1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Совершенно [4 24 интВГРАл стилтьзса так же можно показать, что ва — 1, и, следовательно, г = 1. Это равенство непосредственно вытекает также и из следствия теоремы 4 предыдущего параграфа в силу того, что а, имеет определенный предел при беспредельном измельчании промежутков. Бесконечность промежуткз интегрировзния не играет существенной роли в случзе интеграла Стилтьеса.
Надо только выяснить, что мы понимаем под беспредельным измельчанием частичных промежутков при разбиении бесконечного промежутка на части. Рассмотрим, например, промежуток [ — со, + со]. Мы будем говорить, что для последовательности разбиений этого промежутка на конечное число частичных промежутков эти последние беспредельно измельчаются, если при любом заданном положительном А наибольшая из разностей (хв — ха,) для тех промежутков [ха,, х„], которые имеют общие точки с [ — А, + А], стремится к нулю. Если к(х) непрерывна в промежутке [ — со, + со] и строго возрастает, т.
е. ~ф))у(а) при р)а, то замена переменной 1=э(х) преобразует промежуток — оо(х(+со в конечный промежуток [а, Ь], причем а=4~( — со) и Ь=э(+со). Разбиения с беспредельным измельчанием частичных промежутков для [ — со, + со] сводятся к обычным разбиениям с беспредельным измельчанием частичных промежутков для конечного промежутка [а, Ь]. Если, например, 1'(х) непрерывна в замкнутом промежутке [ — оо, + со], а я(х) ограничена и не убывает, то интеграл по- прежнему существует. Лля того чтобы убедиться в этом, достаточно, например, ввести вместо х новую переменную 1 = агс(дх. Полагая У((К 1) = Л (1) и К((я 1) = д'1 (1) мы выразим интеграл по бесконечному промежутку [ — оо, + со] через интеграл по конечному промежутку ~ — †, + — ~; 2' 2 к +со +г ~ У(х) агЬ (х) = ~ Л (1) Ф (1), причем 11(1) непрерывна и яг (1) ограничена и не убывает в промежутке ~ — —, + — ].
2' 2)' Укажем один практически важный случай видоизменения основной теоремы существования интеграла Стилтьеса: Теорема Е. Если 1'(х) непрерывна внутри промежутка интегрирования и ограничена, а неубывающая функция я(х) непрерывна на концах промежутка, то 1(х) интегрируема по я(х). Положим, что промежутком интегрирования является бесконечный промежуток [ — со, + оо]. интягглл стилтьяса от нзпгвгывноя вгнкции 25 4] Оценим слагаемые, стоящие в прзвой части формулы (19).
В силу ограниченности у(х), мы имеем [у(х)) ( 1., где 1. — определенное положительное число, и, следовательно, 0 = М» — т» ( 2Л. Те слагаемые суммы (19), которые соответствуют промежуткам [х» н х»], не имеющим общих точек [ — А, А], дадут сумму, не ббльшую, чем 21. [д( — А) — л( — со)]+ 21.
[д.(+ оо) — д(А)]. (20) В силу предположенной непрерывности »г(х), в точках -+ со можно выбрать А настолько большим, чтобы выражение (20) было меньше любого заданного положительного ». Фиксируем таким образом А и рассмотрим остальные слагаемые суммы (19). Соответствующие им промежутки [х» н х»] или целиком укладываются в [ — А, + А], или крапине два из них могут выходить из [ — А, + А], причем длинз выходящих частеи не больше ть где т) — наибольшая из разностей х» — х» ~ для промежутков, имеющих общие точки с [ — А, + А].
При беспредельном измельчании частичных. промежутков это число я стремится к нулю, и, начиная с некоторого этапа подразделения, оно будет во всяком случае меньше единицы. Таким образом, все промежутки [х» н х»], которые мы сейчас рассматривзем, начиная с некоторого этапа подразделения, будут принадлежать промежутку [ — А — 1, А + 1], на котором функция ~'(х) равномерно непрерывна. В силу этого для всех' достаточно малых значений будем иметь 0(М» — т»(», и при этом для тех слагаемых суммы (19), которые соответствуют промежуткам [х» н х»], имеющим общие точки с [ — А, +А], мы будем иметь оценку 0 ( (М» — т») [д(х») — и (х»,)] (» [д(х») — м (х»,)], и сумма этих слагаемых будет не больше, чем » [д (А+ 1) — и( — А( — 1)].
Окончательно неравенство (19) даст нам [1 — а» [( а [!+у(А+ 1) — у( — А — 1)] ( ~ » [1+ К(+-) — К( — -)], ! ь [л ы»( ~( спл — (я. а (21) откуда, ввиду произвольности », и следует, что в» -ь 1, и теорема доказана. Отметим некоторые дополнительные свойства интеграла Стилтьесз лля случая непрерывной функции у(х) и возрастающей функции п(х). Если [у(х)[(т., то имеем оценку 2б интигРАл стнлтъвсА которзя получается из очевидной оценки суммы ат при переходе к пределу. Имеет, очевидно, место теорема о среднем [ср. 1; 92]: О ] У(х)(Ку(х)=Д1)[д(Ь) — д(а)]($ из 1,а, Ь]). (21~) я Положим теперь, что последовзтельность непрерывных в [а, Ь] функций Г'„(х) стремится равномерно в этом промежутке к предельной функции Дх). Последняя функция будет также непрерывной в [а, Ь] и, следователыю, интегрируемой по д(х). Лля любого заданного положительного а суьцествует, в силу рзвномерной сходи- мости последовательности у„ (х), такое дг, что[ г"(х) — Г„ (х)[ » а для х принадлежаших [а, Ь], если л )дг.
