1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Она касалась того случан, ко~да интегриртемые функции равномерно стремились к предельной функции у (х). Пусть У„(х) непрерывны на промежутке [а, Ь], У«(х) — т (х) равномерно на [а, Ь] и е (х) — функция ограниченной вариации йа [а, Ь[. На основании [4] и формулы (55) имеем 1пп 1 у«(х) де (х) = ~ т" (х) Вй (х). и (о,) ь а (66) ьь — А [] ч( ) -г ( т е( ) $ ~ с: $ [ ч«) — т. «)) (е( ) ! Укажем на некоторые простые обобщения этого утверждения, причем ограничимся рассмотрением бесконечного промежутка. Теорема 1. Пусть тп(х) непрерывны внутри [ — со, +оз] и ограничены одним и тем же чйслол! [тп(х) [(й, не эависящиле от и, у«(х) — у(х) равнолгерно в любом конечном проз(ежутке и я(х) — функция ограниченной вариации на промежутке [ — со, + се], и~прерывная на концах этого пролгежутка.
При этом для промежутка [ — сс, + со[ ил!ест место формула (63). Функция Т"(х) непрерывна внутри [ — со, + оз] н ограничена, а потому интегрируема по е(х). Принимая во внимание, что е(х)„ а потому и ее полная вариации непрерывны на концах промежутка, и что [у (х) — Тп(х)[ ( 2ь, мы можем утверждаттч принимая во внимание (56), что для любого заданного положительного е существует такое положительное число А, что при л(обом и, 11[ пнпдидьный пиипход в интигнлли стилтьиса 45 В промежутке [ — А, +А[ предельный переход эп(х) —.у(х) имеет место равномерно, а потому, в силу упомянутой выше теоремы, мы имеем для всех достаточно больших и: +А [У(х) — Уп(х)[ бе(х) ~ (е — А и, слеловательно, Ц [Э" (Х) — у„(Х)[ ба(Х) ((Зе, откуда, в виду произвольности е„следует утверждение теоремы.
Докажем теперь аналогичную теорему для того случая, когда функции гл(х) неограничены в промежутке [ — оз, + со[, и интеграл по этому промежутку приходится понимать как несобственный интеграл. Теорема 2. Пусть У„(х) непрерывны внутри [ — со, +со[, несобственные интегралы +' ' ул(х) бн(х) = Иш 1 Ун(х) бн(х) а — со д СО З +м (64) в" ) ~ ул(х) бл(х)! ~е. (65) Фиксируем каким-нибудь образом В' и В" так, чтобы промежуток [В', В"[ лежзл вне [ — А, + А[. При этом, в силу равномерной сходимостн эл(х) — у (х) на промежутке [В', В"[, мы будем иметь для всех достаточно больших значений и: ! ~ [г" (х) — у„(х)[ бл(х) ~ (е.
в' (66) Принимая во внимание очевилное равенство в" в в" В' Р(х) бб (х) = 1 уп (х) бе (х) + ~ [г'(х) — Кл (х)[ бн (х), т) существуют рпвномерно относительно и, уя(х)-у(х) равнолсерно во всяком конечном промежутке и'а(х) есть функция ограниченной вариации в любом конечном промежутке. При этом интеграл от у (х) по е(х) (несобственный) ни промежутке [ — оз, + со[ суивествует, и имеепи место форлеула (63). Функция э (х) непрерывна в любом конечном промежутне и пнтегрируелюа на таком промежутке по в(х).
Докажем, что она интегрируема по бесконечному прометкутку. Пусть е — заданное положительное число. В силу того, что интегралы (64) сходятся равномерно относительно и, существует таное положительное А, что для любого промежутка [В', В"[, лежащего вне [ — А, +А[ и любого значна и, иыеем 46 112 ннтвгглл стнлтькся получим на основании (65) и (66): ~(х) пй(х) ( 26 откуда и след)ет, что интеграл от У(х) по 3(х) на промежутке ( — со, +со) существует, Длн доказательства формулы (63) достаточно заметить, что интеграл от разности У'(х) — Уч(х) будет достаточно малым по абсолютной величине на достаточно далеких йрол~ежутках, а на конечных промежутках он будет малым при всех достаточно больших значениях я в силу равномерной сходи- мости у'„(х) к 7"(х). Заметим, что в случае конечного промежутка длн справедливости формулы (63) нет необходимости в равномерном стремлении ~ч(х) к у (х).
