + Ь (х) — ограниченной вариации. Следствие. Всякая конечная линейная комбинация функций огран!тенной вариации, т. е. выражение вида с!г"!(х)+сдгд(х)+ +...+гррр(х) есть также функция ограниченной вариации. Теорема 3. Если «(х) и Ь (х) — ограниченной вариации, гпо и их произведение я(х) Ь (х) — !пакже ограниченной вариации. Если, кроме того, ! Ь (х) ! ) т) О, то и частное я(х): Ь (х) — ограниченной вариации. Рассмотрим произведение и построим для него !ь.' 37 8] Функции ОГРАничвнной ВАРилции оборот, если она ограниченной вариации на [а, с) и [с, Ь), то она ограниченной варпаци» и на [а, Ь].
17ри этом имеегн место формула ),'» (й) (гс (й) + ]/ь (л) (42) Выше мы видели, что если а(х) — ограниченной вариации на [а, Ь], то она ограниченной варлации на [а, с] и [с, Ь). Остается доказать обратное утверждение и формулу (42). Обозначим через ~» сумму (39) для ]а, Ь) и через 1[" ,н 1)»' аналогичные суммы для [а, с) и [с, Ь). Если точка с является точкой деления 3, то это подразделение 3 разбивается на подразделение 3' промежутка [а, с) и подразделение 3, промежутка [с, Ь), и мы имеем »»= 6" ,+ 1['-,".
Если а(х) ограниченной вариации на [а, с] и [с, Ь), то предыдущая формула дает 1» ( У,' (й) + Ъг~(г). Таким образом, суммы Ь» остаются ограниченными, если с является точкой деления. Тем более они остаются ограничензыми и для других подразделений, так как добавление точки деления может только увеличить сумму 1». Из этого рассуждения следует, что а(х) — ограниченной вариации на [а, Ь] и что 'г'ь"(й) = (г',(к) + Г»(й). докажем противоположное неравенство, откуда и будет следовать формула (42).
Пусть а — заданное положительное число, В силу определения точной верхней границы мы можем в формуле 1» =~[" ,+ ~[-" ,выбрать подразделения 3, и 3, так, чтобы иметь г[" ,) 'г'»(а) — ь и Ч»" ,) Уь(й) — а. При этом получим Ьв > 'г' (а) ) 'г'»(ь) 2ь, откуда гь(а)г 'г" („) + Ъе (й) — 2» или в виду произвольности а, 1/»(й) ) Ъ" (а) + ]г~(й), что и доказывает окон ытель!ю теорему. Следствие.
Мы доказали теорему для случая разбиения промежутка [а, Ь] на две части. Применяя ее несколько раз, получим аналогичный результат для случая разбиения [а, Ь] на конечное число частичных промежутков, т. е. е с л и п р о м е ж у т о к [а, Ь) Разбит на конечное число частичных промежутков и й(х) ограниченной вариации на всем промежутке, то она ограниченной вариации на каждом частичном промежутке и наоборот; далее, полная вариация по всему промежутку равна сумме полных вариаций на каждом из частичных промежутков. Это свойство называют обычно свойством аддитивности полной вариации.
Оно может быть записано в виде кь (л) — ]гс (л)+ )гс (й) + )гь (в) (43) Теорема 5. Длн того, чтобы а(х) была ограниченной вариаЦгш, необходимо и достаточно, чтобы ее ложно было представить в виде разности двух возрасгнаюсцих функций. [е интвГРАл стилтьРсА Достаточность очевидна. Возрастающие функции суть функции ограниченной вариации, и разность таких функций, по следствию теоремы 2 есть также функция ограниченной вариации. Докажем теперь необходимость, т. е.
покажем, что если и(х) есть функция ограниченной вариации, то ее можно представить в виде разности двух возрастающих функций. Если положить и, (х) = — ~ (г," (й) + и(х) ]; и, (х) = — ) Ъ', (и) — я(х) ~, (44) то будем иметь и (х) = и1 (х) — ия (х), (46) и достаточно показать, что функции и1(х) и яя(х) возрастают, Докажем это для и,(х).
