1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 2
Текст из файла (страница 2)
208. Спектр симметричного оператора (627). 209. Некоторые теоремы о расширениях и их спектрах (629). 210. Независимость индексов дефекта от Х (632). 211. Об ннвариаитностн непрерывной части ядра спектра при силюметричных расширениях (634). 212. О спектрах самосопряженных расширений (635). 213. Примеры (636). 214. Бесконечные матрицы (637). 215. Матрицы Якоби (639). 216. Матрицы и операторы (644). 217. Унитарная эквивалентность С-матриц (646). 218.
Существование спектральной функции (649). Предметный указатель 653 ПРЕДИСЛОВИЕ В современных теоретических схемах математической физики большое значение имеют теория функций вещественного переменного, различные функциональные просгранства и общая теория операторов.
Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая написана на основе пятого тома моего ,Курса высшей математики", вышедшего в 1947 году. Содержзнием теории функций вещественного переменного в настояшей книге является теория классического интеграла. Стилтьеса, интеграла Лебега — Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций множеств. В первой главе изложена теория клзссического интеграла Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного промежутка на промежутки любого типа. В качестве примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются интегралы Фурье — Стилтьеса и Коши — Стилтьеса.
Для них устанавливаются формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая плоскости. Далее в первой главе изучается пространство С непрерывных функций и устанавливается общая форма линейных функционалов в этом пространстве. Во второй глзве излагаются основы метрической теории функций вещественного переменного и интеграла Лебега — Стилтьеса. Вся теория излагается для случая плоскости и выясняется возможность очевидного обобщения ее на случай л-мерного эвклидова пространства.
Теория меры строится на основе любой неотрицательной, аддитивной, нормальной, функции, определенной на полуоткрытых двумерных промежутках. Интеграл Лебега — Стилтьеса от ограниченной функции определяется на основе совпадения верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного измеримого множества на измеримые множества. В конце второй главы подробно излагается процесс усреднения функций пгвдисловив и свойства средних функций при некоторых условиях на усредняюгцее ядро. Процесс усреднения широко используется в дальнейшем. В третьей главе излагается теория вполне аддитивных функций множесгв. После доказательства первоначальных теорем этой теории приводится без доказательства теорема о разбиении вполне аддитивной функции множеств на сингулярное и абсолютно непрерывное слагаемое и выясняются основные факты, связанные с этим разбиением.
Подробно рассматривается случай одного независимого переменного. Далее в общем случае исследуется абсолютно непрерывная функция множеств и устанавливается формула замены переменных в многомерном интеграле Лебега — Стилтьеса. В конце третьей главы приводится доказательство упомянутой выше теоремы о разбиении вполне аддитивной функции множеств на два слагаемые. Далее вводи~с» в многомерном случае понятие интеграла Хеллингера и исследуются его свойства. В частности, указывается связь интеграла Хиллингера с интегралом Лебега — Стилтьеса.
Подробно разбирается случай одномерного интеграла Хеллингера. Все доказагельства конца третьей главы основаны на предварительном подробном изучении свойств вполне аддитивных функций множеств [78, 79). Четвертая глава содержит изложение основ общей теории метрических и нормированных пространств. В конце ее приведено подробное изложение обобщенных производных, теорем вложения для различных функциональных пространств и теории функционалов в пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Все эти вопросы связаны с известными исследованиями С. Л. Соболева.
Они изложены и в его монографии „Некоторые применения функционального анализа в математической физике' (1950 г.). Обобщенные производные определяются двояко — при помощи формулы интегрирования по частям и путем замыкания функциИ с непрерывными производньии, при чем доказывается равносильность этих определений. Особо рассматривается. случай областей звездного типа.
Далее вводятся полные нормированные функциональные пространства гв р(Р) и йгр (Р), первое из которых состоит из функ,эш> 'Ц ции ~(х), определенных в области Р и имеющих все обобщенные производные порядка У, причем э (х) и упомянутые производные принадлежат у.р(Р), а при определении второго пространства берутся функции 7(х), имеющие все обобщенные производные до порядка 7 пивдисловив в лючительно. В дальнейшем доказывается, что для широкого класса областей 0 Кр (ь)) и )г р'(О) состоит из одного и того же мно,ества функций и что введенные в них нормы эквивалентны. Т!алее для пространства 1Рр(й) сравнительно просто доказываются теоремы, являющиеся частным случаем теорем вложения для И~р (с)), ° ш далее, сначала эти теоремы формулируются, а затем в мелком шрифге приводится полное их доказательство на основе интегрального представления С.
Л. Соболева. Весь эгот материал тесно связан с его упомянутой выше монографией, В последней пятой главе излагается общая теория пространствз Гильберта, причем сначала все изложение проводится для случая ограниченных операторов. Показываются теоремы Фредгольма для линейных уравнений с вполне непрерывными операторами. Для нормированных пространств они приводились без доказательства.
