1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пользуются гарцующей записью для обозначения точных границ: гп=(п1ф и М=зпры. Пусть у (х) не (х) — ограниченные функции на промежутке [а, Ь]г который может быть как конечным, так и бесконечным, причем д(х) — неубывающая функция, и пусть имеется некоторое разбиение промежутка [а, Ь] на части: а=х,< 'хг(хг( ° (х„~ <х„=Ь, когорое мы символически обозначим одной буквой а. В случзе промежутка бесконечного налево а= — со, а в случае промежутка бесконечного направо Ь =+ оо. Пусть далее гл и М, — точная нижняя и точная верхняя границы значений у (х) на промежутке [х, н ха]. Составим следующие суммы Дарбу — Стилтьеса, соответствующие указанному разбиению 3 промежутка [а, Ь]: л л а=~~ ~лг М'(х ) а(х„-)]1 Яа= ~Май'(х ) — й'(ха,)] (11) аам а-! Лля ограниченной функции у(х) мы имеем ]у(х)] =Е, где 1.— некоторое положительное число.
Принимая во внимание, что гг(х,)— — у(хь г) ) О, получаем для сумм (11) при любом законе подразделения 3 следующую оценку: Г ] аа] ( У ( ]д (ха) — д'(ха,)] = Е [у(Ь) — у(а)], «-1 ]о,] ~ г ]а'(Ь) — в" (а)]. 20 интягР»л стилтьзса Наряду с суммами (11) составим следующую сумму Римзна— Стилтьеса: и е»= ~~ у(ч») [е(х») — е.(х» !)], (12) »=! где 1» — некоторая точка из промежутка [х» „х»]. Принимая во вни- мание, что пь» -Я») =М» и а(х») — е.(х„!)тв0, мы имеем для любого подразделения 6 неравенство За~а! -85 (1З) Введем теперь некоторые новые термины. Подразделение 3' нааывается продолжением подразделения ч, если все точки деления подразделения ь являются и точками деления подразделения Ь'.
Пусть 3! и 3,— два каких-нибудь подразделения. Образуем новое подразделение, взяв за точки деления точки деления а! н точки деления йм Это новое подразделение на- зовен произведением подразделений 3! и 3я и обознзчим символом 353м ПодРазделение 3!а» ЯвлЯетсЯ, очевидно, продолжением как подразделения дн так и подраз- д е л е н и я 3». Понятие произведения подразделений мы можем, оче- видно, ввести и для любого конечного числа подразделений 3!Ья ,ч„. Отметим еше, что суммы з, и Яь зависят только от выбора подраз- деления ч, что же касается суммы а„ то она зависит еше от выбора точек 1».
Локажем теперь несколько совершенно простых теорем. Теорема 1. Если подразделение 3'есгпь продолжение подразде- ЛЕНИП ч, П»О Яь ) 3! и 85 (Яь Локажем, например, нерзвенство зм)зм При переходе от 3 к ч' каждый частичный промежуток, входящий в подразделение В, может разбиться на конечное число частей: х» 5=х!з»!(х!»!!( ... (х!»! (х!"!=х, — л» и вместо слагаемого т„[п(х») — »5(х» !)] суммы з, мы получим сле- дующую сумму: 5 [К( 5) К( 5 — !)1 5=! где т',"! есть точная нижняя граница значений у(х) на промежутке [х,!"1, х'»!]. Мы имеем, очевидно, гп!",!) гп», и, следовательно, принимая во внимание неотрицательность разностей д (х!",!) — е (х,!»1,), будем иметь Р» Р» '~ т!»! [д (х!',! — п(х~»!!)]) '5'т» [д (х',!) — д(х!»! )] = 5=! 5=! =т» [е(х ) — п(х»,)], и теорема доказана [ср.
[; 112]. сзммы дагвк 21 у зарема 2. Если ье и вз — любые два подразделения, то зе ~~ее' 1 Иеравенство зе(Яе для одного и того же подразделения непосредственно следует из того, что ть ( Мь и й(хь) — я (хь е) ~ О. Таким образом, для подразделения ьеьз имеем з,, ( Яе е . С другой !е ее' стороны, в силу теоремы 1, з, =.з, е и Яе ~8е е откуда и следует, 1 1 $ е е е' что зе, =ое,. Обозначим чеРез с точнУю веРхнюю гРаницУ сУмм зе пРи всевозможных законах подразделения Ь и через ! точную нижнюю границу сумм Яе' (14) 1=зпр зе; (=!п1 Яе Из определения точных границ и теоремы 2 непосредственно следует, что для любых подразделений де и де имеет место нерзвенство з, ( ! =.! =.
Яе„ и, в частности, е~ зе(! =у(Яе. (16) Укажем необходимое и достаточное условие равенства точных границ ! и !. При этом существенную роль будет играть разность л Я, — з, = Х (А4 — т ) ]я (х ) — я (хь,)]. (16) ь-! Теорема 3. Для равенства ( и ! необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений 3„(п= 1, 2,...), чгпо Яе„— зе„О.
Доказываем достаточность. Если последовательность подразделений 3„, для которой Яе — зе„ О, существует, то, применяя к этой последовательности неравенство (15), получаем с = !. Доказываем необходимость. Пусть с = (= А. В силу определения точных границ существует такая последовательность подразделений 3„', что зе„' — А, и такая последовательность подразделений д„", что Яе„" — А. Возьмем последовательность подразделений 3„ = 3„' 3 . В силу теоремы 1, зе„ ) зе„' и Ее„ = Яе„, причем зь„ и зе„ ( А, а Яе„ и Яе„ ) А.