Пусть и и р принадлежат [а, Ь] и и(р. Имеем а (р) — а ( ) = —, ~ ~'„'(К) — 1'„" М)+й (Р) — й'( )~, или, в силу аддитивности полной вариации: Аг, (р) — Э1(и) = — ~ уа (и) + и(р) — и(а) ~. 1 и ]Е(ха) — й(ха г)!) Ъ~~(Ь") — я. А=! (46) Если добавить новые точки деления, то написанное неравенство и подавно будет иметь место. Мы можем поэтому считать, что точка х, взята настолько близко к е, что )й(хг) — е(с)[(а. При этом используется непрерывность к(х) справа. Неравенство (46) можем переписать так: л [о(х,) — о.(с)]+ ~г' ]и(х„) — и(х„,)]) ~/~(й) — е, Но, в силу (40), )г~(д)= [у(~) — я(и)], откуда и следует, что и, (р) — Аг,(и) ) О. ВозРастаюпгие фУнкции Яч (х) и ия (х) могУт иметь только конечное нли счетное множество точек разрыва, и в каждой точке разрыва они имеют предел слева и справа.
Следовательно, то же самое можно утверждать и относительно функции и(х). Теорема 6. Если в некоторой точке х=с функция я(х) непрерывна, то в этой точке функция ьг" (д) = п (х) также непрерывно и наоборот. Если я(х) непрерывна справа (слева), то и о(х) непрерывна справа (елева) и наоборот. Положим, что с(Ь, и рассмотрим, например, непрерывность справа. Пусть я — заданное положительное число. Делим [с, Ь] на части с =х„(х, (... (х„, (х, = Ь так, чтобы имело место неравенство З9 8] мнкции огганичвнной вьиилции огкуда получаем, в силу ! а(х,) — а(с)[(а; « ',Ь [ а (х„) — а (хь,) ] ) Рь (а) — 2а.
«=2 Сумма, стояптая слева, есть некоторая сумма т, для промежутка [х,, Ь], и из последнего неравенства следует: Р' (е)) Ра(д) — 2а, я(х)= д~«(х) — Д (х) (47) есть какое-либо представление д'(х) в виде разности возрастаю- итих функций, то для любых а(~, принадлеакагцих [а, Ь], имеют место неравенства л', (р) — д, (а) ( й[ (р) — е «~ (а); йч (р) — д'„(а) ( е'Х (р) — яа (а). (48) Ограничил~ся доказательством первого из этих неравенств, которое можно записать в виде 2 Га М) + К (Р) — К( )] == й" 6) — И ( ).
(49) Локазываем это неравенство от обратного. Положим, что имеет место противоположное неравенство 2 [~"„М)+86) — й(а)])йу(В) — й7(а) (50) Берем такое подразделение д промежутка [а, [)], чтобы сумма Ьа была настолько близкой к полной вариации Ъ'"(й), чтобы при замене этой полной вариации 'упомянутой суммой в неравенстве (50) это или, в силу аддитивности полной вариации, мы получим Ъ',"~(д) ( 2«, т. е. о(х,) — п(с)(2а. Функция п(х) возрастаег, и из последнего неравенства следует п(с+О) — п(с)(2г, откуда, ввиду произвольности а, получаем п(с+0)=п(с), т.
е. п(х)= Р" (а) в точке х=с непрерывна справа. Наоборот, если дано, что о (х) непрерывна справа, то в силу (40) имеем [а(с+Ь) — а(с)](о(с+Ь) — п(с), и при стремлении положительного числа Ь к нупю правая часть стремится к нулю, а, следовательно, левая и подавно стремится к нулю, что и доказывает непрерывность а(х) справа в точке х= с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