Пользуясь оценкой (21), получаем ~ [у(х) — у'„(х)] г(д(х)» а [а (Ь) — п(а)], а откуда, в силу произвольности в, следует Ит '] у„(х) г(д(х) = ] дх) агд(х). О О (22) б. Несобственный интеграл Стилтьеса. Если У(х) непрерывна внутри промежутка [ — со, +со] и ограничена, а А(х) не убывает и непрерывна на концах указанного промежутка, то, как мы видели, интеграл от Дх) по д(х) на промежутке [ — сх», + со] может быть определен обычным образом, как предел конечных сумм ам Положим теперь, что непрерывная внутри [ — со, + со] функция у(х) не- ограничена, а а(х) по-прежнему не убывает и ограничена. Мы можем для любых конечных а и Ь состави~ь интеграл от У(х) по а (х) на промежутке [а, Ь].
Если при стремлении а к ( — оо) и Ь к (+ со) этот интеграл имеет конечный определенный предел, то этот предел Пользуясь такими же оценками, что и при доказательстве теоремы 2, можнолегко доказать, что формула (22) остается справедливой при следуюших предположениях: функции у„(х) непрерывны внутри [а, Ь] и огрзничены одним и тем же числом, т. е, ~~„(х)~»Л, где положительное число е одно и то же для всех л; у„(х)-Ру(х) равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежашем внутри [а, Ь], и д(х) непрерывна на концах промежутка [а, Ь]. 21 еесовстеенный интБГРБЛ стилтьесл б] т!ы и примем зз величину интеграла по промежутку ( — со, +со): +СО а ~ у (х) пд (х) = Игл ~ у (х) г(д (х).
(23) Ь +СО а Положим, что интегралы ] [у(х)]е!д(х) остаются ограниченными а при любом выборе а и Ь. При этом существует интегрзл ] У(х) ] йд (х) = 1пп [ ] У (х) ] йд(х), Ь Ьсс' и, очевидно, существует и интеграл (23) [ср. П; 82], который называется в этом случае абсолютно сходящимся. Рассмотрим какое-либо разбиение бесконечного промежутка на части точками ха(А = ..., — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3, ...): ...х,(х,(х,(х,(х,(... (11шха — — — со и 1ппха — — +со).
(24) Пусть лг! и М, наименьшее и наибольшее значения у(х) в промежутке [х; !, хг] и м!=М; — т!. Пользуясь формулой (21,) из [4], получаем р(х) (д(х) — г(1!) [д(х ) — д(х; !)] ( ы! [д(х ) — д (хг.!)] к! кч Ч у(х) пд(х) — У у((!) [д(х,) — д(х! !)] с=! — р ~) ы! [д (х!) — д (х,,)]. (25) с=! — р Положим, что множество чисел О!!(г=О, -+ 1, -+.2, ...) имее! конечную точную верхнюю границу ср=зпрми В силу непрерывности ~(х) мы можем построить в частности такое разбиение (24) бесконечного промежутка, при котором сл будет меньше любого Если выполнены условия, указанные в начале настоящего параграфа, и тем самым интеграл по промежутку [ — со, +оп] существует как предел сумм ам то нетрудно показать, что имеет место формула (23).
28 интвграл стилтьяса наперед заданного положительного числа. Введем следующие обозначения: А=!ип я(х); В=Вш р(х); о -со к +со Яр д сясе(Е!) ]Я(Хс) Я(х! !)]! г-!-р Врл '! ].с (с!) )]Ю(х!) я (х; 1)] с=! — р амадее пусть а! — значение а, для (~'(х)) и а'= зир а;. Мы имеем, очевидно, а,'( а, и а'(а.
Из (25) следует нд У(х)йй(Х) — Ярд (а( — А) (26,) к и совершенно аналогично к ( се(Х) ! МКЯ (х) Яр,д = о!' ( — А), (26д) с откуда следует Яр д ~ ~ / У(х) / с(й (х) + а' ( — А) (2 с) н 1,с (х)!йй(Х)~Ярд+со'( — А). (28) ,У .!'©]й(Х!) — й(Хд-!)] (29) Локажем теперь теорему, которая даст необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости интеграла (23).
Теорема. Для абсолютной сходимости интеграла (23) необходимо и достаточно, чтобы существовало разбиение с конечным а и для него такие числа с!, удовлетворяющие неравенству х, т(д! (Х„чтобы ряд 29 6[ Функция скачков абсолютно сходился. Если это условие выполнено, то ряд (29) сходится при любом разбиении (24) с конечным ш и любом выбоРе Е~ из лРомежУтка [х, и Х;], и + СО + со ] т (х) бя(х) =1!щ ~> г"(ч;) [в (х;) — э (х;,)]. (30) сч г = — со Положим, что интеграл (23) абсолютно сходится. При этом неравенство (27) дает для любого разбиения с конечным ш: Вр, ч = ~ ]У'(х) ] агд'(х) + ш' ( — А), т.
е. сумма Ьр ', возрастающая при возрастании р и д, остается ограниченной, и, следовательно, ряд (29) абсолютно сходится при любом разбиении (24) с конечными ш. Далее из (26,) непосредственно следует (30). Положим теперь наоборот, дто ряд (29) абсолютно сходится при некотором разбиении (24) с конечными ш и при некотором выборе (н Из (28) непосредственно следует х + ОР ] у(х)]г(у(х)( ~~) ] у(Ег) , '[я(х;) — я(хы,)]+ ш'( — А), .с откудз видно, что интегрзл, стоящий слевз, остается ограниченным при возрастании р и су, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