Таким образом, тем более зе„ вЂ” А и 'Яе„ вЂ” А, а потому Яе„ вЂ” зе„ вЂ” О, и теорема доказана. Отметим, что в подразделениях 6„ частичные промежутки не должны обязательно беспредельно измельчаться. Может, например, случи~ься что все подразделения 3„ являются одним и тем же подразделением Ь. Из (15) вытекает непосредственно следующее следствие: Следствие. Если Юе„— зе„— О, то е'=у, зе„— ! и Яе„— с. Указанное выше необходимое и достаточное условие равенства (=! может быть формулировано при помощи сумм а,. Теорема 4. Для того чтобы разность Яе,— зе„стремилась к нулю, необходимо и достаточно, чтобы ое имели опредезенный [8 22 иитвГРАл стилтьисл предел при любол! выборе точек Епп', и если это условие выполнено, то предел о! равен ю' (или !=ю).
Локазываем необходимость. Если Яь„— эьл — О, то, как мы видели, эь — ю и Яь — ю, а следовательно, и для аю, которая удал и л' влетворяет неравенству ььл «пьл «Яю„, имеем аьл — ю. ю(оказываем достаточность. Пусть Рп пь„= '5'~($~„!) [й(х!пА!) — я(х !"! )[ — А, где х!"' суть точки деления подразделения дл и Епь! — некоторые точки из промежутка [х'л1, х!и![. Обозначим еше через т!л' и Арл! ь — !' и и ь точную нижнюю и точную верхнюю границы значений 7(х) на промежутке [х!л! и х!и!). Пусть а — любое заданное положительное число. В силу условия о! — А существует такое М, что [А — щ [«п при п)М (17) и любом выборе точек с!Ап!. По определению точной нижней границы мы можем выбрать точки Ею так, чтобы выполнялись неравенства О =Я!и!) — т<л'«а, При этом будем иметь Рл О"-.=О! ВЬ ~'[7л($!и!) т!пг[[Р(Х!и!) Р(Х!л! )) « А=! Рл «,У а [я(хп"![ — я(х'"' )[= и [й(Ь) — я(а)1 (18) ь ! и, следовательно, представляя разность А — вюл в виде А — в!А= =(А — пьл)+ (пьл — аьл), мы получим, в силу (17) и (18): [А — вьл [«! А — вал[+ [пьл — эа„!«а [1+Я(Ь) — Я(а)[ пРи п)ЛГ, откуда, ввиду произвольности а, следует, что а! — А.
Совершенно так же можно доказать, что Яь„— А, а следовательно, Яю„— вьл — О, и теорема доказана. Предел А совпадает очевидно с числами ю' и!, которые в данном случае равны между собой. Из доказанной теоремы и предыдущей теоремы вытекает непосредственно следующее следствие. Следствие. Для равенства ю'=7 необходима и достаточно, чтобы существовала !лакая последовательность подразделений дл, что вь имеет определенный предел при любом выборе точек 1!и'.
Если это условие выполнено, юпо упомянутый предел равен Ю (или 1= ю), 23 ИНТЕГРЛЛ СТИЛТЬЕСХ ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 41 Теорема 5. Если для последовательности подразделений 3„ и веет определенный предел и я„' есть продолжение 3„, то в;,„и имеет тот же предел. " Из условия георемы и теоремы 4 следуе~, что Я҄— вь — О.
В силу теоремы 1, вь„) в;,„и Яь =- Я;„. Следовательно, и подавно Яь„' — в О, т. е, в ' — г, и теорема доказана, ьа В случае интеграла Римана, т. е. «(х)=х, мы показали раньше [1, 112], что для любой ограниченной функции у(х), при беспредельном измельчании частичных промежутков, в~„ — ! и Я~„ — !. Таким образом, в случае интеграла Римана равенство т= ! равносильно тому, что сумма в, имеет определенный предел при беспредельном измельчзнин промежутков, причем этот предел рзвен г.
В общем случзе это не будет так. Если вь имеет определенный предел при беспредельном измельчании частичных промежутков, то 3= 1 в силу следствия нз теоремы 4. Но обратного утверждать нельзя. Из того, что 3= у, следует только, что существует такая последовательность подразделений 3„, что еь„ имеет определенный предел. Но нельзя утверждать, что в, будет иметь определенный предел для всякой последовательности подразделения при беспредельном измельчании частичных промежутков. В данном выше определении интеграла Стилтьеса мы потребовали, чтобы аь имела определенный предел при беспредельном измельчании частичных промежутков. При дальнеиших обобщениях понятия интеграла мы заменим зто требование более слабым требованием существования равенства г =!.
Кроме того, мы расширим наши возможности прн разбиении основного промелгутка интегрирования на части, что будет выяснено в дальнейшем прн новых определениях интеграла. В следующем пара~рафе мы вернемся к интегралу Стилтьеса, определенному нами в [2], и дадим одно важное достаточное условие его существования. 4. Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции. Теорема 1.
Если !'(х) непрерывна на конечном промежутпке [а, Ь] и я(х) — неубывающая ограниченная функция, то интеграл Стилтьееа от ! (х) по я(х) на промежутке [а, Ь] существует. Принимая во внимание неравенства (13) и (15), можем написать ]! — «ь] =Яь —.вь= 3 (тИь — ть)[е(хь) — й(хь,)]. (19) ь=! Пусть ь — заданное положительное число. В силу равномернои непрерывности у(х), на промежутке [а, Ь] существует такое положительное число ть что О(М вЂ” ть(е(я=!, 2, ..., и), если наибольшаЯ из Разностеп хь — х„, не пРевышает т1. ПРи этом неравенство (19)дает нам]! — в,](ь[«(Ь) — е(а)], н, следовательно, аь -+ ! при беспредельном измельчании промежутков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