Для самосопряженных операторов на непрерывном спектре даются соответствующие интегральные представления через дифференциальные решения при помощи интегралов Хеллингера. Приводятся примеры применения обшей теории ограниченных операторов в Р, Е., Последний параграф пятой главы посвящен теории неограниченных операторов в Гильбертовом пробтраистве. После доказательства общих теорем теории приводится большое число примеров дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными. После обпгей теории расширения замкнутых симметричных операторов рассматривается специально случай полуограниченных операторов и, в частности, их расширение по Фридрихсу. Предполагается выпуск шеглого тома с изложением некоторых вопросов современной теории дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными.
При составлении настоящей книги я пользовался, кроме спепиальных сгатей, многими книгачи. Приведу основные из них: В. И. Гливенко „Интеграл Стилгьеса"; И. П. Натансон ,Основы теории функций вещественного переменного', Сакс „Теория интеграла"; Ча1!ее.роняв)п „!п1еяга1ез де 1.еЬезяце. Ропсйопз б'епзешЫез. С!завез г)е Ва1ге"! Б1опе „)йпеаг Тгапз1оггпаБоп 1и Н11Ьег1 Красе апб 1Ье1г арр!1сабопз 1о Апа1уз1з"; Н. И.
Ахиезер и И. М. Глазман „Теория линейных операторов', А. И. Плеснер „Спектральная теория линейных операторов, !'(Успехи математических наук, т. 1Х, 1941); Н. И. Ахиезер „Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов' 1там же); С. Л. Соболев „Некоторые 1О атгвдислоэие применения функционального анализа в математической физике. Приношу мою благодарность С.
М. Лозинскому, прочитавшему первоначальную рукопись книги и сделавшему ряд ценных указаний. Изложение многих вопросов второй части этой книги принадлежит профессору О. А. Ладыженской, она является моим соавтором в этой части книги. С ней я подробно оосуждал план построения этой книги. Большую помощь при составлении второй части книги оказал М. С.
Бирман. Ему принадлежит изложение параграфов, посвященных теоремам вложения [114 †1) н теории малых возмущений спектра 1198~. Ценные советы были им даны по вопросу спектров симметричных операторов и их расширений, а также при изложении главы ! Ч. Приношу мою глубокую благодарность О. А. Ладыженской и М. С. Бирману. Без их помощи я не смог бы проделать всей работы. Первые три главы книги были прочтены Г. П. Акиловым, от которого я получил ряд ценных советов, касающихся изложения отдельных вопросов. Приношу ему мою большую благодарность.
20 июля 1959 г. В. Смирнов ГЛАВА 1 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 1. Множества и их мощность. При применении математического анализа в современном естествознании большую роль играют различные понятия интеграла, и в первых двух главзх мы изложим теорию интегрирования в более общем виде, чем это мы делали раньше. Предварительно в настоящем параграфе приведем некоторые первоначальные сведения из теории множеств.
Они являются некоторым дополнением к тому, что мы излагали в [!Ч; 15). Пусть имеются два множества А, и А„состоящие. из каких-либо объектов (элементов). Говорят, что два множества имеют о д и н ак о в у ю м о щ н о с т ь, если между элементами, входящими з А„и элементами, входящими в А,, можно установить бноднозначное соответствие, т.
е. такое соответствие, при котором каждому элементу из А1 сопоставляется определенный элемент из А„причем в этом соответствии, наоборот, каждый элемент А, сопоставлен одному, и только одному, элементу Ап Бесконечное множество (т. е. множество, содержащее бесконечное число элементов) называется исчислимым, или с ч е т н ы и, если оно имеет ту же мощность, что и множество всех целых положительных чисел, т.
е. если элементы этого множества можно пронумеровать целыми положительными числами: ап а„а,„.. 1(ва счетных множества имеют одинаковую мощность. Выясним некоторые свойства счетных множеств. Рассмотрим часть счетного множества, содержащую бесконечное множество элементов алн ар„..., где рн ря — возрастающая последовательность целых положительных чисел. Элементы этого нового множества также пронумерованы. Номером каждого элемента является значок у р.
Иначе говоРЯ, они пРонУмеРованы в поРЯдке возРастании значков Р„ Рм... Таким образом, бесконечная часть счетного множества есть счетное множество. Рассмотрим теперь два счетных множества: А(а„а„а„...), состоящее из элементов ан а„а,„..., и В(Ь„Ь,, Ь„...), состоящее из элементов Ьи Ь„Ь,, .:, составим их сумму, т. е. объединим в одно множество С элементы, входящие в оба указанных зйше множества.
Полученное таким образом новое множество С называется обычно суммой множеств А и В. Это новое множество также счетно. Действительно, достаточно, например, посзавить элементы множества С в следующем порядке: ап Ьн ая, Ья,..ч 12 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬВСА чтобы убедиться в счетности его. Если имеются одинаковые элементы аь, Ьп то надо удержать олин из ннх, а остальные вычеркнуть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