Достаточно потребоватгч чтобы непрерывные функции уч(х) стремйлись к непрерывной функции 7'(х), оставаясь ограниченными, независимо от значка и, т. е, должно существовать такое положительное число 7, что при всяком и и всех к из (а, Ь) имеетсЯ неРавенство ! Уч (х)) =. Д Это УтвеРждение бУде~ нами доказано позже (50).
12. Теорема Хеллн. Мы рассмотрим теперь теорему о прелельном переходе для того случая, когла изменяется интегрирующая функция 3(х). Предварительно исследуем вопрос о стремлении функции ограниченной вариации к предельной функции. Пусть дя(х) последовательность функций ограниченной вариации на промежутке (а, Ь), причем вариации всех этих функций ограничены одним и тем же числом Ь, ве зависящим от я, (67) Положим, что дч(х) в каждой точке промежутка (а, Ь) стремятся к предельной функции 3(х), имеющей конечные значения. Нетрудно видеть, что и функция д(х) будет функцией ограниченной вариации. Действительно, сУммы Г)ч) дла фУнкций дч(х) имеют оценкУ: Г';ш =,'), (3„(лл) — д„(ха,),~ (Ь, а-! откуда, переходя к пределу, получаем такую же оценку для сумм Га функции д(л]: та=~.)а( ь) — а(х )(~у., а=! откуда и следует, что вариация д(х) также не больше Ь.
Если функции я„(х) сходятся к функции д(к) не во всех точках промежутка (а, Ь), но лишь на плотном в (а, Ь) множестве $ точек лл(Д=!, 2, 3, ...), то уже нельзя утверждать, что функция д(х) есть функция ограниченной вариации. В дальнейшем в указанном случае мы будем предполагать, что функция д(х) есть функция ограниченной вариации. Отметим, что множество $ точек ха называется плотным в (а, Ь), если любая часть промежутка (а, Ь) содержит бесчисленное мном ество точек из $.
Положим, что йя(х) есть последовательность возрастающих функций и что эта последовательность в каждой точке (а, Ь) стремится к прелельной функции д(х), имеющей конечные значения. При этом предельная функция будет также возрастающей, а следовательно, будет и функцией ограниченной вариации. Докажем следующую теорему; тгогимт кгллп Теорема П Если функции яи (х), возрос!лишение ни про,кежуопке (а, Ь(, юпремяопся к функции я(х) ни плотном в (о, Ь( мнонсеспове $ точгк, то сходимость имеет место в каждой точке непрерывносгпи и(х), лежищей внутри (о, Ь(.
Пусть х, — точка непрерывности е(х), а х' и хи — точки из множества 6, лежащие слева н справа от хо, т. е, х' < х, < х". Мы имеем яп(х')- < йи (хо) = Рп (хи) и, слеловательно, 8(хо) — 6„(хо) <д(хо) — 8„(хо) < я(х„) — еи (х') Это нсравенство мы можем переписать следующим образом; (8(го) — У(хи)(+ (У(хи) — Рп(хи)] < 8(хо) — й,(хо) < (и(х,) — я(х')(+ (к(х) — ки(х)(.
(68) Пусть о — заданное положительное число. Точки х' и хи из множества $, повсюду плотного в (и, Ь], мы можем взять настолько близкими к х„что !в(хо) Ю(хи) ! <' н (6(хо) — д(х) < о, ибо х, есть точна непрерывности 8(х). Фиксируя таким образом х' и х", будем для всех достаточно больших значений п иметь неРавенства (л(х) — Яи(х) , '< о и (8(хи)— — ки (хи) ! < о, так как в точках .к' н хи фУнкции дп (х) стРсмЯтса к д(х).
Приведенные неравенства, а также неравенство (68) дают нам непосредственно следующее неравенство: — 2о ( и (хо) — ри (хо) (+ 2о, откуда, ввиду произвольности о, и следует, что и„(хо) — и(х,). Формулируем теперь основную теорему о предельном переходе. Теорема 2 (Хелли). Пусть у(х) непрерывно ни (и, Ь(, рп(х) — ограниченной вариации, причем вариации )г (ии) не больше некоторого числа ь, ь не зависящего от и, и я„(х)-и(х) во всех пшчкох (в, Ь(. При этом справедлива форлсуло )пп ] у" (х) де„(х) = ~ф(х) до(х). и и и (69) Как мы указали выше, функция е(х) есть функция ограниченной вариации, а следовательно, у (х) интегрируема по е(х). Разобьем промежуток на частичные промежутки и = х, < х, « ...
хт ! < хт = Ь и напишем очевидную формулу т. е ь т ] у(х) дк(х)= и й-! кй + ) У(хй) (к(хй) — 8(хй,)]. (70) ь ио 5 У(х) д,(х) =,'5' и й=.. ! й ! У(х) дя(х) = кй-! «й т (г'(х) — г" (хй)( дя(х) + ~~ у(хй) ] дя(х), к й ! х х (у (х) — у (хй)( дк (х) + 48 интпггдл стилтьвсл Пусть а — заданное положительное число. Можно фиксировать настолько мелкое разбиение [а, Ь] на части, чтобы для разности У(х) — У'(хл) при любом А имела место опенка ]у'(х) — г"(х!)] ( т, Это следует непосредственно из равномерной непрерывности !"(х) в (а, Ь].
При этом получим л!, [т (х) — т (ха)] !(в" (х) ! ( т)'л (а) откуда л! тл );т ~ [У(х) — У(ха)]Ф(х)~~т ~~ 1'„л (а), л=!.т л=! т. е. я! ( (~Р ~ У(х) У( )]о (х))» 1, (8)~тС л=!ла, Формулу (70) можем для фиксированного выше разбиения записать в виде ь я! У.(х) с~д(х) =Вт Е+ '5' У(хл) [д(хл) — 8(хл !)], а а ! где [0[(1. Путем совершенно таких же рассуждений получим формулу У(х) !(8л(х) = Влей+ У У(хл) [ня(хл) — нл(ха-т)] а л=! где ]О„] ( 1, Вычитая почленно, будем иметь у'(х)!(и (х) — ~ у(х)!(яя (х) = Ю а = ( — 0„) тЕ + 1) у'(хл) [[п(хл) — дя (х!)] — [д (хл !) — ия (ха,)]].
Точки хл фиксиРованы, и, в силУ сходнмости гя(х) к 8 (х) в этих точках для всех достаточно больших значений я сумма, входящая в последн!ою формулу, будет по абсолютной величине меньше т, Таким образом, из последней формулы для такик значений л вытекает оценка ь ь / ~ У(х) !18 (х) — ~ ~(х) !(8« (х) / ~ т (2А + 1), и отсюда, в силу произвольности т, следует (69). Замечание.
Положим, что дя(х) стремятся к я(х) не везде на [а, Ь], но лишь на плотном в [а, Ь] множестве точек н в том числе на обоих конпат промежутка, причем предполагается, что предельная функция и(х) есть фун«- 12] 49 ГБОРБМА ХБЛЛН +;О + СО 1(щ ] у(х) бдя(х) = ] у(х) бд(х). П СО .l (71) Отметим, что в данном случае полная вариация гп(х) выражается разностью дп(+со) — Бп( — м), и из Условий теоРемы непосРедственно вытекает, что все эти полные вариации не больше некоторого 7., не завнснщего от и. Интегралы от у(х) по рп(х) и по а(х) существуют. Оценим разность этих интегралов, разбивая промежуток интегрирования на трн части: [ — сю, а], [а, Ь], [Ь, + со], где точки а и Ь принадлежат тому множеству, на котором д„(х) — д (х): + СО + СО у (х) бв (х) — ] у (х) басс (х) ! ( СО СΠ— '] ~ + ~ ] — ] + ~ — ~ ~.
(72) Функция у(х) ограничена, т. е. ]г"(х)] =Е. Для первой из разностей мы имеем оценку О а ~ у(х) би(х) — ~ г" (х) бдя(х) ~ ( =' 7. [[и (а) — а ( — оо)] + [(еп (а) — ап ( — со)] ), которую можем записать в виде а а — '] ( ~ й (2 [д (а) — Б ( — со)] + [Бп (а) — д (а)] + 00 СО + [я ( — ') — я«( ')Н. В силу непрерывности Б(х) при х = — оэ мы можем фиксировать а настолько близким к ( — со), чтобы положительная разность е(а) — е( — со) была меньше любого наперед заданного положительного числа.
Зафиксировав таким образом а, заметим далее, что разности дп(а) — д(а) и д( — со)— — ея( — сс) также будут сколь угодно малыми по абсолютной величине при всех достаточно больших значениях и. Совершенно аналогичным образом можно разобрать и третье слагаемое правой части формулы (72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
